1、材料力學第十一章彎曲應力§11.1引言§11.2對稱彎曲梁的正應力§11.3梁的切應力§11.4 梁彎曲時的強度計算§11.5 梁的合理強度設計§11. 6提高梁強度的措施§11.1引言1.對稱彎曲的概念對于具有縱向對稱面的梁:平面彎曲外力作用在梁的縱向對稱平面內,使梁的軸線彎曲后仍在此對稱平面內的彎曲變形即:平面彎曲軸線的彎曲平面與外力的作用平面重合的彎曲形式例如:F F FF軸線§11.1引言§5.6純彎曲梁的正應力F F aa 純彎曲橫力彎曲橫截面上只有M 、沒有F Q 的彎曲橫截面上既有M 、又有

2、F Q 的彎曲剪切彎曲F QFFM FaMmmnn b'b'o'o'M1.實驗分析縱向線:變形現象:上層纖維縮短,下層纖維伸長F Fmm nn b b o o 仍為直線,相對旋轉了一角度彎成了相互平行的弧線,仍與橫向線垂直§11.2對稱彎曲梁的正應力橫向線:假設:(2縱向纖維處于簡單拉伸或壓縮狀態(1橫截面變形后仍為平面,且仍垂直于軸線(3同一高度上的纖維的變形相同橫截面上只有正應力橫截面上同一高度的正應力相等平面假設yzy b 1.實驗分析二、純彎曲梁的正應力Mmmnn b'b'o'o'MF Fmm nn b b o

3、o中性層中性軸既不伸長、也不縮短的纖維層橫截面各橫截面繞中性軸旋轉中性軸橫截面與中性層的交線兩個名詞:中性層2.公式推導Mmm nn b'b'o'o'M(1變形幾何學方面y=y d d x bb bb b b -''=o o o o ''''d d d -+=(y xd xyxmmnn b b o o yF Fl l =(2物理學方面E =yE=Mz yxz 軸中性軸yz yb y 軸對稱軸E E E =壓拉(假設(3靜力學方面=0=M =AA y Ed =AA y Ed 21zEI M =AA d N F zS

4、E=A y A d z M Mz xyC yE=z 軸必須通過橫截面的形心=zEI EI z 梁的抗彎剛度,反映梁抵抗彎曲變形的能力或橫截面上的正應力z I My max max = max zW M = max y I W z z =與橫截面的形狀和尺寸有關,單位:m 3抗彎截面系數zI My =最大正應力式中=z W Dy z C bh y zC 62bh 323D 常用截面W z :D d yzC 2/h I z =z W 2/D I z (43132-D =z W 2/D I z三、橫力彎曲梁的正應力在橫力彎曲情況下:橫截面上既有正應力,又有切應力可按純彎曲梁的正應力公式計算橫力彎曲梁

5、的正應力橫截面將發生翹曲,不再保持為平面精確的分析(彈性力學分析表明:當時5 hl第五章梁的基礎問題§11.3 梁的切應力一、矩形截面梁的切應力二、工字形截面梁的切應力三、圓形截面梁的切應力四、橫力彎曲時橫截面的翹曲變形§5.7梁的切應力實踐表明:有些梁是因正應力達到抗拉或抗壓強度而破壞有些梁則是因切應力達到抗切強度而破壞例如:跨度小、截面高的木梁破壞原因:(1梁端橫截面上的剪力較大(2木梁沿木紋方向的抗切能力較弱實驗研究和理論分析表明:梁的切應力分布規律與橫截面的形狀有關以下介紹幾種常用截面梁的切應力一、矩形截面梁的切應力1.兩個假設(1切應力方向與橫截面的側邊平行,與剪

6、力同向;(2切應力沿橫截面寬度均勻分布。yz x F Q2.公式推導(1取微段d xFxF Mb hzyQyxd xm m nnmnnm d xMQF M+d MF Q12(2在微段d x 中取研究體nm12deyde'mnnm d x MQF M+d MF Q12(3求研究體各面上的合力=*d 2*2N A A F +=*d d 1A zA I y M M (z I M M d +=*d 1A A y z I M M d +=*z S *1N z zS I M F =xb T d d '=d xnm2'mnbxzyd AF N21d AFN1y y 1d T de *

7、A *y 1nm12deyde'mnnm d x MQF M+d MF Q12§5.7梁的切應力(4考慮研究體的平衡*2N d zzS I M M F+=*1N zzS I M F=xb T d d '=:0=xFd *1N *2N =-T F F 0d d *='-+x b S I M S I M M z zz z (bI Sx M z z*d d ='b I S F z z*Q =denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *'§5.7梁的切應力一、矩形截面梁的切應力(公式推導切應力公式

8、由切應力互等定理:*Q bI S F z z='=bh yzy dF QbI S x M z z*d d ='b I S F z z*Q =denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *'由切應力互等定理:*Q bI S F z z=式中'=*zS所求切應力點外側面積對中性軸的靜矩denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *h yzy dF Q'*Q b I SF z z=*Cz y A S =max -+ -=222y h y y h b -=2242y h b

