1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題組卷一選擇題（共9 小題）1等差數(shù)列 an 的前 m 項(xiàng)和為 30，前 2m 項(xiàng)和為 100，則它的前 3m 項(xiàng)和為（）A130 B170 C210D2602已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an ，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則 a4a5a6=（）AB7C6D3數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a1=1，an+1=3Sn（ n 1），則 a6=（）44+1C44 4+1A34B34D 44已知數(shù)列 an 滿足 3an+1+an=0， a2= ，則 an 的前 10 項(xiàng)和等于（）10 1010A 6（ 1 3） BC3（13 ）D3（1+3）5等比數(shù)列 an 的前

2、 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 S3=a2+10a1， a5=9，則 a1=（）ABCD6已知等差數(shù)列 an 滿足 a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10 項(xiàng)的和 S10=（）A138 B135 C95D237設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sm1= 2，Sm=0，Sm+1=3，則 m=（）A3 B4 C5D68等差數(shù)列 an 的公差為 2，若 a2， a4，a8 成等比數(shù)列，則 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=（）An（n+1）Bn（ n1）CD9設(shè) an 是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A若a1+a20，則a2+a30B若a1+a30，則a1+a20C若0a1a2，則a2D若

3、a1 0，則（ a2a1）（a2a3 ） 0二解答題（共14 小題）10設(shè)數(shù)列 an （ n=1，2，3， ）的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Sn=2an a1，且 a1，a2+1，a3 成等差數(shù)列（）求數(shù)列（）記數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式； 的前 n 項(xiàng)和為Tn，求使得 | Tn 1|成立的n 的最小值11設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，前n 項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列 bn 的公比為q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（ 1）求數(shù)列 an ， bn 的通項(xiàng)公式（ 2）當(dāng) d1 時(shí)，記 cn=，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 12已知數(shù)列 an 滿足 a1=1，an+1=3an +1

4、（）證明 an+ 是等比數(shù)列，并求 an 的通項(xiàng)公式；（）證明：+13已知等差數(shù)列 an 的公差不為零， a1=25，且 a1， a11， a13 成等比數(shù)列（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）求 a1+a4 +a7+ +a3n 214等差數(shù)列 an 中， a7=4，a19=2a9，（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）設(shè) bn=，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn15已知等比數(shù)列 an 中， a1=，公比 q=（） Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和，證明： Sn=（）設(shè) bn=log3a1+log3a2 + +log3an，求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式16已知數(shù)列 an 滿足 an+2=qan（q 為實(shí)數(shù)，且q

5、 1），nN* ，a1=1， a2=2，且a2+a3，a3+a4， a4+a5 成等差數(shù)列（ 1）求 q 的值和 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) bn， N* ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和=n17已知數(shù)列 an 是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列， 數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) bn=（an+1）?2 ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn18 已 知 數(shù) 列 an 和 bn 滿 足 a1=2 ， b1=1 ， an+1=2an （ n N* ）， b1+ b2+ b3+ + bn=bn+11（nN* ）（）求 an 與 bn；（）記數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和為 T

6、n，求 Tn19已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， bn=，求數(shù)列n 的前 n 項(xiàng)和 Tn b20設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列 bn ，滿足 anbn=log3an，求 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn21設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn已知 a1 =a，an+1=Sn+3n ，nN* 由（）設(shè) bn=Sn3n，求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；（）若 an+1 an，nN* ，求 a 的取值范圍已知等差數(shù)列n 的公差為 2，

7、前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S1，S2，S4 成等比數(shù)列22 a（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）令 b（ ）n1，求數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和 T n=1nn23數(shù)列 an 滿足 a1=1， nan+1=（n+1）an +n（n+1），nN* （）證明：數(shù)列 是等差數(shù)列；（）設(shè) bn=3n?，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題組卷參考答案與試題解析一選擇題（共9 小題）1（1996?全國）等差數(shù)列 an 的前 m 項(xiàng)和為 30，前 2m 項(xiàng)和為 100，則它的前3m 項(xiàng)和為（）A130 B170 C210 D260【分析】利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于

