1、第5講 探索性問題 概述：探索性題目一般作為壓軸題或次壓軸題出現，題目較難，難在結論不肯定，要通過探索證明或計算，得出結論，并給予肯定或否定回答：這種題目的結論有多樣性，需要解題的周密考慮，解這種題目有兩種方法：一種是假定結論成立，去證明它的可能性或存在性；另一種是從條件出發直接證明或計算回答存在或不存在 典型例題精析 例1如圖1，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3 （1）如圖2所示，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關系？（不必證明） （2）

2、如圖3所示，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系并加以證明； （3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別為S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件？并證明你的結論；（4）類比（1）、（2）、（3）的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論 解：設直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c2=a2+b2 （1）S1=S2+S3； （2）S1=S2+S3，證明如下： 顯然：S1=c2，S2=a2，S3=b2， S2+

3、S3=（a2+b2）=c2=S1 （也可用三角形相似證明） （3）當所作的三個三角形相似時，S1=S2+S3證明如下： 所作三個三角形相似， =1， S1=S2+S3 （4）分別以直角三角形ABC的三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則S1=S2+S3 例2如圖1，O1和O2外切于P，AB是O1和O2的公切線，A、B是切點，直線AP、BP分別交O2，O1于F、E （1）求證：AE、BF分別為O1、O2的直徑； （2）求證：AB2=AEBF；（3）如圖2，當圖1中的切點P變為兩圓一個交點時，結論AB2=AEBF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由 分析：（1）即

4、證APE=BPF=90，過P作二圓公切線，可證明 （2）證明ABEBFA可得 （3）同樣可證ABEBFA E=BAF，F=ABE中考樣題訓練 1如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別作餅速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動 ，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動 （1）求出直線OC的解析式及經過O、A、C三點的拋物線的解析式 （2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與AOC全等，請直接寫出點D

5、的坐標 （3）設從出發起運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍（4）設從出發起，運動了t秒鐘，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由 2如圖，O2與O1的弦BC切于C點，兩圓的另一個交點為D，動點A在O1上，直線AD與O2交于點E，與直線BC交于點F （1）如圖1，當點A在上時，求證： FDCFCE； ABEC；（2）如圖2，當點A在上時，是否仍有ABEC？請證明你的結論 3如圖，A和B是外離兩圓，A 半徑長為2，B的半徑長為1，AB=4

6、，P為連結兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切A于點C，PD切B于點D （1）若PC=PD，求PB的長； （2）試問線段AB上是否存在一點P，使PC+PD=4？如果存在，問這樣的P點有幾個；并求出PB的值；如果不存在，說明理由；（3）當點P在線段AB上運動到某處，使PCPD時，就有APCPBD，請問：除上述情況外，當點P在線段AB上運動到何處（說明PB的長為多少；或PC、PD具有何種關系）時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線CP與B的位置關系，證明你的結論 4三月三，放風箏，圖中是小明制作的風箏，他根據DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH請你用所學知識給予證明考前熱身訓練 1

7、填空題 （1）觀察下列等式，你會發現什么規律？ 35=15，而15=42-1， 57=35，而35=62-1， 1113=143，而143=122-1， 將你猜想到的規律用只含一個字母的式子表示出來_（2）如圖，以ABC的邊AB為直徑作O交BC于D，過D作O的切線交AC于E，使得DEAC，則ABC的邊必須滿足的條件是_ 2已知反比例函數y=（k0）和一次函數y=-x+8 （1）若一次函數和反比例函數的圖象交于點（4，m），求m和k； （2）k滿足什么條件時，這兩個函數圖象有兩個不同的交點？（3）設（2）中的兩個交點為A、B，試判定AOB是銳角還是鈍角？ 3如圖，在直角坐標系xOy中，以點A（0

8、，-3）為圓心作圓與x軸相切，B與A外切于點P，B點在x軸正半軸上，過P點作兩圓的公切線DP交y軸于D，交x軸于C （1）設A的半徑為r1，B的半徑為r2，且r2=r1，求公切線DP的長及直線DP的函數解析式； （2）若A的位置大小不變，點B在x軸正半軸上移動，B與A始終外切，過D作B的切線DE，E為切點，當DE=4時，B點在什么位置？從解答中能發現什么？答案:中考樣題看臺1（1）y=x y=-x2+x （2）D（10，6） （3）當Q在OC上運動時，可設Q（m，m），依題意有：m2+（m2）=（2t）2 m=t，Q（t，t），（0t5） 當Q在BC上時，Q點所走過的路程為2t OC=10，C

9、Q=2t-10， Q點在橫坐標為2t-10+8=2t-2， Q（2t-2，6）（5t10） （4）梯形OABC的周長為44，當Q點在OC上，P運動的路程為t，則Q運動的路程為（22-t） OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）， SOPQ=t（22-t），S梯形OABC=（180+10）6=84 依題意有：t（22-t）=84， 整理得：t2-22t+140=0=222-41400， 這樣的t不存在 當Q在BC上時，Q走過的路程為22-t， CQ的長為：22-t-10=12-t， S梯形OCQP=6（22-t-10+t）=3684， 這樣的t值也不存在 綜上所述，不存在這樣的t值，使得直線PQ

10、同時平分梯形的周長和面積2（1）BC切O2于C，ECF=CDF，又F=F，FDCFCE又ADC=ABC，ECF=CDF，ABC=ECF，ABEC （2）有ABEC，證明：BC切O2于C，BCE=D，又ABCD內接于O1，ABF=D，BCE=ABF，ABEC3（1）PC切A于點C，PCAC，PC2=PA2-AC2，同理PD2=PB2-BD2，PC=PD，PC2-AC2=PB2-BD2，設PB=x，PA=4-x代入得x2-1=（4-x）2-22，解得x=，12） （2）假定有在一點P使PC2+PD2=4，設PB=x，則PD2=x2-1，PC2=（4-x）2-22，代入條件得（4-x）2-22+x2-1=4，解得x=2，P在兩圓間的圓外部分，1PB2，即1x2，滿足條件的P點只有一個，這時PB=2-（3）當PC：PD=2：1或PB=時，也有PCAPDB，這時，在PCA與PDB中（或），C=D=Rt，PCAPDB，BPD=APC=BPE（E在CP的延長線上），B點在DPE的角平分線上，B到PD與PE的距離相等，B與PD相切，B也與CP的延長線PE相切4證明：連結DH在DEH和DFH中， DEHDFH，DEH=DFH考前熱身訓練1（1）（2n-1）（2n+