1、平面向量 【基本概念與公式】【基本概念與公式】 【 任何時候寫向量時都要帶箭頭 】1. 向量 :既有大小又有方向的量。記作:AB 或 a。 2. 向量的模 :向量的大小(或長度 ,記作:|AB 或 |a。3. 單位向量 :長度為 1的向量。若 e 是單位向量,則 |1e =。4. 零向量 :長度為 0的向量。記作:0 。 【 0方向是任意的,且與任意向量平行】5. 平行向量(共線向量 : 方向相同或相反的向量。 6. 相等向量 :長度和方向都相同的向量。 7. 相反向量 :長度相等,方向相反的向量。 AB BA =-。8. 三角形法則: AB BC AC += ; AB BC CD DE AE

2、 += ; AB AC CB -=(指向被減數 9. 平行四邊形法則 :以 , a b為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為 a b + , a b - 。 10. 共線定理 : /a b a b = 。當 0時, a b 與 同向;當 0時, a b與 反向。 11. 基底 :任意不共線的兩個向量稱為一組基底。 12. 向量的模:若 (, a x y =,則 |a = 22|a a = , |a b += 13. 數量積與夾角公式:|cos a b a b = ; cos |a b a b =14. 平行與垂直: 1221/a b a b x y x y = ; 121200a b a b x

3、 x y y =+=平面向量 【基本題型】題型 1. 基本概念判斷正誤 :(1共線向量就是在同一條直線上的向量。(2若兩個向量不相等,則它們的終點不可能是同一點。 (3與已知向量共線的單位向量是唯一的。(4四邊形 ABCD 是平行四邊形的條件是 AB CD =。(5若 AB CD =,則 A 、 B 、 C 、 D 四點構成平行四邊形。(6因為向量就是有向線段,所以數軸是向量。(7若 a 與 b 共線, b 與 c 共線,則 a 與 c共線。(8若 ma mb = ,則 a b =。(9若 ma na =,則 m n =。(10若 a 與 b 不共線,則 a 與 b都不是零向量。 (11若 |

4、a b a b =,則 /a b 。 (12若 |a b a b +=-,則 a b 。題型 2. 向量的加減運算1. 設 a 表示“向東走 8km ” , b 表示“向北走 6km ” , 則 |a b +=。2. 化簡 ( ( AB MB BO BC OM +=。3. 已知 |5OA = , |3OB = , 則 |AB的最大值和最小值分別為 、 。4. 已知 AC AB AD 為 與 的和向量, 且 , AC a BD b = , 則 AB = , AD =。5. 已知點 C 在線段 AB 上,且 35AC AB = , 則 AC = BC , AB =BC 。題型 3. 向量的數乘運算

5、1. 計算:(1 3( 2( a b a b +-+=(2 2(253 3(232 a b c a b c +-+-=2. 已知 (1,4, (3,8 a b =-=- ,則 132a b -=題型 4. 作圖法球向量的和已知向量 , a b,如下圖,請做出向量 132a b + 和 322a b - 。ab題型 5. 根據圖形由已知向量求未知向量1. 已知在 ABC 中, D 是 BC 的中點,請用向量 AB AC , 表示 AD。2. 在平行四邊形 ABCD 中,已知 , AC a BD b =,求 AB AD 和 。題型 6. 向量的坐標運算1. 已知 (4,5AB =, (2,3A ,

6、則點 B 的坐標是 。2. 已知 (3, 5 PQ =-, (3,7P ,則點 Q 的坐標是 。3. 若物體受三個力 1(1,2 F = , 2(2,3 F =- , 3(1, 4 F =-, 則合力的坐標為 。4. 已知 (3, 4 a =-, (5,2 b = ,求 a b + , a b - , 32a b - 。5. 已知 (1,2,(3,2A B , 向量 (2, 32 a x x y =+-與 AB 相等,求 , x y 的值。6. 已知 (2,3AB = , (, BC m n = , (1, 4 CD =- ,則 DA =。7. 已知 O 是坐標原點, (2,1, (4,8 A

7、 B -,且 30AB BC += ,求 OC的坐標。題型 7. 判斷兩個向量能否作為一組基底1. 已知 12, e e是平面內的一組基底,判斷下列每組向量是否能構成一組基底:A. 1212e e e e +- 和 B.1221326e e e e - 和 4 C.122133e e e e +- 和 D.221e e e - 和2. 已知 (3,4a = ,能與 a構成基底的是( A. 34(, 55 B.43(, 55 C.34(, 55- D.4(1, 3-題型 8. 結合三角函數求向量坐標1. 已知 O 是坐標原點, 點 A 在第二象限, |2OA = , 150xOA =,求 OA

8、的坐標。2. 已知 O 是原點,點 A在第一象限, |OA = 60xOA =,求 OA 的坐標。 題型 9. 求數量積1. 已知 |3,|4a b = ,且 a 與 b的夾角為 60 ,求(1 a b , (2 ( a a b + , (3 1( 2a b b -, (4 (2 (3 a b a b -+ 。2. 已知 (2,6, (8,10 a b =-=-,求(1 |,|a b , (2 a b , (3 (2 a a b + , (4 (2 (3 a b a b -+。題型 10. 求向量的夾角1. 已知 |8,|3a b = , 12a b = ,求 a 與 b的夾角。2.已知 (a