8、a1，d 的方程組，用 m 表示出 a1、d，進(jìn)而求出 s3m；或利用等差數(shù)列的性質(zhì)， sm，s2msm， s3m s2m 成等差數(shù)列進(jìn)行求解【解答】 解：解法 1：設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，由題意得方程組，解得 d=， a1=， s3m1 +d=3m+=210=3ma故選 C解法 2：設(shè) an 為等差數(shù)列， sm，s2msm， s3m s2m 成等差數(shù)列，即 30， 70，s3m100 成等差數(shù)列， 30+s3m 100=702，解得 s3m=210故選 C【點(diǎn)評(píng)】解法 1 為基本量法，思路簡單，但計(jì)算復(fù)雜；解法 2 使用了等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和

9、為 sn，則 sn，s2nsn，s3ns2n， 成等差數(shù)列2（2010?大綱版）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an ， a1a2 a3=5，a7a8a9=10，則 a4a5a6=（）AB7C6D【分析】 由數(shù)列 an 是等比數(shù)列，則有a1a2 a3=5? a23=5； a7a8a9=10? a83=10【解答】 解： a1a2a3=5? a23=5；a7a8a9=10? a83=10，a52=a2a8，故選 A【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、 指數(shù)冪的運(yùn)算、 根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想3（2011?四川）數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 S ，若 a， +1（n1

10、），則 a （）n1=1 an=3Sn6=44+1 C44 4+1A34B34D 4【分析】 根據(jù)已知的 an+1=3Sn，當(dāng) n 大于等于2 時(shí)得到 an=3Sn 1，兩者相減，根據(jù) SnSn 1=an，得到數(shù)列的第 n+1 項(xiàng)等于第 n 項(xiàng)的 4 倍（ n 大于等于 2），所以得到此數(shù)列除去第 1 項(xiàng)，從第 2 項(xiàng)開始，為首項(xiàng)是第 2 項(xiàng)，公比為 4 的等比數(shù)列，由 a1=1，an+1=3Sn ，令 n=1，即可求出第 2 項(xiàng)的值，寫出 2 項(xiàng)以后各項(xiàng)的通項(xiàng)公式，把 n=6 代入通項(xiàng)公式即可求出第 6 項(xiàng)的值【解答】 解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn1 （n2），兩式相減得：

11、an+1an=3（SnSn 1 ）=3an，則 an+1 =4an（ n 2），又 a1=1， a2=3S1=3a1=3，得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后，為首項(xiàng)是 3，公比為 4 的等比數(shù)列，所以 an=a2qn 2=34n 2（n2）則 a6=3 44故選 A【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的確定方法，會(huì)根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一道基礎(chǔ)題4（2013?大綱版）已知數(shù)列 an 滿足 3an+1+an=0，a2=，則 an 的前 10 項(xiàng)和等于（）A 6（ 1 3 10C3（13 10D3（1+310） B）【分析】由已知可知，數(shù)列 an 是以為公比的等比數(shù)列， 結(jié)合已知可求 a1，然后

12、代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】 解： 3an+1+an=0數(shù)列 an 是以為公比的等比數(shù)列 a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得， S10= 10=3（13 ）故選 C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用， 屬于基礎(chǔ)試題5（ 2013?新課標(biāo)）等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 S3=a2 +10a1 ，a5=9，則a1=（）ABCD【分析】 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，解出即可【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q， S3=a2+10a1， a5=9，解得故選 C【點(diǎn)評(píng)】 熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵

13、6（ 2008?全國卷）已知等差數(shù)列 an 滿足 a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前 10 項(xiàng)的和 S10=（）A138 B135 C95 D23【分析】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n 項(xiàng)和，根據(jù)a2+a4=4，a3+a5=10 我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項(xiàng)及公差），進(jìn)而代入前 n 項(xiàng)和公式，即可求解【解答】 解：（ a3+a5）（ a2+a4） =2d=6， d=3，a1=4， S10=10a1+=95故選 C【點(diǎn)評(píng)】在求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前 n 項(xiàng)和時(shí)，如果可以證明這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項(xiàng)（首項(xiàng)與

14、公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式， 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式， 如果未知這個(gè)數(shù)列的類型， 則可以判斷它是否與某個(gè)等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項(xiàng)公式（新課標(biāo)）設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sm1 ， m，m+1，72013?= 2S=0S=3則 m=（）A3B4C5D6【分析】 由 an 與 Sn 的關(guān)系可求得 am+1 與 am，進(jìn)而得到公差 d，由前 n 項(xiàng)和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通項(xiàng)公式及 am=2 可得 m 值【解答】 解： am=Sm Sm 1=2， am+1=Sm+1Sm=3，所以公差 d=am+1 am=1，Sm=0，得 a1=2，所以 am

