1、5 優化設計1.優化、優化設計和機械優化設計的含義優化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優化作為一門學科與技術，則是一切科學與技術所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優的方案。優化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優化設計。優化設計是在現代計算機廣泛應用的基礎上發展起來的一項新技術。是根據最優化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現有工程條件下的最佳設計方案的一種現代設計方法。 優化設計反映出人們對于設計規律這一客觀世界

2、認識的深化。（1）來源：優化一語來自英文Optimization，其本意是尋優的過程；（2）優化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過程。優化方法也稱數學規劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優解的數學； （3）優化設計：根據給定的設計要求和現有的技術條件，應用專業理論和優化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優的設計方案。（4）機械優化設計 就是把機械設計與優化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現預期目標的最優設計方案和最佳設計參數。 工程設計中，設計者力求尋求一種合理的設計參數，以使得

3、由這組設計參數方法：進行最優化設計時，首先必須將實際問題加以數學描述，形成一組由數學表達式組成的數學模型，然后選擇一種最優化數值計算方法和計算機程序，在計算機上運算求解，得到一組由數學表達式組成的設計參數。這組設計參數就是設計的最優解。2.優化設計的發展概況歷史上最早記載下來的最優化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分的建立給出了求函數極值的一些準則，對最優化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優化技術的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優化問題，發展了變分法。 直到本世紀

4、40年代初，由于軍事上的需要產生了運籌學，并使優化技術首先應用于解決戰爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。 50年代末數學規劃方法被首次用于結構最優化，并成為優化設計中求優方法的理論基礎。數學規劃方法是在第二次世界大戰期間發展起來的一個新的數學分支，線性規劃與非線性規劃是其主要內容。最優化設計是在數學規劃方法的基礎上發展起來的，是6O年代初電子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統設計方法所不能解決的比較復雜的最優化設計問題。大型電子計算機的出現，使最優化方法及其理論蓬勃發展，成為應用數學中的一

5、個重要分支，并在許多科學技術領域中得到應用。近十幾年來，最優化設計方法已陸續用到建筑結構、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統、電力系統以及電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優化設計結果所取得的效益就愈大。l 第一階段人類智能優化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。l 第二階段數學規劃方法優化：從三百多年前牛頓發明微積分算起，電子計算機的出現推動數學規劃方法在近五十年來得到迅速發展。l 第三

6、階段工程優化：近二十余年來，計算機技術的發展給解決復雜工程優化問題提供了新的可能，非數學領域專家開發了一些工程優化方法，能解決不少傳統數學規劃方法不能勝任的工程優化問題。在處理多目標工程優化問題中，基于經驗和直覺的方法得到了更多的應用。優化過程和方法學研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優化效率的新的途徑。l 第四階段現代優化方法：如遺傳算法、 模擬退火算法、 蟻群算法、 神經網絡算法等，并采用專家系統技術實現尋優策略的自動選擇和優化過程的自動控制，智能尋優策略迅速發展。機械優化設計應用實例美國波音飛機公司對大型機翼用138個設計變量進行結構優化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用

7、10個變量進行優化設計，使成本降低約10%。實踐證明，最優化設計是保證產品具有優良的性能，減輕自重或體積，降低產品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創造性的設計，并大大提高設計效率。51 優化設計的數學模型511 數學模型的建立 數學模型：是對實際問題的數學描述和概括，是進行優化設計的基礎。工程設計問題通常是相當復雜的，要建立便于求解的數學模型，必須對實際問題加以適當的抽象和簡化。不同的簡化方法得到的數學模型和計算結果都不同。例5.1有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個小的方塊，做成一個無蓋的盒子。試確定裁去的四個小方塊的

