1、2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)1指數(shù)概念的擴(kuò)充(1)整數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：一個(gè)數(shù)a的n次冪等于n個(gè)a的連乘積，(nN)，a叫作冪的底數(shù)，n叫作冪的指數(shù)，an讀作“a的n次冪”零指數(shù)冪：任何一個(gè)不為零的數(shù)的0次冪都等于1，即a01(a0)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：一個(gè)數(shù)的負(fù)整數(shù)次冪等于這個(gè)數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù)，即an (a0，nN)(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的正實(shí)數(shù)b，使得bnam，我們把b叫作a的次冪，記作.它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的兩點(diǎn)說明：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不是個(gè)相同因式a相乘，它實(shí)質(zhì)上是關(guān)于b的方程bnam的解為什么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義中規(guī)定b0?剖析：由整

2、數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定知，當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意整數(shù)m，總有amb0，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，bn0，此時(shí)bnam；當(dāng)n為負(fù)整數(shù)或零時(shí)，bn無意義，bnam無意義若b0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn0，此時(shí)bnam；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，雖然bnam成立，但此時(shí)，0bb0.談重點(diǎn) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化有時(shí)我們把正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫成根式形式，即(a0，m，nN，且n1)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，即(a0，m，nN，且n1)在這樣的規(guī)定下，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以看作是根式的一種新的寫法，它們表示的意義相同，只是形式上不同而已另外，我們規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(3)無理數(shù)指數(shù)冪當(dāng)a0，p是

3、一個(gè)無理數(shù)時(shí)，ap的值就可用兩個(gè)指數(shù)為p的不足近似值和過剩近似值構(gòu)成的有理數(shù)冪序列無限逼近而得到(這個(gè)逼近結(jié)果的極限就等于ap)，故ap是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)(4)實(shí)數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念后，指數(shù)概念就實(shí)現(xiàn)了由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)充；規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)概念就由有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪自然地，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有11和a(a0)【例11】把下列各式中的b寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式(b0)：(1)b34；(2)b25；(3)bm32n(m，nN)分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念可知，若bnam(a0，b0，mZ，nZ)，則b.解：(1)b；(2)b；(3).【例12】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下

4、列各式：(1)；(2)；(3)；(4).分析：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式時(shí)，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的根式形式(a0，m，nN且n1)在中指數(shù)的分母n是開方次數(shù)，分子m是被開方數(shù)的乘方次數(shù)解：(1)；(2)；(3)；(4).【例13】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).分析：求的值，可緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，即滿足bnam時(shí)，b(m，nZ，a0，b0)；也可將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫成根式的形式再求值解：(方法1)(1)設(shè)x，則x36424 096，又1634 096，x16，即16；(2)設(shè)，則x4811，又，即；(3)設(shè)，則x31251，又，即；(4)設(shè)，則x38264，又4364，x4，即.(方法2)(

5、1)；(2)；(3)；(4).2指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)(1)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)am·anamn；(am)namn；(ab)nanbn；當(dāng)a0時(shí)，有n(b0)其中m，nN.(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)a0，b0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都滿足以下三條：am·anamn(兩個(gè)同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加)；(am)namn(冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘)；(ab)nanbn(兩個(gè)實(shí)數(shù)積的冪等于它們冪的積)破疑點(diǎn) 指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，性質(zhì)n可歸入性質(zhì)(ab)nanbn(其中a0，b0)這是因?yàn)閚(ab1)nan·(b1)nanbn可由性質(zhì)(ab)nanbn推出

6、2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，性質(zhì)可歸入性質(zhì)am·anamn(其中a0)這是因?yàn)椋?dāng)mn時(shí)，am·anam(n)amn；當(dāng)mn時(shí)，am·anam(n)amna01；當(dāng)mn時(shí)，am·anam(n)amna(nm)都可由性質(zhì)am·anamn推出(3)在實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中為何規(guī)定a0，b0剖析：這是由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義決定的，因?yàn)槲覀円?guī)定a0時(shí)表示一個(gè)根式，負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義并沒有定義，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)不作這樣的限制的話，就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算上的錯(cuò)誤例如：2，顯然這是錯(cuò)誤的【例21】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(式中a0)(1)；(2)；(3).分析：先利用分?jǐn)?shù)指

7、數(shù)冪與根式的互化關(guān)系將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)化簡解：(1)；(2)；(3).析規(guī)律 的應(yīng)用此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用(a0，m，nN，且n1)當(dāng)各式中含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再利用指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)化簡【例22】設(shè)a0，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是()ABC D解析：.答案：C【例23】求下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)2×36；(2)；(3)；(4).析規(guī)律 含根式的式子如何化簡對(duì)于含有根式的式子化簡問題，常把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)并靈活應(yīng)用3利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡或求值的方法(1)在進(jìn)

8、行指數(shù)冪和根式的混合運(yùn)算時(shí)，一般要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算當(dāng)化簡式含有多重根號(hào)時(shí)，要遵循由內(nèi)向外的原則，逐層脫去根號(hào)(2)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)冪，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)幾個(gè)冪相乘時(shí)，要特別注意幾個(gè)冪底數(shù)的關(guān)系，能統(tǒng)一底數(shù)的要統(tǒng)一底數(shù)，再利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(3)運(yùn)算結(jié)果不強(qiáng)求一致，若題目給出的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，結(jié)果一般也用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式；若題目給出的是根式形式，結(jié)果一般也用根式形式；若題目給出的是指數(shù)與根式的混合形式，最后結(jié)果一般保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式值得注意的是，結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含負(fù)指數(shù)冪，能合并同類

9、項(xiàng)的必須合并【例3】化簡或求值(1)；(2)(0.25)625；(3)；(4)；(5) (a0)；(6).解：(1)原式；(2)原式2350；(3)原式；(4)原式a0b01；(5)原式；(6)原式.4給值求值問題已知代數(shù)式的值求其他代數(shù)式的值，通常又簡稱為“知值求值”，解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式的特點(diǎn)與聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值要注意正確地變形，像平方、立方等一些公式的應(yīng)用問題，還要注意開方時(shí)的取值符號(hào)問題例如，已知，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2；(3) .顯然，從已知條件中解出a的值，然后再代入求值，這種方法是不可取的，

10、而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值將兩邊平方，得aa129，即aa17.再將上式平方，有a2a2249，即a2a247.由于，所以有aa118.【例41】已知2x2x5，求(1)4x4x；(2)8x8x.解：(1)4x4x(22)x(22)x(2x)2(2x)2(2x)22×2x×2x(2x)22(2x2x)2252223.(2)8x8x(23)x(23)x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x×2x(2x)2(2x2x)(4x4x1)5×(231)110.析規(guī)律 平方法在求值中的應(yīng)用遇到式子中含有指數(shù)互為相反數(shù)的數(shù)，通常用平方法進(jìn)行解決，平方后觀察條件和結(jié)論的關(guān)系，變形求解即可本題中用到了兩個(gè)公式(ab)2a22abb2，a3b3