1、 一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要留數(shù)留數(shù)計(jì)算方法計(jì)算方法可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系極點(diǎn)的關(guān)系對(duì)數(shù)留數(shù)對(duì)數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)定理留數(shù)在定積留數(shù)在定積分上的應(yīng)用分上的應(yīng)用 Cdzzf)(計(jì)計(jì)算算 dxexRdxxfdRaix)(. 3;)(. 2;)cos,(sin. 120 輻角原理輻角原理路西原理路西原理1定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù))(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去

2、心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).1. 孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)2孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)根據(jù))(zf在其孤立奇點(diǎn)在其孤立奇點(diǎn)0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn); ii) 極點(diǎn)極點(diǎn); iii) 本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).定義定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中不含如果洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn). i) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)ii) 極點(diǎn)極點(diǎn) 01012

3、020)()()()(czzczzczzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定義定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的的10)( zz,)(0mzz 負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn).0z)(zfm那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗蓸O點(diǎn)的判定方法極點(diǎn)的判定方法0z在點(diǎn)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負(fù)冪項(xiàng)為有的負(fù)冪項(xiàng)為有0zz 的洛朗展開式中含

4、有的洛朗展開式中含有限項(xiàng)限項(xiàng).(a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價(jià)形式判別由定義的等價(jià)形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)0zz 那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)0z稱為稱為)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),注意注意: 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)i) 零點(diǎn)的定義零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf假如假如能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析

5、且解析且m為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn). 3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系假如假如0z是是)(zf的的 m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn), 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn). 反過來也成立反過來也成立. 2. 留數(shù)留數(shù)記作記作.),(Res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中負(fù)負(fù).)(101的系數(shù)的系數(shù)冪項(xiàng)冪項(xiàng) zzc為中心的圓環(huán)為中心的圓環(huán)在在即即0)(zzf定義定義 假如假如)(0zfz 為函數(shù)為函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 則沿則沿Rzzz 000的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰

6、域域在在內(nèi)包含內(nèi)包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱為后所得的數(shù)稱為.)(0的留數(shù)的留數(shù)在在zzf以以1)留數(shù)定理留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤內(nèi)除有限個(gè)孤nzzz,21外處處解析外處處解析, C 是是 D內(nèi)包圍諸奇內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d )(立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).(1) 假如假如0z

7、為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn), 那么那么. 0),(Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 假如假如 為為 的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn), 那末那末0z)(zf a) (2) 假如假如0z為為的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), 則需將則需將成洛朗級(jí)數(shù)求成洛朗級(jí)數(shù)求1 c)(zf)(zf展開展開(3) 假如假如0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則則有如下計(jì)算規(guī)則)(zf2)留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法 c)設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z假如假如,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z為一級(jí)極點(diǎn)為一級(jí)極點(diǎn), 且有且有都解析，都解析，

8、.)()(),(Res000zQzPzzf 假如假如 為為 的的 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn), 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b).),(Res1 Czf也可定義為也可定義為 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z0內(nèi)解析內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線那末積分那末積分值為值為)(zf在在 的留數(shù)的留數(shù).的值與的值與C無關(guān)無關(guān) , 則稱此定則稱此定 Czzfid)(21 3)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留

9、數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn), 那末那末在所有各奇點(diǎn)在所有各奇點(diǎn) (包括包括 點(diǎn)點(diǎn)) 的留數(shù)的總和必等于零的留數(shù)的總和必等于零.)(zf 定理定理3. 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用，令令 iez )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee zz212 20d)sin,(cos RI1三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)變程歷經(jīng)變程 2,0時(shí)時(shí), z 沿單位圓周沿單位圓周1 z的的正方向繞行一周正方向繞行一周.izzizzzzRIzd21,21122 zzfzd )(1 .

10、),(Res21 nkkzzfi.)(1), 2 , 1(的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的為為包包含含在在單單位位圓圓周周其其中中zfznkzk 則則為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果,)(xR nkkzzRixxR10.),(Resd)(則則次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為設(shè)設(shè), 2,)(,)(, )()()( nmmzQnzPzQzPzR nkkzzRiI1.),(Res2.)(), 2 , 1(在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為為其中其中zRnkzk .)(,)(.d)(沒有孤立奇點(diǎn)沒有孤立奇點(diǎn)在實(shí)軸上在實(shí)軸上且且數(shù)高兩次數(shù)高兩次的次數(shù)至少比分子的次的次數(shù)至少比分子的次分母分母的有理函數(shù)的

11、有理函數(shù)是是其中其中zRxxRxxRI 2無窮積分無窮積分則則在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)且且的次數(shù)高一次的次數(shù)高一次分母的次數(shù)至少比分子分母的次數(shù)至少比分子函數(shù)函數(shù)的有理的有理是是其中其中,)(,)(),0(d)(zRxxRaxexRIaix nkkaixaixzezRixexR1,)(Res2d)(.)(), 2 , 1(在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為為其中其中zRnkzk 3混合型無窮積分混合型無窮積分,2d1cos02mexxmx , 0d1sin2 xxmx).10(sind1,2dsin0 aaxeexxxxax 特別地特別地 4. 4.對(duì)數(shù)留數(shù)對(duì)數(shù)留數(shù)定義定義

