1、僅供參考習題一隨機事件及其概率一、填空題1設隨機試驗 E 對應的樣本空間S,與其任何事件不相容的事件為，而與其任何事件相互獨立的事件為；設有 P( A|B)=1,則 A、B 兩事件的關系為 A=B ;設 E 為等可能型試驗，且S包含 10 個樣本點，則按古典概率的定義 其任一基本事件發生的概率為0.1。2.若A表示某甲得 100 分的事件，B表示某乙得 100 分的事件，則(1)A表示 甲未得 100 分的事件;(2)A-.B表示 甲乙至少有一人得 100 分的事件;(3)AB表示 甲乙都得 100 的事件;(4)AB表示 甲得 100 分，但乙未得 100 分的事件;(5)AB表示 甲乙都沒

2、得 100 分的事件;(6)AB表示 甲乙不都得 100 分的事件;3. 若事件A,B,C相互獨立，則P(A_.B_.C)二P( A) P( B) P(C* P( A) P(-B) P( A) P( C) P(B) P(C) P( A) P B P C4.若事件 代B相互獨立，且P(A) =0.5,P(B) =0.25,貝U P(A _ B)=0.625。1115.設P(A) =P(B) =P(C) ,P(AB) =P(AC) =P(BC) ,P(ABC) ,貝U4816P(A _ B _ C) =7; P(ABC) =9; P(A, B,C 至多發生一個)=色;16164P(A,B,C 恰好

3、發生一個)；;P(A|A _ B _C)=；。6.袋中有 50 個乒乓球，其中 20 個是黃球，30 個白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取 1 球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是0.4。7.將 C，C，E，E, l,N,S 七個字母隨機地排成一行，則恰好排成英文單詞1SCIENCE 的概率為-o1260僅供參考8.10 件產品有 4 件次品，現逐個進行檢查，則不連續出現 2 個次品的概率為_o僅供參考19在-1,1上任取一點，則該點到原點距離不超過 -的概率是0.33o10在區間(0, 1)上隨機地取出兩個u,v，則關于x的一元二次方程X2_2vx u = 0有實根的概率是0.33o1

4、1.若有 n 個人隨機地站成一列，其中有甲、乙兩個，則夾在甲和乙之間恰有 r 個人的概率為空口on(n _1)12.對二事件A,B已知P(A)=0.6，P(B)=0.7,那么P(AB)可能取到的最大值是 0.6 ;可能取到的最小值是 0.3 ;P(A一B)可能取到的最大值是;可能取到的最小值是 0.7o13.由裝有 3 個白球 2 個黑球的箱中，隨機地取出 2 個球，然后放到裝有 4 個白球和 4 個黑球的箱子中，試計算最后從第二個箱子中取出一球，此球為白(ABCD)B.若A B，貝UAB二A;D.若A B，貝UA_. B = B.第i題做對了的事件”(i = 1,2,3)，則該生至(B D

5、)B. AA2- A2A3- AA ；D. AA2A -A A2A3一 AA2A3- AAA3.球的概率為 0.52。二、選擇題1.以下命題正確的是A. (AB) _ (AB)二 A ;C 若A B，則B A;2.某學生做了三道題， 以A表示 少做對了兩道題的事件可表示為A. A1A2ABu A A2A3u A A2A3；C. A1A2- A2AB- A1A3；3.若事件A與B相容，則有A.P(A _ B)二P(A) P(B)；C.P(A一B)=1-P(A) -P(B);僅供參考( B )B.P(A _ B)二P(A) P(B)-P(AB)；D.P(A_ B) =1-P(A)P(B).(C )

6、B.P(AB) =0且P(A一B) =1;4 .事件 A 與 B 互相對立的充要條件是A.P(AB)二P(A)P(B);僅供參考C.AB =.一 且A . B = S;5.已知P(B)0且 AA =，則( ABC若P(A) O,P(B) 0且P(A|B)=P(A)，貝 U( ABA. 若 A、B 互不相容，則 A、B 也互不相容；B. 若 A、B 相容，則 A、B 也相容；C. 若 A、B 獨立，則 A、B 也獨立；D. 若 A、B 對立，則 A、B 也對立.8.若事件 A 與 B 獨立，且P(A) O,P(B) 0，則( AB )成立.A.P(B|A)=P(B);B. P(A|B)二 P(A

