1、向量在中學數學中的應用1 向量與圖形運用向量解決、研究圖形問題，一般情況下，有兩種途徑：一是選擇適當的基底，其它有向線段用基底線性表示，然后通過向量的運算求解；二是建立適當的坐標系， 運用向量或點的坐標運算求解。 究竟用哪一種方法， 可視具體問題而定。下面舉例說明之。1 1例 1 已知 P、 Q 過厶 OAB 的重心 G， OP: OA=m， OQ:OB=n,求證： 一+=3。m n分析這是涉及到比例的問題，運用向量的加法、數乘運算即可。圖 7-23 中有眾多的線段，不妨以不共線的向量 底線性表示。設 OA =a,OB= b 則OD=2（a+ b）, 0G=3（a+ b）,OP=m5A，OQ=

2、nOB。PG=OG-OP=（*m） a+2b,PQ=OQ-0P=nbma P、Q、G 共線，存在入，使PG=入 PQ,1 1整理，得(-m+ 入 m)a + (3 -入 n) b=0,于是，1?-m+ 入 m=0,1-入 n=0,消去入，得+2=3 m n例 2 已知 ABC 中，AM :AB=1:3 , AN: AC=1:4, , BN 與 CN 交于點 E, AB=m , AC=n, /BAC=60。，求 AE 之長.解問題涉及到比例，長度與距離，因此必須運用向量的三種運算求解。1 選擇 AB =a,AC=b為基底，則NB=b, CM=a- b。因 N、E、B 共線,C、E、M 共線，故存

3、在實數入，使ii即(3-m) a+b=入(nb -ma) OA、OB為基底，其它有向線段用基C!=UCM| =U(a-b) NC+CE+EEN=0，丄 Al ，1求得 y=0, x=-z,所以平面 ADl 的一個法向量為1ni=( 2,0,1)1同理，求得平面 AiFiDi的一個法向量 n2= ( 1, 0, 2)n1. n2=0,n1丄 n2平面 ADl 丄平面 AFDi例 4 在正四面體 ABCD 中，l、M 分別是 AB , AC 的中點，N 為面 BDC 的中心(圖 7-26),求 Dl, MN 之間的夾角。314b + 卩(3a-b)-入(a-如=0(3卩+)b + (g入)a=0。

4、 a,b 不共線,-入=03解得入=若,二AI=AN+NE=4b +17(a-4b)= 1 a+ 3 b| AlF；, (3a+2b)2=1,9m2+4n2+6mn。在棱長為 1 的正方體 ABCD-AiBiCiDi中，l、F 分別是 BBi、CD 中點，求證:平面 AID 丄平面 AiFDi。證 欲證明兩個平面垂直，只須證明這兩個平面的法向 量相互垂直即可。由于 ABCD- A1B1C1D1是個正方體，故可建立坐標系， 應用向量坐標的運算來解決。以A為原點，分別以AB、AD、AX1所在直線為 x 軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖 7-25)，則 D(0,1,0)、l(1,1 10,2

5、)、F(2,1,0)、Ai(0,0,1)、Di(0,0,1)，于是AD=(0,1,0)，AI=(i,02),A走1珂0,1,0),DTF=(2,i,0)設平面 ADl 的法向量為 ni=(x,y,z)，而ADAl 在平面 ADl 內，所以有 ni丄AD, ni9圖7-251解令 DA=a,DB=b,Dc=C，則 Dl=2(a+b),NM=ND+DC+CM1 1=3(b+c) + c+2(ac)1 1 1=-3b+6C+2JDEF 今NM F*IT11115DE. NM =2(-3b+ 6C+2a)(a+b)= 24,. DENM5羽= 丨DENM118從上述例子可以看出， 運用向量求直線與直線

6、， 直線與平面或兩個平面的夾角，基本途a ba、b,然后利用公式 cosa、|a|b|例 5 已知正四棱錐 SABCD 兩相對側面 SAD 和 SBC 相互垂直，求兩相鄰側面 SAB 和 SBC 所成二面角的大小。(圖 7-27)解求平面夾角的問題可以轉化為求平面的法向量的夾角問題。以底面 ABCD 中心 0 為坐標原點，建立如圖所示的坐標系設底面邊長為2a，高為 h，則 DA =(2a,0,0),AS=(-a,a,h)設平面 SAD 的一個法向量為 n1=(x,y,z)，則由 m 丄DA、*1丄SA，得平面 SAD 的一個法向量 n1=(0,-h, a),CB=(2a,0,0) , |BS=

7、(-a,-a,h),同理求得平面 SBC 的一個法向量 n2=(0,-h,-a)。平面 SAD 丄平面 SBC,An1丄 n2得 h2=a2,h=a。此時 n1= (0,-1,-1) ,n2= (0,-1,-1)。又 AB = (0,2a, 0) , AS(-a,a, h),，同理求得平面 SAB 的一個法向量 (1,0,1),n2n3-11COS匚。I n2II n3I p2寸22平面 SAB , SBC 所成二面角的度數為 120 。COS0) , PA 丄平面 ABCD(1)問 BC 邊上是否存在點 Q,使得 PQ 丄 QD，并說明理由；(2)若 PA=1,且 BC 邊上有且只有一點 Q