15、= 2+（m 1） ?1=2，解得 m=5，故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式及通項(xiàng) an 與 Sn 的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力8（ 2014?新課標(biāo)）等差數(shù)列 an 的公差為 2，若 a2，a4，a8 成等比數(shù)列，則 an的前 n 項(xiàng)和 Sn=（）An（n+1）Bn（ n1） CD【分析】由題意可得 a42=（ a44）（ a4+8），解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得【解答】 解：由題意可得 a42=a2?a8，即 a42=（a44）（a4+8），解得 a4=8， a1=a4 3 2=2， Sn=na1+d，=2n+2=n（ n+1），故選： A【點(diǎn)評(píng)】

16、本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題n 是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）9（2015?北京）設(shè) aA若 a1+a20，則 a2+a30B若 a1+a30，則 a1+a20若 a ，則 a若0，則（ a a ）（a a ） 0C0 a122Da12123【分析】 對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論【解答】解：若 a1+a2 0，則 2a1+d0，a2+a3=2a1 +3d 2d，d0 時(shí)，結(jié)論成立，即 A 不正確；若 a1+a30，則 a1+a2=2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d2d，d0 時(shí)，結(jié)論成立，即 B不正確； an 是等差數(shù)列， 0 a1a2，2a2=a1+a3 2，

17、a2，即 C 正確；若 a10，則（ a2a1）（a2 a3）=d20，即 D 不正確故選： C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)二解答題（共14 小題）10（ 2015?四川）設(shè)數(shù)列 an （n=1， 2， 3， ）的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3 成等差數(shù)列（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）記數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為Tn，求使得 | Tn 1|成立的n 的最小值【分析】（）由已知數(shù)列遞推式得到an=2an1（n2），再由已知 a1，a2+1， a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項(xiàng)，可得數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，則其

18、通項(xiàng)公式可求；（）由（）求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和求得 Tn，結(jié)合求解指數(shù)不等式得n 的最小值【解答】 解：（）由已知 Sn =2ana1 ，有an=SnSn 1=2an2an 1 （n2），即 an=2an 1（n2），從而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，又 a1，a2+1，a3 成等差數(shù)列， a1+4a1=2（ 2a1+1），解得： a1=2數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列故；（）由（）得：，由，得，即 2n1000 29=512 1000 1024=210， n 10于是，使 | Tn 1|成立的 n 的最小值為 10【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等

19、比數(shù)列的概念、 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題11（ 2015?湖北）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 Sn，等比數(shù)列 bn 的公比為 q，已知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100（ 1）求數(shù)列 an ， bn 的通項(xiàng)公式（ 2）當(dāng) d1 時(shí)，記 cn= ，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 【分析】（1）利用前 10 項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（ 2）當(dāng) d1 時(shí)，由（ 1）知 cn=，寫出 Tn 、Tn 的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可【解答】 解：（1）設(shè) a1=a，由題意可得

20、，解得，或，當(dāng)時(shí)， an=2n 1， bn =2n 1；當(dāng)時(shí)， an = （ 2n+79），bn=9?；（ 2）當(dāng) d1 時(shí)，由（ 1）知 an=2n1，bn=2n 1， cn=， Tn =1+3? +5? +7? +9? + +（2n 1） ?， Tn=1? +3? +5? +7? + +（ 2n3）?+（2n1）? ， Tn=2+ +（2n ），+ + +1 ?=3 Tn =6【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題12（ 2014?新課標(biāo)）已知數(shù)列 an 滿足 a1=1， an+1=3an+1（）證明 an+ 是等比數(shù)列，并求 a

21、n 的通項(xiàng)公式；（）證明：+【分析】（）根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，即=常數(shù)，又首項(xiàng)不為0，所以為等比數(shù)列；再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)化式，求出 an 的通項(xiàng)公式；（）將進(jìn)行放大，即將分母縮小，使得構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，從而求和，證明不等式【解答】 證明（）=3，0，數(shù)列 an+ 是以首項(xiàng)為，公比為 3 的等比數(shù)列； an+=，即；（）由（）知，nnn 1=，當(dāng) n2 時(shí)， 313 3 ，當(dāng) n=1 時(shí)，成立，當(dāng) n2 時(shí)，+ +1+=對(duì) nN+時(shí)，+ +【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是等比數(shù)列，用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行； 數(shù)列與不等式常結(jié)合在一起考，