7、);C.A,B相容；D. AB 不相容.三、解答題1.用集合的形式寫出下列隨機試驗的樣本空間S與隨機事件A:(1)擲一顆骰子，觀察向上一面的點數；事件A表示“出現奇數點”；(2)對一個目標進行射擊，一旦擊中便停止射擊，觀察射擊的次數；事件A表示“射擊不超過 3 次”;(3)把單位長度的一根細棒折成三段，觀察各段的長度；事件A表示“三段 細棒能構成一個三角形”。)成立.A.P(A|B) _0;B.P(AUA2)|B) = P(A|B)+P(A2|B);C.P(gB) =0 ;D.P(AA2|B) =1.6.A.P(B| A) =P(B);B. P(A|B)二 P(A);C.A,B相容;D.代B不

8、相容.7.對于事件 A 與 B，以下命題正確的是().僅供參考解：(1) s =l,2,3,4,5,6 ,Ai= l,3,5;(2) 1,2,11 卜,A2=1,2,3?;(3)設折得三段長度分別為x,y和1-x-y，S3=*x, y 0 ： x，y ： 1,0 ： x, y： ：仆,1 1 1As=( x, y) |0：x：2,0 : y：2,2以x y : 12.化簡下列各式(1)AB一AB(2)(A B)一(A B)(3)(A B) - (A B)解：(1)AB_AB=A(B _B) =AS=A(2)(A B)一(A B)= (A_.B)一入一 (A B) 一 B -門 -(3) (疋_

9、B) - (A_B)=(A一B)(AB) = ABAB二AABB二AA BB =3. 一工人生產了四件產品，以 A 表示他生產的第i件產品是正品(i =1,2,3,4),試用 A 表示(i =1,2,3,4)下列事件:(1)沒有一件產品是次品；(2)至少有一件產品是次品；(3)恰有一件產品是次品；(4)至少有兩件產品不是次品解: (1)Al A2A3A4;(2)A|A2ABA4(- A2- A3- A4);(3) AAAA4AAA3A4A1A2A3A4A1A2A3A4; (AA? 2(AA3 2(AAt kJ(A2A6 (AAi R(A3A4 )4擲兩顆骰子，試求出現的點數之和大于9 的概率。

10、解：用x,y表示兩顆骰子擲出的點數，則1豈x,y乞6,每一點對x,y表示每次擲兩 顆骰子的結果即為一基本事件，則樣本空間S：(x, y) x,y =1,2川1,61, A 表示擲 兩顆骰子出現的點數之和僅供參考大于 9 的事件。貝 U A= *4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)】，而樣本空間中包含的樣本點總數為36，由古典概型計算公式，P(A)二6二1。3665.已知 N 件產品中有 M 件是不合格品，今從中隨機地抽取 n 件，試求：(1) n 件中恰有 k 件不合格品的概率；(2) n 件中至少有一件不合格品的概率。解：從 N 件產品中抽取 n 件產品的每一取法構成一

11、基本事件，共有 CN種不同取法.僅供參考(1)設 A 表示抽取 n 件產品中恰有 k 件不合格品的事件，則k ncMcN蠡由古典概型計算公式，P(A)=嚴CN(2)設 B 表示抽取 n 件產品中至少有一件不合格品的事件, 為合格品的事件，包含CNN個樣本點。貝 U P(B) =1-P(B) =16. 一個口袋里裝有 10 只球，分別編上號碼 1,10 隨機地從口袋里取試求：(1)最小號碼是 5 的概率;(2)最大號碼是 5 的概率。解:從 10 只球中任取 3 只的每一種取法構成一基本事件， 則樣本點總數為 (1)設 A表示“3 只球中最小號碼是 5 的取法”，共有C2種取法，因此P(A)C2