9、23 QmaxbhF =3.切應力分布規律 -=22Q 42y h I F z h yzy dF Q二、工字形截面梁的切應力腹板中的切應力矩形截面上切應力分布的兩個假設仍然適用故§5.7梁的切應力腹板中的切應力翼緣二、工字形截面梁的切應力腹板矩形截面上切應力分布的兩個假設仍然適用max minmin*Q bI S F z z=yBbzh Hy dF Q故盒形薄壁梁4(2(612(22220S S y h h h b I F I S F y z z z -+-=1.假設三、圓形截面梁的切應力(1水平弦AB 上各點的切應力zy PRB CAF y bQ 方向交于一點(2水平弦AB 上各點

10、的切應力垂直分量相等垂直分量2.切應力公式bI S F z zy *Q =3.最大切應力zyRF maxQ2Q max34RF =四、橫力彎曲梁橫截面的翹曲變形矩形截面梁切應變:切應變沿高度按拋物線變化,使得橫截面發生翹曲 -=22Q 42y h I F z -=22Q 42y h GI F G z yxF =0 =maxF切應力: 1 m A B CF = 20 kN 1.5 m 1 m 118 kN 12 kNy z 6010030b I S F z zD D *11Q -=MPa 6010540206010863=(MPa 28.1= z I 46mm 105z E E I y M 11

11、-=MPa 1055010866=MPa 08=zD D I y M 11-=MPa 1053010866-=(48MPa -=E 0=D E 的最大正應力和最大切應力。解: 123bh 1.D 與E 點的應力43mm 1210060=求支反力M (kN m 12.F ( kN 812Q 2.梁的最大應力z I y M max max max =MPa 10550101266MPa 120=bh F max Q max 23|=MPa 100601012233MPa 3= 1 mA B C F = 20 kN 1.5 m 1 m 118 kN 12 kN yz 6010030D E 的最大正應

12、力和最大切應力。解:第五章梁的基礎問題§11.4 梁彎曲時的強度計算一、正應力強度條件二、切應力強度條件三、強度計算的三類問題§5.8梁彎曲時的強度計算一、正應力強度條件| max t max t 一、正應力強度條件注意: | max max=zW M 1.對于t =c =的材料(如低碳鋼,要求:2.對于t c 的材料(如灰鑄鐵,要求:| c max c | *maxmax Q max =bI SF z z 二、切應力強度條件式中中性軸一側的橫截面面積對中性軸的靜矩b *max z S橫截面在中性軸處的寬度三、強度計算的三類問題(1校核強度(2選擇截面(3確定許用載荷2mA

13、 BC20 kN3m1mD 10 kN/m20017030301y 2y z I mm 2003017030185200308517030+=m m139=m m61=2346302001230200+=45mm10403 =z z y 11y 2Cy 1.求幾何參數423mm54170301217030+解:=139=61c tc t2.求支反力解:3.畫M圖,求危險截面4.強度校核M ( kN m .2010 =139=612001703030z z y11 y2C y2mAB C20 kN3m1mD10 kN/m30 kN10 kNc t 解:zB B I y M 2max t =zB

14、B I y M 1max c |=zC C I y M 1max t =zC C I y M 2max c |=MPa 1040361102056=MPa 330.MPa 10403139102056MPa 069.=MPa 10403139101056MPa 534.=MPa 1040361101056=MPa 215.t <t <c <c <梁安全M ( kN m .2010=139=612001703030z z y 11y 2Cy 2mA BC20 kN3m1mD 10 kN/m30 kN10 kN解:1.求支反力1 F =200 kN 3 m 3y z11F

15、=60 kN 2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kNBy F 60 kN100 kN100 kN60 kNQ240 kN m 60 kN m.60 kN m .MkN 100|max Q max Q =F F 2.畫F Q 、M 圖mkN 240|max max =M M3.按正應力強度條件選擇截面得到由max z W M max M W z 36mm 17010240=36mm 10412.1=3cm 1412=對于一根槽鋼3cm 7062='z z W W 查表取:No.36c ,其3cm 746='z W 解:1 F =200 kN 3

16、 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kN By F 60 kN 100 kN100 kN 60 kN Q240 kN m 60 kN m .60 kN m .M4.校核切應力強度查表得:4cm13400=z I z 16100133601A *2A *2*2*1*1*max C C z y A y A S +=(818016100-=2161801618013-+(34mm1045=解:1 F =200 kN 3 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kNAy F =160 kN By F 60 kN100 kN100 kN60 kNQ每根槽鋼承受的最大剪力為:34*max mm1045=z S kN 502max Q max Q ='F F MPa 9.12=bI S F z z *max max Q max '=MPa 13101340010451050443=<取No.36c 解:1 F =200 kN 3 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kN By F 60 kN 100 kN 100 kN 60 kN Q 4.校核切應