22、 放縮法是常用的方法之一，通過放大或縮小， 使原數(shù)列變成一個(gè)等比數(shù)列， 或可以用裂項(xiàng)相消法求和的新數(shù)列屬于中檔題13（ 2013?新課標(biāo)）已知等差數(shù)列 an 的公差不為零， a1=25，且 a1，a11，a13成等比數(shù)列（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）求 a1+a4 +a7+ +a3n 2【分析】（ I）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 0，利用成等比數(shù)列的定義可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，化為 d（ 2a1+25d）=0，解出 d 即可得到通項(xiàng)公式 an；（ II）由（I）可得 a3n 2=2（3n 2）+27=6n+31，可知此數(shù)列是以 25 為首項(xiàng)， 6 為公差的等差數(shù)列利用等差數(shù)列的前

23、n 項(xiàng)和公式即可得出a1+a4+a7+ +a3n 2【解答】 解：（I）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d0，由題意 a1，a11， a13 成等比數(shù)列，化為d（ 2a1+25d）=0， d 0， 225+25d=0，解得 d=2 an=25+（ n 1）（ 2）=2n+27（ II）由（I）可得 a3n 2=2（3n 2）+27=6n+31，可知此數(shù)列是以 25 為首項(xiàng)， 6 為公差的等差數(shù)列 Sn=a1+a4+a7+ +a3n2=3n2+28n【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n 項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵14（ 2013?大綱版）等差數(shù)列 an 中， a7=4，a19=2a9，（）

24、求 an 的通項(xiàng)公式；（）設(shè) bn=，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn【分析】（I）由 a7=4，a19=2a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a1，d，進(jìn)而可求an（ II）由=，利用裂項(xiàng)求和即可求解【解答】 解：（I）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d a7=4，a19=2a9，解得， a1=1，d=（II）= sn=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，試題比較容易15（ 2011?新課標(biāo)）已知等比數(shù)列 an 中， a1=，公比 q=（） Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和，證明： Sn=（）設(shè) bn=log3a1+log3a2 + +log3an，求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式

25、【分析】（I）根據(jù)數(shù)列 an 是等比數(shù)列， a1=，公比 q=，求出通項(xiàng)公式 an 和前n 項(xiàng)和 Sn，然后經(jīng)過運(yùn)算即可證明（ II）根據(jù)數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式【解答】 證明：（I）數(shù)列 an 為等比數(shù)列， a1=，q= an=，Sn=又=Sn Sn=（ II） an= bn=log3a1+log3a2+ +log3an = log33+（ 2log33）+ +（ nlog33）=（ 1+2+ +n）=數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為： bn=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、 前 n 項(xiàng)和以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)16（2015?天津）已知數(shù)列 an 滿

26、足 an+2=qan（q 為實(shí)數(shù)，且 q1），nN* ，a1=1，a2=2，且 a2+a3， a3+a4，a4+a5 成等差數(shù)列（ 1）求 q 的值和 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) bn， N*，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和=n【分析】（1）通過 an+2=qan、 a1、a2，可得 a3、a5 、a4，利用 a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列，計(jì)算即可；（ 2）通過（ 1）知 bn=， n N* ，寫出數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn、 2Tn 的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可【解答】 解：（1） an+2=qan（ q 為實(shí)數(shù)，且 q 1），nN* ，a1

27、=1， a2=2， a3=q，a5=q2， a4=2q，又 a2+a3，a3+a4 ，a4+a5 成等差數(shù)列， 2 3q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍）， an=；（ 2）由（ 1）知 bn=，n N* ，記數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，則 Tn=1+2? +3? +4? + +（n1）?+n?， 2Tn=2+2+3? +4? +5? + +（n1）?+n?，兩式相減，得 Tn?n=3+ + + +=3+n?=3+1n?=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和，考查分類討論的思想， 利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題

28、17（ 2015?山東）已知數(shù)列 an 是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) bn=（an+1）?2，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn【分析】（1）通過對(duì) cn=分離分母，并項(xiàng)相加并利用數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為即得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得結(jié)論；（ 2）通過 bn=n?4n，寫出 Tn、4Tn 的表達(dá)式，兩式相減后利用等比數(shù)列的求和公式即得結(jié)論【解答】 解：（1）設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1、公差為 d，則 a10， an=a1+（n1）d，an+1=a1+nd，令 cn=，則 cn= ， c1+c2+ +cn 1+cn+= + +=，又?jǐn)?shù)列