8、邊長，以使做成的盒子具有最大的容積。解：設裁去的四個小方塊邊長為x，盒子的容積可表示成x的函數，上述問題可描述成求變量x，使函數極大化，這就是此問題的數學模型，其中x稱為設計變量；稱為目標函數。目標函數試設計變量的一元三次函數，且沒有附加的約束條件，所以此問題屬于一元非線性無約束優化設計問題。512 數學模型的一般形式 數學模型的組成：優化設計的數學模型由設計變量、目標函數和約束條件三部分組成，可寫成以下統一形式： 求變量 使極小化函數 滿足約束條件 不等式約束條件 等式約束條件數學模型可寫成以下向量形式：向量表示設計變量，表示向量X屬于n維實歐氏空間，用min、max表示極小化和極大化， ）

9、表示“滿足于”，m,p分別表示不等式約束和等式約束的個數。 （可省略） 不等式約束條件 等式約束條件分類：最優化問題也稱為數學規劃問題。最優化問題根據數學模型中是否包含約束條件而分為無約束優化問題和約束優化問題；根據設計變量的多少可分為單變量優化和多變量優化問題；根據目標函數和約束函數的性質可分為線性規劃和非線性規劃問題。 當數學模型中的目標函數和約束函數均為設計變量的線性函數時，稱此設計問題為線性優化問題或線性規劃問題。當目標函數和約束函數中至少有一個為非線性函數時，稱此設計問題為非線性優化問題或非線性規劃問題。 513 設計變量與設計空間工程問題特征參數設計方案。這種代表設計方案的特征參數

10、一般應選作該問題優化設計的設計變量。一個工程問題的設計參數一般是相當多的，其中包括常量、獨立變量和因變量三類。優化設計時，為了使建立的數學模型盡量簡單易解，只能選擇其中的獨立變量作為設計變量。但是，一個設計問題中，獨立變量和因變量的劃分并不是一成不變的。設計變量選擇：選擇那些與目標函數和約束函數密切相關的、能夠表達設計對象特征的獨立參數和尺寸。同時，還要兼顧求解的精度和復雜性方面的要求。設計變量分為連續變量和離散變量，可以在實數范圍內連續取值的變量稱為連續變量，只能在給定數列或集合中取值的變量稱為離散變量。幾乎所有的優化理論和方法都是針對連續變量提出來的，而實際問題往往包含有各種各樣的離散變量

11、，對于包含離散變量的優化問題，一般先將離散變量當作連續變量，求出連續變量最優解后，在作適當的離散化處理。 由線性代數可知，若n個設計變量相互獨立，則由它們形成的向量的全體集合構成一個n維實歐氏空間，稱為設計空間，記作，一組設計變量可看作設計空間中的一點，稱為設計點。設計變量的個數n稱為設計空間的維數。 5.1.4 約束條件與可行域約束：對任何設計都有若干不同的要求和限制，將這些要求和限制表示成設計變量的函數并寫成一系列不等式和等式表達式，就構成了設計的約束條件，簡稱約束。約束條件的作用：是對設計變量的取值加以限制。約束條件分類：根據形式分為不等式約束和等式約束，根據性質可分為邊界約束和性能約束

12、。邊界約束實對設計變量本身所加的直接限制；性能約束在形式上是對某些技術性能指標或參數所加的限制，是對設計變量所加的間接限制。約束問題的可行域：每一個不等式或等式約束都將設計空間分為兩個部分，滿足所有約束的部分形成一個交集，該交集稱為此約束問題的可行域，記作。5.1.5 目標函數與等值線要尋求設計問題的最優解就必須有判別設計方案好壞的尺度目標函數目標函數：是關于設計變量的函數，是用于衡量設計方案優劣的定量標準。對極小化問題來說，目標函數的值越小，對應的設計方案越好，目標函數的最小值及其對應的設計變量的取值稱為設計問題的最優解。 要知道一個目標函數的最優點在設計空間中所處的位置，就需要了解目標函數