9、 b =- ,求 a 與 b的夾角。 3. 已知 (1,0A , (0,1B , (2,5C ,求 cos BAC 。題型 11. 求向量的模1. 已知 |3,|4a b = ,且 a 與 b 的夾角為 60,求(1 |a b + , (2 |23|a b - 。2. 已知 (2,6, (8,10 a b =-=- ,求(1 |,|a b , (5 |a b + , (6 1|2a b -。3. 已知 |1|2a b = , |32|3a b -= ,求 |3|a b +。題型 12. 求單位向量 【與 a 平行的單位向量:|ae a =】1. 與 (12,5a =平行的單位向量是 。2. 與

10、 1(1, 2m =-平行的單位向量是 。題型 13.向量的平行與垂直 r r r r r r 1.已知 a = (6, 2 ， b = (-3, m ，當 m 為何值時， （1） a / / b ？（2） a b ？ r r r r r r 2.已知 a = (1, 2 ， b = (-3, 2 ， （1） k 為何值時，向量 ka + b 與 a - 3b 垂直？ r r r r （2） k 為何值時，向量 ka + b 與 a - 3b 平行？ r r r r r r r r r r 3.已知 a 是非零向量， a b = a c ，且 b c ，求證： a (b - c 。 題型 14

11、.三點共線問題 1.已知 A(0, -2 ， B(2, 2 ， C (3, 4 ，求證： A, B, C 三點共線。 uuu r r r r uuu r r r 2 r r uuu (a + 5b, BC = -2a + 8b, CD = 3(a - b ，求證： A、B、D 三點共線。 2.設 AB = 2 uuu r r r uuu r r r uuu r r r 3.已知 AB = a + 2b, BC = -5a + 6b, CD = 7a - 2b ，則一定共線的三點是 。 4.已知 A(1, -3 ， B(8, -1 ，若點 C (2a - 1, a + 2 在直線 AB 上，求

12、a 的值。 5.已知四個點的坐標 O(0, 0 ， A(3, 4 ， B(-1, 2 ， C (1,1 ，是否存在常數 t ，使 uuu r uuu r uuu r OA + tOB = OC 成立？ 6 題型 15.判斷多邊形的形狀 uuu r r uuu r r uuur uuu r 1.若 AB = 3e ， CD = -5e ，且 | AD |=| BC | ,則四邊形的形狀是 2.已知 A(1,0 ， B(4,3 ， C (2, 4 ， D(0, 2 ，證明四邊形 ABCD 是梯形。 。 3.已知 A(-2,1 ， B(6, -3 ， C (0,5 ，求證： DABC 是直角三角形。

13、 uuu r uuu r uuur 4.在平面直角坐標系內，OA = (-1,8, OB = (-4,1, OC = (1,3 ,求證：DABC 是等腰 直角三角形。 題型 16.平面向量的綜合應用 r r r r r r 1.已知 a = (1,0 ， b = (2,1 ，當 k 為何值時，向量 ka - b 與 a + 3b 平行？ r r r r r 2.已知 a = ( 3, 5 ，且 a b ， | b |= 2 ，求 b 的坐標。 r r r r r r 3.已知 a與b 同向， b = (1, 2 ，則 a b = 10 ，求 a 的坐標。 r r r r 4.已知 a = (1

14、, 2 ， b = (3,1 ， c = (5, 4 ，則 c = r a+ r b。 r r r r r r 5.已知 a = (5,10 ， b = (-3, -4 ， c = (5,0 ，請將用向量 a, b 表示向量 c 。 r r r r 6.已知 a = (m,3 ， b = (2, -1 ， （1）若 a 與 b 的夾角為鈍角，求 m 的范圍； r r （2）若 a 與 b 的夾角為銳角，求 m 的范圍。 7 r r 7.已知 a = (6, 2 ， b = (-3, m ，當 m 為何值時， r r r r （1） a 與 b 的夾角為鈍角？（2） a 與 b 的夾角為銳角？

15、8.已知梯形 ABCD 的頂點坐標分別為 A(-1, 2 ， B(3, 4 ， D(2,1 ，且 AB / / DC ， AB = 2CD ，求點 C 的坐標。 9.已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點的坐標分別為 A(2,1 ， B(-1,3 ， C (3, 4 ， 求第四個頂點 D 的坐標。 10.一航船以 5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方 向成 30o 角，求水流速度與船的實際速度。 11. 【2007 年廣東卷】 已知 DABC 三個頂點的坐標分別為 A(3, 4 ，B(0,0 ， C (c,0 ， uuu r uuur （1）若 AB AC = 0 ，求 c 的值； （2）若 c = 5 ，求 sin A 的值。 【備用】 r r r r r r r r 1.已知 | a |= 3,| b |= 4,| a + b |= 5 ，求 | a - b | 和向量 a, b 的夾角。 r r r u r r r r r r r r u r 2.已知 x = a + b ， y = 2a + b ，且 | a |=| b |= 1 ， a b ，求 x, y 的夾角的余弦。 r r r r r r 3