1、    含時滯營養再生的單種群赤潮生態數學模型        摘要討論了四種營養上升函數的性質。根據赤潮藻類以四種不同方式吸收營養，其快慢程度不同，定性分析了赤潮生態數學模型解的有界性和平衡點的穩定性，并企將有關結論應用于赤潮研究。關鍵詞營養上升函數赤潮單種群生態數學模型穩定性1文獻背景及建模依據赤潮是海洋污染的訊號，是全球性的海洋災害之一。故對赤潮的研究是當今世界的重大科研課題1。文獻2討論了單胞藻類生態數學模型解的有界性及平衡點的穩定性；文獻3討論了兩競爭單胞藻類生態模型

2、解的有界性、持久性及平衡點的穩定性；文獻4討論食草類浮游動物自養類浮游植物營養三者相關動態模型解的有界性及解的持久性和平衡點的漸近穩定性；文獻5討論了大鵬灣夜光藻硅藻類浮游植物營養三者相關動態模型解的有界性、持久性和平衡點的漸近穩定性；文獻6討論多種群生態模型解的有界性和平衡點的漸近穩定性；文獻7討論夜光藻硅藻營養物質三者相關的動力學模型，并根據大鵬灣所發生的夜光藻赤潮數據分別對1次赤潮全過程和有連續3次赤潮的情形進行了有效的數值模擬。文獻2，3，6中模型適用于恒化裝置因或湖泊中；文獻27考慮含時滯營養再生且具有一般營養上升函數或某個特殊營養上升函數的情形。在某些海洋、河流和湖泊中，一方面，單

3、個赤潮藻種(例如硅藻、夜光藻、甲藻等)在適宜的氣溫、氣壓下，它吸收海洋環境因子中的豐富營養而大量繁殖和高度密集并在適宜的海況條件下產生赤潮；另一方面，不同赤潮藻類吸收營養快慢程度不同。于是，本文以文獻2為基礎，根據赤潮藻類以四種不同方式吸收營養元素并聯系海洋赤潮的實際背景，提出單種赤潮藻類生態數學模型。2營養上升函數有關性質首先，我們引進四種營養上升函數的一般形式為：(1)這里x表示海水中為一般藻類所依賴為生的營養鹽成分或作為捕食者藻類所依賴為生的被食者藻類密度。它們具有以下共同性質：g?i(x)0(x0)；(2)存在半飽和參數xm,使得gi(xm)=1/2,i=1,2,3,4。由此，又可以得

4、到下列性質：性質1當0<x<xm時，則有：g4(x)<g1(x)<g3(x)<g2(x);當x>xm時，則有：g2(x)<g3(x)<g4(x)<g1(x)。性質2若有兩個半飽和參數值xm>x?m,則對一切i=1,2,3,4有gi(xm)>gi(x'm)3赤潮藻類模型為了表述方便，引進下列符號標記。E=E(t)表示隨時間t變化的營養濃度，S=S(t)表示隨時間t變化的赤潮藻類密度，E0為營養輸入濃度，C1、C2表示營養、赤潮藻類的沖損率，a為赤潮藻類對營養的最大吸收率，r為赤潮藻類的死亡率，r1為赤潮藻類死亡后的營養再生

5、率(0r1<r),為赤潮藻類吸收營養的轉換比率(0<<1)。根據海洋環境中不同赤潮藻類吸收營養快慢程度不同，單種赤潮藻類死亡后經歷細菌和微生物分解作用再轉化為營養濃度，于是，提出如下赤潮藻類動力學模型：(3)滯后核函數F(u)是一個定義于0,+)上的非負有界函數，它描述了某種赤潮藻類浮游植物死亡后的營養再循環關系，F(u)滿足下列條件：(4)且常采用如下形式2：(5)另外，模型具有初始條件：(6)是一個定義于(-,t0上的有界正連續函數，因此，模型滿足解的存在唯一性條件，g(E)具有(1)中形式之一，且滿足(2)中性質，并具有性質1和性質2。4結果和討論結論1模型的一切解均是

6、一致有界的。結論1表明，赤潮藻類吸收營養快慢程度并不影響模型解的有界性。結論2若滿足下列條件：ar+C2,模型滿足初始值E0>0,S0>0的一切解(E(t),S(t),都有：limt+(E(t),S(t)=(E0,0)。結論2表明，若赤潮藻類最大營養吸收轉換比率小于等于其沖損率與死亡率之和，則赤潮藻類滅種，赤潮不會發生。結論3當0<EEm時，若g4(E0)>(r+C2)/a;當E>Em時，若g2(E0)>(r+C2)/a；則對所有g(E)=gi(E),而g1(E)要求0<E0<2Em(i=1,2,3,4)情形，模型存在唯一正平衡點Bi(E*i,S

7、*i),且E*i=g-1i(r+C2)/a)，S*i=(C1(E0-E*i)/(r+C2-r1)(i=1,2,3,4)。結論4若結論3成立，當r1=0或0<r1<r,且S()=S(t),(-,t時，模型的正平衡點Bi(E*i,S*i)在R2t=(E,S)|E>0,S>0內是全局漸近穩定的。結論5在時滯營養再生模型中，若取F(u)=K0(u)(弱時滯)或取F(u)=K1(u)(強時滯)，則正平衡點Bi(E*i,S*i)是局部漸近穩定的。結論35表明，若海洋環境中存在豐富的營養濃度，則赤潮藻類必將永久存在，當其密度高于赤潮藻類數量臨界值時就形成赤潮，否則即使有適宜的氣溫和海

8、況條件也不會形成赤潮。* 中山大學數學系作者單位：段美元王壽松*(中山醫科大學數學教研室廣州510089)參考文獻1錢宏林.南海北部沿海的赤潮和赤潮研究.暨南大學學報，1991，12：108111.2Beretta. E., Bischi G.I. and solimano F, Stability in chemostat equations with delayed untrient reayeling, J. Math. Biol, 1990,28:99111.3H.I. Freedman and Xu Yuantong, Models of competition in the che

9、mostat with instantaneous and delayed nutrient recycling, J.Math Biol, 1993,31:513:527.4Ruan Shi Gui and G.S.K, wolkowicz, persistence in plankton models with delayed nutrient recycling, J,Math, Biol,1992.5王壽松.大鵬灣夜光藻赤潮生態數學模型定性分析.中國工業與應用數學學會第三次大會文集，1994，370374.6Freedman H.I. etc, Coexistence in a model of compet