13、的變化規律。對于簡單的問題，等值線或等值面不僅可以直觀地描繪函數的變化趨勢，而且還可以直觀地給出極值點的位置。 令函數，滿足此式的點X在設計空間中定義了一個點集，當n=2，該點集是設計平面中的一條直線或曲線，當時，該點集是設計空間中的一個平面、曲面或超曲面。在這些線或面上所有點的函數值均相等，這些線或面就稱為函數的等值線或等值面。516 優化問題的圖解法對簡單的二維優化問題，可以在設計平面內直觀地作出約束可行域，畫出目標函數的簇等值線，并且可以根據等值線與可行域的相互關系確定出最優點的位置。這種求解優化問題的方法就是圖解法。圖解法的步驟一般為：確定設計空間，作出約束可行域，畫出目標函數的一簇等

14、值線，最后判斷確定最優點。 建立數學模型的一般過程：步驟名稱說明1分析設計問題，初步建立數學模型。    即使是同一設計對象，如果設計目標和設計條件不同，數學模型也會不同。因此，要首先弄清問題的本質，明確要達到的目標和可能的條件，選用或建立適當的數學、物理、力學模型來描述問題。2抓住主要矛盾，確定設計變量。    設計變量越多，設計自由度就越大，越容易得到理想的結果。但隨著設計變量的增多，問題也隨之復雜。因此，應抓住主要矛盾，適當忽略次要因素，合理簡化。3根據工程實際，提出約束條件。    約束條件的數目

15、多，則可行的設計方案數目就減少，優化設計的難度增加。理論上講，利用一個等式約束，可以消去一個設計變量，從而降低問題的階次，但工程上往往很難做到設計變量是一定值常量，為了達到效果，總是千方百計使其接近一常量，反而使問題過于復雜化。另外，某些優化方法不支持等式約束。因此，實際上利用等式約束需很慎重，尤其結構優化設計盡量少采用等式約束。4對照設計實例，修正數學模型。    初步建立模型之后，應與設計問題加以對照，并對函數值域、數學精確度和設計性質等方面進行分析，若不能正確、精確地描述設計問題，則需用逐步逼近的方法對模型加以修正。5正確求解計算，估價方法誤差。 

16、   如果數學模型的數學表達式比較復雜，無法求出精確解，則需采用近似的數值計算方法，此時應對該方法的誤差情況有一個清醒的估計和評價。6進行結果分析，審查模型靈敏性。    數學模型求解后還應進行靈敏度分析，也即在優化結果的最優點處，稍稍改變某些條件，檢查目標函數和約束條件的變化程度。若變化大，則說明靈敏性高，就需要重新修正數學模型。因為，工程實際中設計變量的取值不可能與理論計算結果完全一致，靈敏性高，可能對最優值產生很大影響。5.2 優化方法的數學基礎 工程設計一般歸結為多變量、多約束的非線性優化問題，首先對多變量約束優化問題的求解方法所涉及的

17、數學概念及有關理論進行補充和擴展。多元函數的梯度、二階導數矩陣和泰勒展開等基本概念，以及數值迭代解法的基本格式。5.2.1梯度函數在點的梯度是由函數在該點的各一階偏導數組成的向量函數的梯度的性質：（1）函數在一點的梯度是一個向量。梯度的方向是該點函數值上升得最快的方向，與梯度相反的方向是該點函數值下降得最快的方向，梯度的大小就是它的模長。（2）一點的梯度方向 是與過該點的等值線或等值面的切線或切平面相垂直的方向，或說是該點等值線或等值面的法線方向。（3）梯度是函數在一點鄰域內局部形態的描述。在一點上升得快的方向，離開該鄰域后就不一定上升的快，甚至可能下降。5.2.2 多元函數的泰勒展開為了便于

18、數學問題的分析和求解，需要將一個復雜的非線性函數簡化成線性函數或二次函數，簡化方法可以采用泰勒展開式。一元函數若在點的領域內n階可導，則函數可在該點的領域內作泰勒展開： 為余項多元函數在點作泰勒展開，取前三項：此式稱為函數的泰勒二次近似式。是有函數在點的所有二階偏導數組成的矩陣，稱為函數在點的二階導數矩陣由于n元函數的偏導數有個，而且偏導數的值與求導次序無關，所以函數的二階導數是一個階對稱矩陣。例5.4 用泰勒展開的方法將函數在點簡化成線性函數和二次函數。解：分別求函數在點的函數值、梯度和二階導數矩陣： =展開式的二次項： 5.2.3 二次函數二次函數是最簡單的非線性函數，在最優化理論中具有重

