1、第9章振動(dòng)習(xí)題解答9.2.1 一剛體可繞水平軸擺動(dòng)。已知?jiǎng)傮w質(zhì)量為m，其重心C和軸O間的距離為h，剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。問剛體圍繞平衡位置的微小擺動(dòng)是否是簡諧振動(dòng)？如果是，求固有頻率，不計(jì)一切阻力。解：規(guī)定轉(zhuǎn)軸正方向垂直紙面向外，忽略一切阻力，則剛體所受力矩= - mghsin O h因?yàn)槭俏⑿[動(dòng)，sin,= - mgh，即剛體是在一線性回復(fù)力矩作用下在平衡位 C置附近運(yùn)動(dòng)，因而是簡諧振動(dòng)。由轉(zhuǎn)動(dòng)定理： mg即，9.2.2 輕彈簧與物體的連接如圖所示，物體質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2，支承面為理想光滑面，求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。解：以平衡位置為原點(diǎn)建立 k1 k2 m坐標(biāo)o-x

2、。設(shè)m向右偏離平衡位置x，則彈簧1被拉長x，彈簧2 o x被壓縮x，m所受的合力（即回復(fù)力）.由牛頓第二定律：9.2.3 一垂直懸掛的彈簧振子，振子質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k1.若在振子和彈簧k1之間串聯(lián)另一彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一半。問串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù)k2應(yīng)是k1的多少倍？m解：以兩個(gè)彈簧串聯(lián)后m的平衡位置為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)m向下偏離平衡位置x，彈簧1伸長L1，彈簧2 k1伸長L2，L1+L2 = x (1)；由于忽略彈簧質(zhì)量， k2兩個(gè)彈簧連接點(diǎn)處所受的兩個(gè)彈力等大反向，即k1L1 = k2L2 (2)；由、解得：， o所以m所受的回復(fù)力 ， x由牛頓二定律； ，即 ，未

3、串聯(lián)前頻率 ，令 ，即，可求得：9.2.4 單擺周期的研究：單擺懸掛于以加速度a沿水平方向直線行駛的車廂內(nèi)；單擺懸掛于以加速度a上升的電梯內(nèi)；單擺懸掛于以加速度a（ag）下降的電梯內(nèi)。求此三種情況下單擺的周期，擺長為l.f*=maTmga解：以車為參考系，單擺受力如圖示，設(shè)平衡位置與豎直線成角，由平衡條件：設(shè)單擺偏離平衡位置角位移為(5)，單擺所受回復(fù)力矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：， 以上求解較為麻煩，我們可以用另外一種簡捷的思路和方法：在重力場(chǎng)中單擺的周期為，g是重力場(chǎng)強(qiáng)度現(xiàn)在單擺在力場(chǎng)中振動(dòng)，力場(chǎng)強(qiáng)度：以電梯為參考系，平衡位置仍然在鉛直方向，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：同樣可以認(rèn)為單擺在力場(chǎng) 中振動(dòng)，力場(chǎng)強(qiáng)度：與前面

4、分析完全相同，9.2.5 在通常溫度下，固體內(nèi)原子振動(dòng)的頻率數(shù)量級(jí)為1013/s，設(shè)想各原子間彼此以彈簧連接，1摩爾銀的質(zhì)量為108g，且包含6.021023個(gè)原子，現(xiàn)僅考慮一列原子，且假設(shè)只有一個(gè)原子以上述頻率振動(dòng)，其它原子皆處于靜止，計(jì)算一根彈簧的勁度系數(shù)。kk解：利用9.2.2題的結(jié)果：9.2.6 一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k=9.8N/m,物體的質(zhì)量為200g,現(xiàn)將彈簧自平衡位置拉長cm并給物體一遠(yuǎn)離平衡位置的速度，其大小為7.0cm/s,求該振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（SI）。解：彈簧振子的圓頻率.設(shè)振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 .據(jù)題意,t=0時(shí)，,代入、中，有 由、可解得：A=310-2m；,=

5、- 19.47= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x = 310-2 cos (7t - 0.34).9.2.7質(zhì)量為1.0103g的物體懸掛在勁度系數(shù)為1.0106dyn/cm的彈簧下面，求其振動(dòng)的周期；在t=0時(shí)，物體距平衡位置的位移為+0.5cm，速度為+15cm/s，求運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。Ox解：以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)o-x設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方稱為 ，將t=0時(shí)，x=0.510-2,v=1510-2代入，有2+2，可求得 A2=0.47510-4，A=6.8910-3m，將A值代入、中得：所以，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：9.2.8 一簡諧振動(dòng)的規(guī)律為x=5cos(8t+/4),若

