1、內(nèi)切與外接1球與柱體1.1 球與正方體如圖1所示'正方體皿CZ）、設(shè)正方悴的棱長(zhǎng)%a -為棱的中點(diǎn)，O齒球的球心常見(jiàn)組合有式有三美一是球先正方體的內(nèi)切球載面圖為正方形2FGW和其內(nèi)切圓則 耳：|。牛心|；二是與正方體各機(jī)相切的球，截面圖対正方形斷胡和亙撲拷囲GO = R=-a,三是球?yàn)檎襟w的外接球，截苛圖対2圖I長(zhǎng)方冊(cè)ACA.C,和其外援圓，則|40|二用二號(hào)位-通過(guò)這三種糞型可以例1 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCA1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球0的表面上，E, F分別是棱AA，DD1的中點(diǎn)，則直線 EF被球0截得的線段長(zhǎng)為（）A.1.2球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外

2、切球但是不一定存在內(nèi)切球設(shè)長(zhǎng)方體 的棱長(zhǎng)為a,b,c,其體對(duì)角線為l.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其1 Ja2 + b2 +c2外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R.2 2例2在長(zhǎng)、寬、高分別為 2, 2, 4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體,則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為 （）10 n8 n7 nA. 3B.4 nC. D31.3 球與正棱柱球2般的正棱柱的組合沐常以外捋形態(tài)居參下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直站三第形法.設(shè)正三棱柱皿嶺込 3=導(dǎo)加直角三瞬心的勾股定理,可ABC-A 的高為亂底醞邊長(zhǎng)為心 如圖2所示，A分別皆 DQ的中

3、點(diǎn)0例3正四棱柱ABCD - ABGD,的各頂點(diǎn)都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最值，為 2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體 積或者表面積等相關(guān)冋題2.1球與正四面體22 aCE二一，解得:r£4、6a.正匹面障作芮一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi) 切琥，芥且爾心合一，禾這點(diǎn)可順利解決球的半徑肖正四面如的 棱長(zhǎng)的關(guān)系如圖4設(shè)正四商體3-£占匚的棱長(zhǎng)対內(nèi)切球半徑 対,外接球的半徑為尺取衛(wèi)£的中點(diǎn)曲lb E為&

4、;在底百的射 影，連接URSD豳為正四面悴的高在截面三甬形曲J件一個(gè) 2邊血和LC相切,H心在高甜上的虱即次內(nèi)切球的截面.因?yàn)?正四面體本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同次0.此時(shí), CO=O=R,OE=r , SE = a,CE = -a, 則 W例4將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（）3 2 62 6 2、.64、3 2 6B. 2+C. 4+D.A. 33332.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐法，即耙三械錐補(bǔ)疤成正方體或者長(zhǎng)方觸常見(jiàn)兩種形式;C0一是三械錐的三條ffll棱互相垂直并且相察則可以補(bǔ)形溝一個(gè)正方體，它的 外接球的球心就是三

5、馥錐的桝球的球心如圖5-三棱錐時(shí)-衛(wèi)耳耳的外 接球的球心和正方體 倍匚口4屁口口1曲夕強(qiáng)球的球心堇合.設(shè)血=4 則盤=G S二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形 2洵一個(gè)檢牙體，它的外接球的瓏心就是三棱錐的外接球的球2. 2 J j心.0二“ +母Z =-（/為喪方椒的障對(duì)角線長(zhǎng)）.44例5在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AM _ MN ,若側(cè)棱SA=23,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是 2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見(jiàn)的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn) 在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球

6、為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R 這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè) 小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三棱錐P ABC中,PA= PB=PC= 3 ,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為（）兀4兀A .二 B. C. 4 二 D.33SC例7矩形ABCD中，接球的球心，則R.AB =4, BC =3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面體 ABCD的外接球的體積是（）A.125JTB.12512ji33 球與球?qū)Χ鄠€(gè)小球結(jié)合在一起， 組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問(wèn)題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄危鐪?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化平面問(wèn)題求解例7在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的 4個(gè)小球，則小球半徑 r的最大值為（）d. 了a4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解 例：與正四面體各棱都相切的球的半徑為棱的一半：例8把一個(gè)皮球放入