19、要的意義。二次函數寫成向量形式：式中：B常數向量；H階常數矩陣稱為二次型，H稱為二次型矩陣，相當于函數的二階導數矩陣。矩陣有正定和負定之分，對于所有的非零向量X：（1）若有，則稱矩陣H是正定的；（2）若有，則稱矩陣H是半正定的；（3）若有，則稱矩陣H是負定的；（4）若有，則稱矩陣H是半負定的；（5）若有，則稱矩陣H不正定的；上式的二次型矩陣H是正定的，則函數稱正定二次函數。在最優化理論中正定二次函數具有特殊的作用，因為許多優化理論和優化方法都是根據正定二次函數提出并加以證明的，而且正定二次函數適用并有效的優化算法，對一般非線性函數也適用和有效。正定二次函數的性質：（1）正定二次函數的等直線或等

20、值面是一簇同心橢圓或同心橢球，且橢圓簇或橢球簇的中心就是該二次函數的極小點。（2）非正定二次函數在極小點附近的等直線或等值面近似于橢圓或橢球。5.2.4 下降迭代算法工程設計問題一般可歸結為多變量、多約束的非線性優化問題，這樣的問題一般只能用數值迭代法求解，對于極小化問題，這種方法就是下降迭代算法下降迭代算法：按照某一迭代格式，從一個初始點.出發逐步產生一個點列，若該點列所對應的目標函數值呈下降趨勢，并且該點列的極限就是目標函數的極小點，則構成此點列的方法就是優化問題的一種數值解法，稱下降迭代算法。并稱此點列收斂于極小點。5241 下降迭代算法的基本格式在優化算法中，一般采用如下迭代算式： (

21、5.9)式中 搜索方向； 步長因子。（1） 給定一個初始點和收斂精度；（2） 選取一個搜索方向；（3） 確定步長因子，按式5.9得到新的迭代點；（4） 收斂判斷：若滿足收斂精度，則以作為最優點，終止計算；否則，以作為新的起點，轉(2)進行下一輪迭代。 由此不難看出，一個下降迭代算法的構成需要解決以下三個基本問題 (1)選擇搜索方向。不同的搜索方向，構成不同的下降迭代算法 (2)確定步長因子。一般通過一維搜索法取得最優步長因子 (3)給定收斂準則。用以判斷迭代點是否能夠作為近似的最優點。5242 算法的收斂性如前所述，當迭代算法產生的點列滿足式(58)時，稱該點列收斂于極小點，即稱此下降迭代算法

22、具有收斂性。點列向極小點逼近的速度稱該算法的收斂速度。作為一種優化算法必須具有較好的收斂性和較快的收斂速度。沒有收斂性的算法在理論上是不能成立的，而收斂速度較慢的算法對于實際應用來說也是沒有意義的。53 一維搜索法是優化方法中最基本、最常用的方法。所謂搜索，就是一步一步的查尋，直至函數的近似極值點處。其基本原理是區間消去法原則，即把搜索區間a, b分成3段或2段，通過判斷棄除非極小段，從而使區間逐步縮小，直至達到要求精度為止，取最后區間中的某點作為近似極小點。概念：在優化設計的迭代運算中，在搜索方向上尋求最優步長的方法稱一維搜索法。其實，一位搜索法就是一元函數極小化的數值迭代算法，其求解過程稱

