1、2020-2021 無錫市梅村中學高三數學上期中模擬試卷含答案一、選擇題1. 若不等式組y02xy, 2xy0表示的平面區域是一個三角形，則實數a 的取值范圍是（）A4 , 3xy, aB 0,1C 1, 434D 0,1 U, 32. 若正數1x, y 滿足 x2 yxy30 ，則3 2xy的最大值為（）3ABC387xy0D 13. 已知x, y 滿足 xyx40 ，則 3xy 的最小值為（）4A 4B 8C 12D 164. 等差數列an 滿足 a10, a2018a20190, a2018a20190 ，則使前 n 項和 Sn0 成立的最大正整數n 是（）A 2018B 2019C 4

2、036D 40375. 中華人民共和國國歌有84個字， 37 小節，奏唱需要 46 秒，某校周一舉行升旗儀式， 旗桿正好處在坡度 15 的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為 60 和 30°，第一排和最后一排的距離為102 米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應為（米 /秒）A. 33 23B. 53 23C. 73 23D. 83 236. 等比數列an 中， a11 , q82 ，則a4 與 a8 的等比中項是（）11A±4B 4CD447. 如圖，有四座城市A 、 B

3、 、 C 、 D ，其中 B 在 A 的正東方向，且與A相距 120km ， D 在 A 的北偏東 30°方向，且與 A相距 60km； C 在 B 的北偏東 30°方向，且與 B 相距6013km ，一架飛機從城市 D 出發以 360km/ h 的速度向城市 C 飛行，飛行了 15min ， 接到命令改變航向，飛向城市B ，此時飛機距離城市B 有（）A 120kmB 606kmC 605kmD 603km8. 在 VABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，若(accos B) sin B(bccos A) sinA ，則 VABC的形狀為（）A等腰三角形B直

4、角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形9. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所對的邊分別是 a ， b ， c ， A60 ， a4 3 ，b4，則 B（）A BC B30或 B 30150B BD B1506010. “中國剩余定理”又稱“孫子定理” 1852年英國來華傳教士偉烈亞力將孫子算經中“物不知數問題的解法傳至歐洲.1874 年，英國數學家馬西森指出此法符合1801 年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的數

5、按由小到大的順序排成一列，構成數列an，則此數列的項數為（）A 134B 135C 136D 13711. 在數列a中， a2 ， aaln(11 ) ，則 an1n 1nnnA 2ln nB 2(n1)lnnC 2n ln nD 1nln n12. 數列an中，nan 11an2n1，則數列 an的前 8項和等于（）A 32B 36C 38D 40二、填空題13. 在 ABC 中 ，a,b, c 分別為內角A, B, C 的對邊，若2sin Bsin Asin C,cos B3 ，且 S5ABC6 ，則 ba814. 已知等差數列 .an 的 前 n 項Sn 有最大值，且a71 ，則當 Sn

6、0 時 n 的最小值為15. 已知在 ABC 中，角圍為 A, B,C 的對邊分別為a, b,c ，若 ab2c ，則C 的取值范16. 已知 ABC 的內角A, B, C 的對邊分別為a,b,c .若 c1， ABC 的面積為a2b214，則 ABC 面積的最大值為.17. 已知等比數列a3an 的首項為a1 ，前 n 項和為Sn ，若數列Sn2a1為等比數列，則 .a2218. 已知數列an 的前 n 項和為Sn ， a11，且 Snan1（為常數）若數列bn滿足 anbnn9n20 ，且 bn 1bn ，則滿足條件的 n 的取值集合為19. 若兩個正實數x, y 滿足 141 ，且不等式

7、 xy xy4m23m 有解，則實數 m 的取值范圍是.20. 在 ABC 中， BC 三、解答題2 ， AC7 ， B，則 AB； ABC 的面積是321. 在 ABC 中，內角A, B, C 所對的邊分別為a,b, c ，已知4sin 2 AB24sinAsin B22（1） 求角 C 的大小；（2） 已知 b4， ABC的面積為 6，求邊長 c 的值 .22. 已知數列（）求數列an 是遞增的等比數列，且an 的通項公式；a1a49,a2a38.（）設Sn 為數列an的前 n 項和， bnan 1Sn Sn 1，求數列bn 的前 n 項和Tn 23. 已知Sn 是數列an 的前 n 項之

