1、第一章1、簡述量子力學基本原理。答：QM原理一 描寫圍觀體系狀態的數學量是Hilbert空間中的矢量,只相差一個復數因子的兩個矢量，描寫挺一個物理狀態。QM原理二 1、描寫圍觀體系物理量的是Hillbert空間內的厄米算符()；2、物理量所能取的值是相應算符的本征值；3、一個任意態總可以用算符的本征態展開如下：；而物理量A在中出現的幾率與成正比。原理三 一個微觀粒子在直角坐標下的位置算符和相應的正則動量算符有如下對易關系：，原理四 在薛定諤圖景中，微觀體系態矢量隨時間變化的規律由薛定諤方程給在海森堡圖景中，一個厄米算符的運動規律由海森堡方程給出： 原理五 一個包含多個全同粒子的體系，在Hill

2、bert空間中的態矢對于任何一對粒子的交換是對稱的或反對稱的。服從前者的粒子稱為玻色子，服從后者的粒子稱為費米子。2、薛定諤圖景的概念？答：>式中態矢隨時間而變而不含t，結果波函數中的宗量t來自而x來自，這叫做薛定諤圖景.3、 已知 (1)請寫出Pauli矩陣的3個分量； (2)證明x的本征態4、已知：P為極化矢量，P=<|>，其中=C1+C2，它的三個分量為：求證：答案：設：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2則：Px=2(x1x2+y1y2) Py=2(x1y2-x2y1) Pz=x12+y12-x22-y22P2=Px2+Py2+Pz2=4(x1x2+y1y2)2+4

3、(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24)=(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(|C1|2+|C2|2)25、6、證明不確定關系.答案:對于兩個可觀測量和成立不等式：（1）先證明一個引理-schwarz不等式：對于兩個態矢和，必有：（2）此不等式類似于對實歐式空間的兩個矢量a,b，

4、必有：（3）對任意復常數，我們有：（4）取，代入上式可得（2）.現在證明（1）式：?。?）這里用態來強調對任何ket矢量都適用，于是（2）式給出：（6）因：（7）其中對易子是一個反厄米算符，它的平方值恒為純虛數，而反對易子是厄米算符，它的平方值恒為實數，于是：的模的平方等于。7、證明：幺正算符的本征態互相正交.解: 設 |n 是幺正算符S的一個本征態, 本征值為 n, 則n|S|n = n => n|S= n|n => S+|n = n+|n即|n 也是S+的本征態，而 H = S + S+ 是厄米算符， H|n = (n + n+)|n故|n 也是H的本征態，而厄米算符的本征態相

5、互正交, 所以幺正矩陣的本征態相互正交.8、試證明：若體系在算子變換Q下保持不變，則必有H,Q=0。這里H為哈密頓算符，變換Q不顯含時間，且存在逆變換Q-1。9、論述態矢,波函數與圖景,表象的關系,并說明薛定諤圖景和海森堡圖景的區別.答案: 態矢與圖景有關而與表象無關,波函數作為態矢在基態上的投影卻與表象有關和圖景無關。海森堡圖景,態矢依賴時間t而基矢不含t,而對于海森堡圖景而言，不含t，于是時間依賴性完全轉移到中去了。10、求證11、請寫出一維諧振子的經典哈密頓量答：一維諧振子的經典哈密頓量：12、產生,湮滅算符的定義,為什么把它們叫產生湮滅算符?答案: 產生,湮滅算符的定義如下： 定義粒子

6、數算符可以得到：由此可知和分別是的本征值為（n+1）和（n-1）的本征態。故稱其為產生湮滅算符。13、證明諧振子在激發態中 證明：同理： 對于激發態 14、請構造相干態.解:相干態為最小不確定態，同時是的本征態，記為在N表象中解此方程，展開：由得 又有 ，所以由歸一化條件得：15、簡述：從經典力學過渡到量子力學的三種途徑薛定諤的表述形式，即波動力學，它重視描述粒子“波粒二重性”運動的波函數。（1） 海森波的矩陣力學，它重視可觀察量。把可觀察量和算符間建立了一一的對應關系，研究算符的運動方程，它包含有對易關系的運算。（2） 第三種是狄拉克和費曼發現的，他們著眼于經典作用量和量子力學中相位之間的關系，重視“傳播函數”或“傳播子”的作用。16、由最小作用量原理推導拉格朗日方程。第二章17、勢散射：兩粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用勢能表達的引力或斥力，這時的散射稱為勢散射.18、證明S算符是么正的證明：因為且所以所以算符S是么正