23、一維搜索。從點出發，在方向上的一維搜索的數學表達式： 此式表示對包含唯一變量的一元函數求極小值，得到最優補償因子和方向上唯一的極小點方法：一維搜索的數值解法可分兩步進行。首先在方向上確定個包含極小點的初始區間，然后縮小區間或插值逼近的方法逐步得到最優步長和維極小點。531 確定初始區間的進退法理論：在函數的任一單谷區間上必存在一個極小點，而且在極小點的左側，函數呈下降趨勢，在極小點的右側，函數呈上升趨勢。若方向上的三點 及其函數值，和，可通過比較三個函數值的大小估計出極小點所在的位置。（1） 若，則極小點位于右端點的右側；（2） 若，則極小點位于左端點的左側；（3） 若，則極小點位于和之間，就

24、是一個包含極小點的區間。可見，在某一方向上按一定方式逐次產生一些探測點，并比較這些探測點上函數值的大小，找出函數值呈“大小大”變化的三個相鄰點，其中兩個端點所確定的閉區間必定包含著極小點，這樣的區間稱初始區間，記作，這種尋找初始區間的方法稱進退法。方法：這種尋找初始區間的方法稱進退法，其具體探測步驟如下： (1)給定初始點，初始步長，； (2)產生新的探測點，； (3)比較函數值和的大小，確定向前或向后探測的策略。 若>，則加大步長人，令，轉(4)向前探測；若<，則調轉方向，令，轉(4)向后探測。(4)產生新的探測點，令；(5)比較函數值和的大小；若，則初始區間已經得到，令，當時，

25、當時，若，則繼續加大步長，令，轉(4)向前探測。532 黃金分割法黃金分割法是采用黃金分割點（0.618）不斷縮小區間得到極小點的一維搜索算法。縮小區間采用序列消去法：在已知區間，任選兩個中間插入點和（），比較兩點的函數值：若，則根據單谷區間的性質，極小點必在a和之間，于是消去區間，得到包含極小點的區間；若，則極小點必位于和b之間，消去區間，得到包含極小點的區間。不斷重復上述過程，將包含極小點的區間逐漸縮小，當區間長度b-a小于給定精度時，將區間內的一點作為該方向上的極小點。不同的中間插入點產生不同的一維搜索算法，黃金分割法是其中常用的算法。設區間內插入點和：，若縮小一次后的新區間為，由于新舊

26、區間內中間插入點應具有相同的位置關系，原區間內的點和新區間內的點實際上是同一個點：，解得：代入上式得：，黃金分割法以區間長度是否充分小作為收斂準則，并以收斂區間的中點作為一維搜索的極小點，即當時，取黃金分割法每次區間縮小的比率是完全相等的。如果將新區間的長度和原區間的長度之比稱作區間縮小率，則黃金分割法的區間縮小率等于常數0.618。如果給定收斂精度，初始區間長度b-a，則完成一維搜索所需縮小區間的次數n可以由下式求出：綜上所述，黃金分割法的計算步驟如(p165-166)：（1）給定初始區間和收斂精度（2）產生中間插入點并計算其函數值： （3）比較函數值和，確定區間的取舍：若，則新區間=，令，

27、記若，則新區間，令，記（4）收斂判斷：若區間的長度足夠小，即滿足，則將區間中點作為一維極小點，即令，結束一維搜索，否則轉（5）。（5）產生新的插入點：若，則取；若，則取，轉（3）進行新的區間縮寫。例5.5用黃金分割法求函數的極小點，給定。解：（1）確定初始區間： 由于，應加大步長繼續向前探測。令由于，初始區間找到，即。（2）用黃金分割法縮小區間第一次縮小區間： 由于，故新區間。因為，所以應繼續縮小空間。第二次縮小區間。令 由于，故新區間，因為，所以應繼續縮小區間。第三次縮小區間。令由于，故新區間，因為，所以應繼續縮小區間。第四次縮小區間。令由于，故新區間。因為，所以應繼續縮小區間。第五次縮小區間。令由于，故新區間，所以得到極小點和極小值533 二次插值法二次插值法又稱拋物線法，它是以目標函數的二次插值函數的極小點作為新的中間插入點，進行區間縮小的一維搜索算法。在確定初始區間時得到相鄰的三個點及其對應的函數值，記。在fox坐