6、計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前0.5s，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何表示？欲使其初相為零，計(jì)時(shí)起點(diǎn)應(yīng)提前或推遲若干？一簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x=8sin(3t-),若計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計(jì)時(shí)起點(diǎn)？畫出上面兩種簡諧振動(dòng)在計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變前后t=0時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量的位置。解：設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前t0秒，則t=t+t0，將t=t-t0代入原方程得 x=5cos(8t-8t0+/4).當(dāng)t0=0.5s時(shí)，x=5cos(8t-4+/4)=5cos(8t-184)=5cos(8t+176)若使初相為零，令 -8t0+/4=0，得 t0=/32，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前/32秒可使初相為零。原方程x=8sin(3t-)=8

7、cos(3t-3/2). 設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲t0秒，則t=t-t0，將t=t+t0代入原方程得 x=8cos(3t+3t0-3/2).當(dāng)t0=1s時(shí)，x=8cos(3t+3-3/2)=8cos(3t-98),t0=1s時(shí)，初相=（3-3/2）rad=-98若使初相為零，令 3t0-3/2=0，得t0=/2，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)推遲/2秒可使初相為零。 t=0 t=0 t=0 176 45 o x o -98 x t=09.2.9 畫出某簡諧振動(dòng)的位移-時(shí)間曲線，其振動(dòng)規(guī)律為x=2cos2(t+1/4) (SI制).解：由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知：A=2m,0=2,T=2/0=1s,=/2.方法一：根據(jù)余弦函數(shù)圖像規(guī)律

8、：相位=0,/2,3/2,2時(shí)，其對(duì)應(yīng)的位移為A,0,-A,0,A.因此只要求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t即可畫出x-t圖像。令2(t+1/4)=0,/2,3/2,2;可求得對(duì)應(yīng)的時(shí)間為-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出這些特殊點(diǎn)，即可畫出x-t曲線。方法二：令t=t+1/4得x=2cos2t,以1/4秒為t軸的時(shí)間單位，先畫出它的x-t圖像。然后根據(jù)t=t-1/4,將o-x軸右移1/4即得到x-t圖像。 x (m) 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t (1/4 s ) -29.2.10 半徑為R得薄圓環(huán)靜止于刀口O上，令其在自身平面內(nèi)作微小的擺動(dòng)。求其振動(dòng)的周期。求與其振動(dòng)周期相等的單擺的長

9、度。將圓環(huán)去掉2/3而刀口支于剩余圓環(huán)的中央，求其周期與整圓環(huán)擺動(dòng)周期之比。 O 解：如圖示,o=-mgRsin-mgR R 由平行軸定理，Io=mR2+mR2=2mR2；據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng) C mg定理o=Io, ,即 單擺的周期為 與薄圓環(huán)振動(dòng)周期相等的單擺的擺長L=2R. o Rc設(shè)剩余圓環(huán)的質(zhì)心在c處，質(zhì)量為 r m/3.據(jù)平行軸定理：Io=Ic+mr2/3;Io = mR2/3o=Ic+m(R-r)2/3,Ic=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2/3代入前式得 Io=2mRr/3. 設(shè)余環(huán)擺角為，則o= - mgr/3.由轉(zhuǎn)動(dòng)定理o=Ioo，有 mgr/3=(2mRr/3)d2

10、/dt2,即 . 由于和剩余環(huán)的大小無關(guān)，可知，無論剩余環(huán)多大，只要刀口支于剩余環(huán)的中央，其振動(dòng)周期就和整個(gè)圓環(huán)的振動(dòng)周期相等。9.2.11 1m長的桿繞過其一端的水平軸作微小的擺動(dòng)而成為物理擺。另一線度極小的物體與桿的質(zhì)量相等，固定于桿上離轉(zhuǎn)軸為h的地方。用T0表示未加小物體時(shí)桿子的周期，用T表示加上小物體以后的周期。求當(dāng)h=50cm和h=100cm時(shí)的比值T/T0.是否存在某一h值，可令T=T0,若有可能，求出h值并解釋為什么h取此值時(shí)周期不變。解：為簡便起見，借用9.2.1題中求得的結(jié)果，物理擺的周期，其中hc為擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。未加小物體時(shí)：，代入（1）中 .加小物體后：，,代入（1

11、）中 當(dāng)l=1m,h=0.5m時(shí)， 當(dāng)l=1m,h=l=1m時(shí)，令T=T0 ， 即，解得：h=0, h=2l/3.在h=0處加小物體，即把物體放在轉(zhuǎn)軸處，對(duì)擺的擺動(dòng)毫無影響，故周期不變。由可知，此物理擺的等效單擺長度為，因此，在處加小物體，相當(dāng)于只增加單擺的質(zhì)量，沒有改變單擺的長度，故周期不變。9.2.12 天花板下以0.9m長的輕線懸掛一個(gè)質(zhì)量為0.9kg的小球。最初小球靜止，后另一質(zhì)量為0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度與它發(fā)生完全非彈性碰撞。求兩小球碰后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：設(shè)m1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前m2的速度為v20=1.0m/s,碰后兩球的共同速度為v0.由動(dòng)