12、具有下列形式的積分具有下列形式的積分: Czzfzfid)()(21.)(的對(duì)數(shù)留數(shù)的對(duì)數(shù)留數(shù)關(guān)于曲線關(guān)于曲線稱為稱為Czf,)(上上解解析析且且不不為為零零在在簡簡單單閉閉曲曲線線如如果果Czf,以以外外也也處處處處解解析析的的內(nèi)內(nèi)部部除除去去有有限限個(gè)個(gè)極極點(diǎn)點(diǎn)在在C那那么么.d)()(21PNzzfzfiC 內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù), P為為 f(z)在在C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù).其中其中, N為為 f(z)在在C且且C取正向取正向. 假如假如 f(z)在簡單閉曲線在簡單閉曲線C上與上與C內(nèi)解析內(nèi)解析, 且在且在C上不等于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于

13、內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于 21乘以當(dāng)乘以當(dāng)z沿沿C的正向繞行一周的正向繞行一周 f(z)的輻角的改變量的輻角的改變量. 輻角原理輻角原理 路西定理路西定理,)()(內(nèi)解析內(nèi)解析上和上和在簡單閉曲線在簡單閉曲線與與設(shè)設(shè)CCzgzf與與內(nèi)內(nèi)那那么么在在上上滿滿足足條條件件且且在在)(, )()(zfCzgzfC .)()(的的零零點(diǎn)點(diǎn)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相同同zgzf 三、典型例題三、典型例題.,)(判別類型判別類型并并在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)求下列函數(shù)求下列函數(shù)zf例1例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(內(nèi)的洛朗展式為內(nèi)的洛朗展式為在在由于由于 zzf zzzzz

14、zzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)是是的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)是是得得zfzzfz ;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)為為zw 又又且且為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)僅僅有有唯唯一一的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 則則), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)都是都是zf因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), zzzzezf1tanlim)(lim .)(的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是故故知

15、知zfz ,1 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的奇點(diǎn)，并確的奇點(diǎn)，并確定類型定類型. .322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇點(diǎn)是奇點(diǎn). zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因因?yàn)闉?,(1zgz 是單極點(diǎn)；是單極點(diǎn)；所以所以0 z1 z是二級(jí)極點(diǎn)是二級(jí)極點(diǎn);1 z是三級(jí)極點(diǎn)是三級(jí)極點(diǎn).例例3 3 證明證明 是是 的六級(jí)極點(diǎn)的六級(jí)極點(diǎn). .0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的的六六級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是所所以以 zezzfz的六級(jí)零點(diǎn)，的六級(jí)零點(diǎn)，是是因?yàn)橐驗(yàn)?1()(1033 zezzfz證證)1()(133 zezzf ! 3! 2

16、1296zzz,1! 2)(12333 zzz例例4 4 求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù). .,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz.coshsinh)4(zz解解(1)在在 內(nèi)內(nèi), 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1Res Cz所所以以. 1 ,! 5! 3sin53 zzzz因因?yàn)闉閮?nèi)內(nèi)，所所以以在在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinRes Czz故故.61 解解zz1sin)2(2zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz為

17、奇點(diǎn)為奇點(diǎn),0 n當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 為一級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)， nzznznzsin1)(lim 因因?yàn)闉?sin()1(limnzznznnz ,1) 1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是是二二級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)知知 z, 1 ,1)1(,sin1Resnnzzn 所所以以 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1Res20zzzzz20sincossinlim . 0 zzzfcoshsinh)()4( 解解的一級(jí)極點(diǎn)為的一級(jí)極點(diǎn)為)(zf , 2, 1, 02 kikzkkzzkzzzzf )(coshsinh),(Res故故kzzzz sinhsinh. 1 例例5

18、 5 計(jì)算積分計(jì)算積分.d)()sin(28zizzizz 為一級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)， 為七級(jí)極點(diǎn)為七級(jí)極點(diǎn).0 ziz )(lim0),(Res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin()(8iiziiziz 11)()sin(8 22357)(1)(11)( ! 71)( ! 51)( ! 31)(1iziiziiiziziziz解解 izi1! 11! 31! 51! 71 !71! 51! 311),(Resiizf所所以以由留數(shù)定理得由留數(shù)定理得 ),(Res0),(Res2d)()sin(28izfzfizizzizz .

19、!71! 51! 311sin2 iii例例6 6 .d)1()5(3243213zzzzz 解解248326131151)( zzzzzzf24321115111 zzz28434211125511 zzzzz在在 內(nèi)內(nèi), z3)1(2d)1()5(3243213 izzzzz故故.2 i 1),(Res Czf所所以以, 1 42211511zzz,1 z 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 計(jì)算計(jì)算 .d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(Res53 zzzzfz,2421 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 例例8 8 計(jì)算計(jì)算. )0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos1)2d(21xax