8、和， a11,2 Snnan, nN * 1（1） 求數列an 的通項公式；a2 n 11（2） 設 bn( 1)，數列aabn 的前 n 項和Tn ，若 Tn12019，求正整數 n 的最小值nn 124. 在 VABC中，角 A，B， C的對邊分別是 a， b， c，且3acosC2b( ) 求角 A 的大小；3c cosA( ) 若 a2，求VABC面積的最大值an1,n為奇數*25. 已知數列an 滿足：a1=1 ， an 12an , n為偶數nN設 bna2 n 1 （1） 證明：數列bn2為等比數列；（2） 求數列3n bn +2的前 n 項和Sn 26. 已知等差數列an的前

9、n 項和為Sn ，且a211 ， S7161 （1） 求數列an的通項公式；（2） 若 Sn6 an5n12 ，求 n 的取值范圍；1（3） 若 bn，求數列a abn的前 n 項和 Tn nn 1【參考答案】 * 試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1 D解析： D【解析】【分析】要確定不等式組y02 xy, 2xy0表示的平面區域是否一個三角形，我們可以先畫出y0 2xy,xy, a2 ，再對 a 值進行分類討論，找出滿足條件的實數a 的取值范圍xy0【詳解】不等式組y0 2xy,xy02 表示的平面區域如圖中陰影部分所示xy由2xy得 A2 , 2，23 3由 y0得 B1,02xy若原不

10、等式組2y02 xy,xy02 表示的平面區域是一個三角形，則直線xya 中 a 的取值范xy, a4圍是 a0,1 U,3故選： D【點睛】平面區域的形狀問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，然后結合分類討論的思想，針對圖象分析滿足條件的參數的取值范圍2A解析： A【解析】【分析】233根據條件可得出x2 ， yx21 ，從而2xy2( x2)2，再根據基本不5x 23131等式可得出【詳解】2 xy3 ，則 2xy 的最大值為 3 .Q x > 0 ， yx0 ， x2 yxy0 ，2yx2x1 ， x0 ，23332xy2x2x212(x2)25 ，

11、x221Q 2( x2)54( x2)59 ，x2x21當且僅當 x2，即 xx23 時取等號，31312(x2)3253 ，即x21，2 xy32xy故選： A.【點睛】的最大值為.3本題考查了利用基本不等式求最值的方法，注意說明等號成立的條件，考查了計算和推理能力，屬于中檔題 .3A解析： A【解析】【分析】作出可行域，變形目標函數并平移直線【詳解】y 3x ，結合圖象，可得最值作出 x、 y 滿足xy0xy40 所對應的可行域（如圖V ABC ），變形目標函數可得x4y3xz ，平移直線 y3x 可知，當直線經過點A(2, 2) 時，截距z 取得最大值，此時目標函數 z 取得最小值 32

12、24 .故選： A.【點睛】本題考查簡單線性規劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題4C解析： C【解析】【分析】根據等差數列前n 項和公式，結合已知條件列不等式組，進而求得使前n 項和 Sn的最大正整數n.【詳解】0 成立由于等差數列an 滿足 a10, a2018a20190, a2018a20190 ，所以 d0 ，且a20180，所以S4036a1a4036 24036a2018a201920180，所以使前 n 項和a20190S4037a1a403740372a20194037022Sn0 成立的最大正整數n 是 4036.故選： C【點睛】本小題主要考查等差數列前n 項和公式，考

13、查等差數列的性質，屬于基礎題.5B解析： B【解析】【分析】如解析中圖形，可在HAB 中，利用正弦定理求出HB ，然后在 Rt HBO 中求出直角邊HO 即旗桿的高度，最后可得速度【詳解】如圖，由題意HAB45 ,HBA105 ，AHB30 ，在 HAB 中 ，sinHBABHABsinAHB，即HB102sin 45sin 30， HB20 OHHB sinHBO20sin 60103 ，v1035 34623（米 /秒）故選 B 【點睛】本題考查解三角形的應用，解題關鍵是掌握正弦定理和余弦定理，解題時要根據條件選用恰當的公式，適當注意各個公式適合的條件6A解析： A【解析】【分析】利用等比