12、量 lo x守恒，有 v0 m2 v20 m1碰后兩球構(gòu)成一個(gè)單擺,圓頻率.設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 將t=0時(shí),x=0,v=0.1代入,得：0=Acos , 0.1= - 3.3Asin 要同時(shí)滿足 ，只有取=-/2；代入得A0.03.所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：ammbox9.2.13 質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm，今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落進(jìn)框架，求鉛快落進(jìn)框架后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：設(shè)a為彈簧自由伸長時(shí)框架的位置，b為碰前框架的平衡位置，o為碰后平衡位置并取作坐標(biāo)原點(diǎn)。據(jù)題意：ab=0.1m, k=mg/ab=0.29.8/0.1=19.6N/m,在o點(diǎn)，

13、2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m設(shè)碰后鉛塊與框架獲得的共同速度為v，由動(dòng)量守恒:碰后框架與鉛塊振動(dòng)的圓頻率，設(shè)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ，將振動(dòng)的初始條件：t=0時(shí), x = -0.1, v = v=1.21代入，有：2+2，得：，將A值代入、中得：cos= -0.5, sin= -0.865, = -120= -2/3所以，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：9.2.14 質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm，框架下方有一質(zhì)量為20g的小球豎直向上飛來，與框架發(fā)生完全彈性碰撞，已知小球碰前速度為10m/s，求碰后框架的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。mmv0ox解：以框架平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)

14、，據(jù)題意： 設(shè)小球質(zhì)量為m，小球碰前速度為v0，小球碰后速度為v，框架碰前靜止，碰后速度為v0由動(dòng)量守恒：，由牛頓碰撞公式：由此可求得：設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程代入初始條件：由知=/2，為滿足式，取=/2，代入得：A=0.184所以，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：9.2.15 質(zhì)量為m的物體自傾角為的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止而滑下，滑行了l遠(yuǎn)后與一質(zhì)量為m的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。m與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連。碰撞前m靜止于斜面上，如圖所示。問兩物體碰撞后作何種運(yùn)動(dòng)，并解出其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。已知m=m=5kg,k=490N/m,=30,l=0.2m.解：設(shè)a為彈簧自由 m 伸長處，b為只有m時(shí)的 a m平衡位置, o為m與m粘

15、b k在一起時(shí)的平衡位置.以o O 為原點(diǎn)，建立圖示o-x坐 x標(biāo)。由平衡條件有：.設(shè)m與m碰前速度為v1，由能量守恒，.設(shè)m與m碰后共同速度為v0,由動(dòng)量守恒 顯然，碰撞后兩小球在平衡位置o附近作簡諧振動(dòng)，其圓頻率. 設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 （1），速度. 將初始條件，代入得：.可解得：A=0.1118m,= - 1.107rad.9.3.1 1851年傅科作證明地球自轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)，擺長69m,下懸重球28kg.設(shè)其振幅為5.0，求其周期和振動(dòng)的總能量，重球最低處勢(shì)能為零。解：；根據(jù)能量守恒，振動(dòng)的總能量等于擺在最高點(diǎn)時(shí)的勢(shì)能9.3.2 彈簧下面懸掛質(zhì)量為50g的物體，物體沿豎直方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x=

16、2sin10t,平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)（時(shí)間單位：s,長度單位；cm）.求彈簧的勁度系數(shù)，求最大動(dòng)能，求總能。解：根據(jù)能量守恒，總能量等于最大動(dòng)能，為1.010-3j9.3.3 若單擺的振幅為0，試證明懸線所受的最大拉力等于mg(1+02)mgTn證明：單擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：角速度在法向方向應(yīng)用牛頓第二定律：時(shí)，T最大所以，9.4.1 在電子示波器中，由于互相垂直的電場(chǎng)的作用，使電子在熒光屏上的位移為 x = Acost, y = Acos(t+).求出=0，/3，/2時(shí)的軌跡方程并畫圖表示。 y解：=0時(shí)，軌跡方程y=x,如圖a所示。=/3時(shí)， x = Acost, 0 xy = Acos(t+/3)= A(cost cos/3 sint sin/3) =. 由上式可得，兩邊平方可得yyxx令 .代入上式可得其軌跡為如圖所示的斜橢圓。= /2時(shí)，