29、的前 n 項(xiàng)和為， a1=1 或 1（舍），d=2， an=1+2（ n 1） =2n1；（ 2）由（ 1）知 bn （ n+1） ?22n 1n=（2n 1+1）?2=n?4，= a Tn =b1+b2+ +bn=1?41+2?42+ +n?4n， 4Tn=1?42+2?43+ +（n1）?4n+n?4n +1，兩式相減，得 3Tn=41+42+ +4nn?4n+1=?4n +1， Tn =【點(diǎn)評(píng)】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題18（ 2015?浙江）已知數(shù)列n 和 bn 滿足 a1， 1 ， n+1n （n N* ）， a=2 b

30、 =1 a=2ab1+b2+b3+ + bn=bn+11（nN* ）（）求 an 與 bn；（）記數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，求 Tn【分析】（）直接由 a1=2，an+1=2an，可得數(shù)列 an 為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；再由 b1=1，b1+b2+ b3+ +bn=bn+11，取 n=1 求得 b2=2，當(dāng) n2 時(shí)，得另一遞推式，作差得到，整理得數(shù)列 為常數(shù)列，由此可得 bn的通項(xiàng)公式；（）求出，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列 an n 的前 n 項(xiàng)和為 Tnb【解答】 解：（）由 a1=2， an+1 =2an，得由題意知，當(dāng) n=1 時(shí)， b1

31、=b2 1，故 b2=2，當(dāng) n2 時(shí)， b1+ b2+ b3+ +=bn 1，和原遞推式作差得，整理得：，；（）由（）知，因此，兩式作差得：，（ n N* ）【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題19（ 2015?安徽）已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， bn=，求數(shù)列n 的前 n 項(xiàng)和 Tn b【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比即可，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）求出

32、bn=，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 【解答】 解：（1）數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4 ， 2 3 =9 a a =8 a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍），解得 q=2，即數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an=2n1 ；（ 2） Sn=2n1， bn=，數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和 T=nn=+ +=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算， 利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵20（ 2015?山東）設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求 an 的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列 bn ，滿足

33、 anbn=log3an，求 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn【分析】（）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；當(dāng) n 1 時(shí)， 2Sn 1=3n 1+3，兩式相減 2an=2Sn2Sn 1，可求得 an=3n 1，從而可得 an 的通項(xiàng)公式；（）依題意， an n3 n，可得 b1=，當(dāng)1時(shí)， n 1 n3n 1 （ ）b =log anb =3?log 3= n1 31n，于是可求得 T11；當(dāng) 時(shí)， n1+b2+ +bn1+232+ +=b =n 1T =b= +（13（ n 1） 31 n），利用錯(cuò)位相減法可求得 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 【解答】 解：（）因?yàn)?2Sn=3n+3，所以

34、 2a1=31+3=6，故 a1=3，當(dāng) n1 時(shí)， 2Sn 1=3n 1+3，此時(shí)， 2an =2Sn 2Sn 1=3n 3n1=23n 1，即 an=3n 1 ，所以 an=（）因?yàn)?anbn=log3an，所以 b1= ，當(dāng) n1 時(shí)， bn=31 n ?log33n 1=（n1） 31 n，所以 T1=b1= ；當(dāng) n1 時(shí)， Tn=b1+b2+ +bn = +（13 1+2 3 2+ +（n1） 31 n），所以 3Tn=1+（130+231+33 2+ +（ n 1） 32 n），兩式相減得： 2Tn=（0+31 +3 2+ +32 n（n1）31 n ）= +（n+3 1） 31 n= ，所以 Tn= ，經(jīng)檢驗(yàn)， n=1 時(shí)也適合，綜上可得 Tn= 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查“錯(cuò)位相減法 ”求和，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題21（ 2008?全國卷）設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn已知 a1=a，an+1=Sn +3n， n N* 由（）設(shè) bn=Sn3n，求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；（）若 an+1 an，nN* ，求 a 的取值范圍【分析】（）依題意得 Sn+1=2Sn+3n，由此可知 Sn+13n+1=2（ Sn3n）所以 bn=Sn 3n=（ a 3） 2n1，nN* （ ） 由題 設(shè)條 件知Sn=3n