12、(2)設 B 表示“3只球中最大號碼是5的取法”，共有C42種取法，因此P (A)玄嗆A 中包含樣本點數為則B表示 n 件產品全CNJMCN3 只球。C130。C21C130_12解：在單位內任取一點 Q，坐標為(x, y)，樣本空間 S=&, y)僅供參考_ 3由幾何概型公式得P (A)4=0.75.TL19.在長度為 T 的時間段內，有兩個長短不等的信號隨機地進入接收機。長信號 持續時間為tjT)，短信號持續時間為 t2(乞 T)。試求這兩個信號互不干擾的概率。解：設 x,y 表示兩個長短不等的信號到達時間， 樣本空間 S=(x, y)0乞x, yT 1記 A為“兩個信號互不干擾”，則A=

13、 X X, y)rX-y 12, y_x .J ”=，由幾何概型公式得10. 從 5 雙不同的鞋中任取 4 只，求這 4 只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。 解：為從5 雙(10 只)不同的鞋中任取 4 只，我們一只一只地取出，共有 10X9X8X7 種取法，此即為樣本點總數。設以 A 表示事件“4 只中至少有 2 只配對成雙”，則 A 的對立事件A為“4 只鞋子中沒有 2 只成雙”o現在來求A中的樣本點數：4 只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有10 中取法，第二只只能取剩下的且除去和已取出的第一只配對的另一只后的8 只鞋子中任取一只，它有 8 種取法。同理第三只、第四只鞋子只有6、

14、4種取法，所以A中樣本點總數為10X 8X 6X 4， 得10 8 6 413P(A) =1 _P(A) =1 -107X8X72111. 設代B是兩個事件,已知P(A) = 0.5,P (B尸0.7,P A- B卜0，弒求P(A-B)與P(B -A)o解： 由加法公式P( Au B) = P( A)+ P BR P( AB可知P( A B)= 0. 4由于A-B= A-ABBA=B - AB,且ABU A, ABU B,貝 由概率性質可知P(A -B) =P(A - AB) = P(A) -P(AB) =0.1,同理P(B - A) =P(B) - P(AB) = 0.3。為“以 Q 為中點

15、的弦長超過T, A=心,y)1(X2+ y2)(2卜J(X,y)X2+ y2寸。P( A)=2(T-t2)22(T-ti)2(112(12o僅供參考12. 設A, B,C是三個事件，已知P(A) =P(B) =P(C) =0.3,P(AB) =0.2，P(BC)二P(AC) =0。試求代B,C中至少有一個發生的概率和A,B,C全不發生的 概率。僅供參考解：由ABC BC,0乞P(ABC)乞P(BC) =0，故P(ABC) =0。AB C表示A,B,C中至少有一個發生的事件，由已知事件概率及概率加法公式有P(A一B _.C) =P(A) P(B) P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC)

16、P(ABC) =0.3 3-0.2 = 0.7.而代B,C全不發生這一事件可用A_.B 一 C 表示，由逆事件概率關系有P A B C -P(ABC) =0.3.1 1 113.已知P(A)2P(B|A)H，P(A|B)二，求P(A_.B)。1解：由乘法公式P(AB )=P(A)P(B A)=石,又由條件概率公式P(AB)=13P B，再由加法公式P A_. B二P(A) P(B)-P(AB)=q。14.設代B是兩個事件，已知P(A) =0.3,P(B) =0.6，試在下列兩種情況中分別求出P(A|B),P(A|B)。(1)事件代B互不相容;(2)事件代B有包含關系。解: (1)由AB = *

17、，則P(AB)=0，P(A_. B)二P(A) P(B) =0.9。由條件概率公式及逆事件概率關系得P(AB)=需=。 ，P(A|B)= 由于P(A)v P(B)，故AuB。因此AB= AA B B故類似(1)可得P(AB尸鳴二恥=0.5,P(AB)=P(B) P(B)P(B) P(B)(1) 2 只都是合格品種PO=P“25P(B) P(B)P(AB) P(A_. B) P(B) 1 P(B)15. 一個盒子中裝有 10 只晶體管,其中有 3 只是不合格品現在作不放回抽樣:連續取 2 次，每次隨機地取 1 只。試求下列事件的概率。僅供參考(2) 1 只是合格品，1 只是不合格品;(3)至少有