14、數列【詳解】an 的性質可得a2 a a648，即可得出設 a4 與 a8 的等比中項是x 由等比數列an的性質可得a 2a a ，64815xa6 a4 與 a8 的等比中項故選 A 【點睛】xa6248本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題7D解析： D【解析】【分析】先判斷三角形 DAB 為直角三角形 ,求出 BD ,然后推出CBD 為直角 ,可得 CD ,進一步可得cosBDF ,最后在三角形 EDB 中用余弦定理可得BF .【詳解】取 AB 的中點 E ,連 DE ,設飛機飛行了 15 分鐘到達 F 點,連 BF ,如圖所示 :則 BF 即為所求 .因為 E 為 AB 的中點 ,且 A

15、B120km,所以 AE60km ,又DAE60o , AD60km,所以三角形 DAE 為等邊三角形 ,所以DE60km ,ADE60o ,在等腰三角形 EDB 中,DEB120o ,所以EDBEBD30o ,所以ADB90o ,由勾股定理得BD 2AB2AD 2120 260210800 ,所以 BD603km ,因為CBE90o30o120o ,EBD30o ,所以CBD90o ,所以 CDBD2BC21080060213240km,所以 cosBDCBD6033 ,CD2404因為 DF3601 490 km,所以在三角形 BDF 中,BF 2BD 2DF 22 BD gDFcosBD

16、F(603) 290 22603903410800 ,所以 BF603km.故一架飛機從城市D 出發以 360km / h 的速度向城市 C 飛行，飛行了 15min ，接到命令改變航向，飛向城市B ，此時飛機距離城市B 有 603km .故選 D .【點睛】本題考查了利用余弦定理解斜三角形,屬于中檔題 .8D解析： D【解析】【分析】由正弦定理化簡( accos B) sin B(bccos A) sinA ，得到 sin 2Bsin 2A0 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案【詳解】由題意知， (accos B) sin B(bccos A) sin A，結合正弦定理，化簡可得(

17、accos B) b(bccos A) a ，所以 acos AbcosB0，則 sin B cosBsin Acos A0 ，所以 sin 2Bsin 2A0 ，得 2 B2 A 或 2 B2 A180o ，所以三角形是等腰或直角三角形 故選 D【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用在解三角形問題中經常把邊的問題轉化成角的正弦或余弦函數，利用三角函數的關系來解決問題，屬于基礎題9C解析： C【解析】【分析】將已知代入正弦定理可得1sin B，根據 ab ，由三角形中大邊對大角可得：2B 60，即可求得 B30.【詳解】解： Q A60， a4 3 ， b4由正弦定理得：sin

18、 Bbsin A4sin 601Q aba4 32B60B30故選 C.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形的邊角大小關系，考查了推理能力與計算能力.10B解析： B【解析】【分析】由題意得出 an【詳解】15n14 ，求出 an15n142019，即可得出數列的項數.因為能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的數就是能被 15 整除余 1 的數，故 an15n14 .由an15n142019 得 n135 ，故此數列的項數為 135，故答案為 B.【點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、轉化與化歸思想及等差數列的通項公式及數學的轉化與化歸思想 .屬于中等題 .11A解析： A【解析】【分析】

19、【詳解】試題分析：在數列an 中， an 1anln11 nan(anan 1 )(an 1an 2 )(a2a1 )a1lnnln n1ln 22n1n21ln(nn12 )2n1 n21ln n2故選 A.12B解析： B【解析】【分析】根據所給數列表達式，遞推后可得an 2n 11an 12n1 .并將原式兩邊同時乘以n1后與變形后的式子相加，即可求得即可求解 .【詳解】an 2an ，即隔項和的形式 .進而取 n 的值，代入由已知nan 11an2n1，得 an 2n 11an 12 n1 ，由 1 n 得 an 2ann12n12n1 ，取 n1,5,9 及 n2,6,10，易得 a

20、1a3a5a72 ， a2a48 ， a6a824 ，故 S8a1a2a3a4a836 .故選： B.【點睛】本題考查了數列遞推公式的應用，對數列表達式進行合理變形的解決此題的關鍵，屬于中檔題 .二、填空題134【解析】已知等式利用正弦定理化簡得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案為解析： 4【解析】已知等式 2sin Bsin AsinC ，利用正弦定理化簡得：2bac ， Qcos B3 ,可524114得 sin B1cos B，5S ABCac sin Bac2256 ，可解得 ac15 ，余弦定理可得，b2a 2c22ac cos B2a c2 ac1cos B4b2215135，可