8、 ,使 PQ 丄QD ,求這時二面角 Q PD A 的大小解 (1)以 A 為原點，AB , AD , AP 分別為 X、則 B(1,0,0)、D(O,a,O)、P(O,O,c),、C(1,a,0),設 Q(1,x,0)，貝 UQD=(-1, a-x,0),PQ=(1,x,-c),若 Q 點存在,由 QD 丄PQ,得-1+ (a-x) x=0 ,即 x -ax+1=0 此方程的判別式厶=a2-4(a0)。所以，當 a 0 時，方程有解，Q 點存在，當 0a2 時，方程無解，Q 點不存在。(2)由(1)知，當 BC= a=2 時，x=1,此時 Q 點為 BC 中點，DQ=(1, -1,0), P

9、D=(0,2,-1)設平面 PQD 的法向量 n1=(x,y,z),則由n 丄DQ, n 丄 PD ,得 x=y,2y-z=0, n=(1,1,2)又 PAD 的法向量為 AB= (1 , 0, 0),二面角 Q-PD-A 的大小0，滿足V60=arccos6例 7 已知平行六面體ABCD=AB C D的底面 ABCD 是菱形，且/ C CB=ZC CD=/BCD=60 。證明(1) CC丄 BD;(2 )當 CD 的值是多少時，能使AC丄平面 C BD( 2000 年全國高考題)？CC證 設 CB=a、 CD=b、CC=C 以這三個向量為基向量，則BD=b-a (1) BD CC=(b-a)

10、 c=b c- a c=(| b |-| a|)| c |cos60/ ABCD 是菱形， BDCC=0,即 BD 丄 CC。(2)欲使 AC丄平面 C BD,只須 AC 丄 BD，且 AC丄 CD CA=CA+AA =a+b+cy、z 軸建立坐標系,圖7-28BD =b-a二 CA BD=(a+ b+ c) ( b-a)=b2-a2+c( b-a)= 0,即 CA丄 BD ，又 CA CD=( a+ b+ c)( b-c)= a - b+b2+ c b-a c- c b212而 a b=2| b | , a c=| b | c |cos60 二CA CD=3 bI2 21 bIIc c(3|

11、 b |+2| c |)(| b|-| c|)=0| b |=| c |CD=1CC即當 CD=1時，能使 AC 丄平面 C BD2、向量與解析幾何在直角坐標系里研究橢圓，雙曲線，拋物線的性質是平面解析幾何的主要內容，由于 向量與坐標有著天然的聯系，因此，坐標結合向量研究曲線的性質更為方便。2 2例 8 橢圓 X+=1 的焦點為 Fi、F2，點 P 為其上一動點，當/RPF2是鈍角時，點 P 的9 4橫坐標的取值范圍。解此題涉及到角度，不妨用向量的坐標求解。設動點 P(x,y)，易知F1(- 5 ,0)、F2 (5, 0),則陥=(-,百-x,-y),薛2=(丐)，F1PF2為鈍角的充要條件是

12、cos0,即PF1PF2=(-x)(V5-x)+y20,整理，得 X2-5+y20。2 2又點在橢圓號+十=1 上,9 4求得-3x=PF1PF2PM PF2|圖7-29解 由于 A,B 在直線 y=x 上，令 A(t , t)，由|AB|= 2 M、B、Q 三點共線，二 MB/BQ 。又 MB =(t+l-x,t+l-y), BQ =(-t-1,1-t),從 而(t+1-x)(-t-1)+(t+1-y)( 1-t)=0,整理得(2-x-y)+t(x-y+2)=0。又 M、A、P 三點共線， MAAP。MA=(t-x,t-y),AP=(-2-t, 2-t), (t-x)(-2-t)+(t-y)

13、 (2+t)=0 ,整理得-(2x+2y)+ (x-y+4) t =0。由，兩式消去 t，得 x2+2x-y2-2y+8=0，即為所求軌跡方程。事實上，向量不僅在解決圖形問題時有巨大威力，在解決不等式有關問題時也能另辟蹊徑。3、向量與不等式運用向量解不等式有關問題時，常根據問題特點，構造相關向量a=(ai,a2), b=(bi,b2),然后運用向量不等式(1)| a |-| b |W| a-b |w|a|+| b|;(2) a bwa b |a| | b|來達到求解的目的。例 10 f(x)=1+x2,若 a工b,證明|f(a)f(b)|a b|證 f(a)= . 1+a2, f(b)= ,1

14、+b2,令 a1=(1,a), b1=(1,b),則 f(a)=| a1| , f(b)=| a2|,a1-a2=(0,a b)于是：|f(a)f(b)|=| | a1| | a2| | a1a2|=| ab|。在不等式| |a11 |a2|w|a1a2|中，等號成立當且僅當a1、a2共線，而b,這說明a1、a2不同向，于|f(a) f(b)|ab|。4、向量與函數2b2例 11 設 0 x1 , a、b 為非零常數，試求 y=a+嚴的最小值。x 1-x),n=( x , 1-x ), 貝 U m. n=a+b,由 mnw|m|.|n|知 B(t+1,t+1)，設 M(x,y),Vim7-3om |=222 2得a+bw礙亡，即(a+b)2w沁。等號當且僅當 m、n 共線，即:護 =ix : ”1X 時成立，求得當 X= a+b 時，ymin-(a+b)例 12 設 x、y、z 是正實數，x+y+z=1，求 w-3+4+9的最小值。x y z、123解 設m=x-y-z-), n =(五，百,五)，則 |m|=血,| n |=1, | m.n |=6。由 | m n |w| m|n |，知 6 w ,36 w當且僅當