18、 1 只是合格品。解：設 A 表示第 i 次取的是合格品，i=1，2僅供參考767卩皿円咻節廠 15 P(AA2A1A2*-*1= 10 9 10 9153 21416 某商店出售晶體管，每盒裝 100 只，且已知每盒混有 4 支不合格品。商店采 用“缺一賠十”的銷售方式：顧客買一盒晶體管，如果隨即地取 1 只發現是不合 格品，商店要立刻把 10只合格品的晶體管放在盒子中，不合格的那只晶體管不 再放回。顧客在一個盒子中隨機地先后取 3 只進行測試，試求他發現全是不合格 品的概率。解：設 A 表示第 i 次取的是不合格品，i=1， 2， 3P(AAA-) =P(A)P(Ad A)P(Ad AA)

19、=丄*2*v 21e Sim100109 11817已知A,B,C互相獨立，證明 A,B,C 也互相獨立.解：有 A，B，C 相互獨立可得：P(AB)=1-P(AB)=P(A)P( B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則三事件相互獨立。8018. 射手對同一目標進行四次獨立的射擊，若至少射中一次的概率為一，求81此射手每次射擊的命中率解：設 A 表示第 i 次其中目標，i =1， 2， 3， 4則P(AAA3A4)=P(A)4=1-8廠812P(Ai嚴1P A刁33160775僅供參考19設情報員能破譯一份密碼的概率為 0.6 試問

20、，至少要使用多少名情報員才 能使破譯一份密碼的概率大于 95% ?假定各情報員能否破譯這份密碼是相互獨立 的。解：設至少需要 n 名情報員，A :情報被破譯P(A)=1-P(A) =10.4n_0.95ln0.05n _In 0.420.有2n個元件，每個元件的可靠度都是p。試求下列兩個系統的可靠度。假定每個元件是否正常工作是相互獨立的。(1) 每n個元件串聯成一個子系統，再把這兩個子系統并聯；(2) 每兩個元件并聯成一個子系統，再把這n個子系統串聯。解：(1)設 A 表示第 i 個子系統可靠，i=1，2，貝 UP(A,A2) = pnpn_ pn* pn=2 pn* p2n(2)設 A 表示

21、第 i 個子系統可靠，i=1，2, ,n則P(AA A)二p p-p* pn= pn*(2 -p)n21設每個元件的可靠度為0.96.試問，至少要并聯多少個元件才能使系統的可靠度大于 0.9999?假定每個元件是否正常工作是相互獨立的。解：設至少要并聯 n 個元件，A :系統正常P(A)=1-P(A) =0.040.9999In0.0001n -In0.0422. 5 名籃球運動員獨立地投籃，每個運動員投籃的命中率都是 80%。他們各投 一次，試求：(1) 恰有 4 次命中的概率；(2) 至少有 4 次命中的概率；(3) 至多有 4 次命中的概率。解：設 A 表示第 i 個運動員命中，i=1,

22、 2，3, 4, 54(1) P(A) =5* PCAAzAaAtA) =5*0.2*0.8= 0.4096僅供參考5(2)P(B P(A) P(A1A2A3A4A5) =0.4096 0.8 =0.7373(3)P(C) =P(A1A2A3A4A5) =1 0.85=0.672323.某地區患肝炎的人占1%。試問該地區某所學校中一個65 人的班級里至少有兩人患肝炎的概率有多大？假定他們是否患肝炎是相互獨立的。解：設 A:至少有兩人患肝炎，B:沒有人患肝炎，C:恰有一人患肝炎P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.9965-C65*0.1*0.996424甲、乙、丙三人搶答一道智力競賽題，他

23、們搶到答題權的概率分別為0.2、0.3、0.5 ;而他們能將題答對的概率則分別為0.9、0.4、04 現在這道題已經答對，問甲、乙、丙三人誰答對的可能性最大。解：設 A:題被答對，B,第 i 個人搶到答題權，i=1得：丙答對的可能性最大P(BJP(A|BJ0.2*0.93-0.2*0.90.3*0.40.5*0.4S P(B)P(A|Bi)P(B2)P(A|B2)0.3*0.43-0.2*0.90.3*0.40.5*0.4遲 P(Bj)P(A | Bi)P(B3)P(A|B3)0.5*0.43-0.2*0.90.3*0.40.5*0.4遲 P(B)P(A|Bi)P(Bi|A)二=0.36P(B

24、2|A)二= 0.24P(B3|A)二-0.4僅供參考25. 某學校五年級有兩個班，一班 50 名學生，其中 10 名女生；二班 30 名學生, 其中 18 名女生在兩班中任選一個班，然后從中先后挑選兩名學生，求(1)先選出的是女生的概率；(2)在已知先選出的是女生的條件下，后選出的也是女生的概率。解：設 B:先選出的是女生，A 表示挑選的是第 i 個班，i=1，2，(1)貝 U P(B) =P(A)* P(B| A) P(AJ* P(B |A2) =0.5*0.2 0.5*0.6 =0.4(2)設C :后選出的是女生，則僅供參考26. 甲、乙、丙三門高炮同時獨立地各向敵機發射一枚炮彈，它們命

25、中敵機的概 率都是 0.2。飛機被擊中 1 彈而墜毀的概率為 0.1，被擊中 2 彈而墜毀的概率為 0.5，被擊中 3 彈必定墜毀(1)試求飛機墜毀的概率；(2)已知飛機墜毀，試求它在墜毀前只有命中1 彈的概率 解：設 B:飛機墜毀，A：擊中 i 彈，i=1，2，3P(B)=0.1*3*0.2*0.8*0.8+0.5*3*0.8*0.2*0.2+0.2*0.2*0.2=0.0944P(BAJ _0.1*3*0.2*0.8*0.8P(B) 一 0.094427. 已知甲袋中裝有 a 只紅球，b 只白球；乙袋中裝有 c 只紅球，d 只白球。試 求下列事件的概率：(1) 合并兩只口袋，從中隨機地取一

26、只球，該球是紅球；(2) 隨機地取一只袋，再從該袋中隨機地取一只球，該球是紅球；(3) 從甲袋中隨機地取出一只球放人乙袋，再從乙袋中隨機地取出一只球，該球 是紅球。(2)P(B)=旦*ca b c d 128. 無線電通訊中， 由于隨機干擾， 當發送信號“.”時， 收到信號為“.”、 “不 清”與“一一”的概率分別是 0.7, 0.2 與 0.1;當發送信號“一一”時， 收到信 號為“一一”、“不清”與“.”的概率分別是 0.9, 0.1 與 0。如果整個發報過程 中，“.”與“一一”分別占 60%與40%，那么，當收到信號“不清”時，原發 信號為“.”與“一一”的概率分別有多大？P(C| B

27、)二P(BC)P(B)9170.5*0.2*0.5*0.6*4929690142P(A|B)=-0.4068解:(1) P(A)=a +cabedP(C)二僅供參考解：設 Bi：發出，B2:發出一一,A：收到 g 收到P(B12 ： P(Bi)P(AB； =0.6*.2.3 4*.1i=12P(Bi)P(ABJ,A3:收到不清僅供參考P(B2)P(AB2)0.4*0.10.6*0.20.4*0.1i=129.口袋里裝有 a + b 枚硬幣，其中 b 枚硬幣是廢品(兩面都是國徽)。從口袋中 隨機地取出 1 枚硬幣，并把它獨立地拋 n 次，結果發現向上的一面全是國徽 試求這枚硬幣是廢品的概率30個盒子裝有 6 只乒乓球，其中 4 只是新球。第一次比賽時隨機地從盒子 中取出 2 只乒乓球，使用后放回盒子第二次比賽時又隨機地從盒子中取出2只乒乓球。(1) 試求第二次取出的球全是新球的概率；(2) 已知第二次取出的球全是新球，試求第