21、解得b 4，故答案為 4 .1414【解析】【分析】等差數列的前 n項和有最大值可知由知所以即可得出結論【詳解】由等差數列的前 n項和有最大值可知再由知且又所以當時 n的最小值為14故答案為 14【點睛】本題考查使的 n的最小值的求法是中檔解析： 14【解析】【分析】等差數列的前n 項和有最大值，可知d0 ， 由 8aa71 ，知a1a130 ， a1a150 ，a1a140 ，所以 S130 ， S140 ， S150 ，即可得出結論【詳解】由等差數列的前 n 項和有最大值，可知d0 ，7再由 a81 ，知 a a70 ， a80 ，且a7a80 ，又 2a7a1a130 ， 2a8a1a1

22、50 ， a7a8a1a140 ，所以 S130 ， S140 ， S150 ，當 Sn <0時 n 的最小值為 14，故答案為 14【點睛】本題考查使 Sn0 的 n 的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用15. 【解析】【分析】將已知條件平方后結合余弦定理及基本不等式求解出的范圍得出角的范圍【詳解】解：在中即當且僅當是取等號由余弦定理知故答案為：【點睛】考查余弦定理與基本不等式三角函數范圍問題切入點較難故屬解析： (0,3【解析】【分析】將已知條件平方后，結合余弦定理，及基本不等式求解出cosC 的范圍 .得出角 C 的范圍 .【詳解】解：在VABC

23、中， Q ab2c ，( ab) 24c2 ，a2b24c22ab2ab ，即 c2ab ，當且僅當 ab 是，取等號， 由余弦定理知，cosCa2b2c23c22ab3c211 ，2ab0C.32ab2ab2故答案為： (0, .3【點睛】考查余弦定理與基本不等式，三角函數范圍問題，切入點較難，故屬于中檔題.16. 【解析】【分析】結合已知條件結合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值進而求得三角形面積的最大值【詳解】由于三角形面積 由余弦定理得 由 得由于所以故化簡得故化簡得所以三角形面積故答案為【點睛解析： 214【解析】【分析】結合已知條件，結合余弦定理求得C ，然后利用基本不等式

24、求得ab 的最大值，進而4求得三角形 ABC 面積的最大值 .【詳解】1a 2b21a 2b21由于三角形面積Sab sin C，由余弦定理得24cos Ca 22 abb 212，由得 sin CcosC ，由于 C0, ，所以C. 故4cosC2 ab，化簡2得 2aba2b21，故2aba2b212ab1 ，化簡得 ab22 .所以三角形2面積 S1 ab sin C122221 .22224故答案為21 .4【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查基本不等式求最值的方法，屬于中檔題 .17. 【解析】【分析】設等比數列的公比為由數列為等比數列得出求出的值即可得

25、出的值【詳解】設等比數列的公比為由于數列為等比數列整理得即化簡得解得因此故答案為：【點睛】本題考查等比數列基本量的計算同時也考查了解析： 12【解析】【分析】 設等比數列an的公比為 q，由數列Sn2a1為等比數列，得出2S2aS2 aS2 a，求出 q的值，即可得出a3的值 .211131a2【詳解】設等比數列an的公比為 q，由于數列Sn2a1為等比數列，2S22 a1S12a1S32a1 ，2aaaaaa， 即 q21q2q1 ，化簡得q0 ，整理得22 q211321Q q0 ，解得 q11a31，因此，q.2a22故答案為：.2【點睛】本題考查等比數列基本量的計算，同時也考查了等比中

26、項的應用，考查運算求解能力，屬于中等題 .18. 【解析】【分析】利用可求得；利用可證得數列為等比數列從而得到進而得到；利用可得到關于的不等式解不等式求得的取值范圍根據求得結果【詳 解】當時解得：當且時即：數列是以為首項為公比的等比數列解得：又或滿足解析： 5,6【解析】【分析】利用 a1S1 可求得2 ；利用 anSnSn1 可證得數列an 為等比數列，從而得到an =2 n- 1 ，進而得到bn ；利用bn+ 1 -bn <0 可得到關于 n 的不等式，解不等式求得n 的取值范圍，根據 nN 求得結果 .【詳解】當 n1 時， a1S1 Sn2an1a1111，解得：2當 n2 且

27、nN 時，Sn 12 an 11an = Sn -Sn- 1= 2an -2an- 1 ，即： an2an 1數列 an 是以 1為首項， 2 為公比的等比數列an =2n- 1Q a bn 29n20n 29 n20n nbnn 122n19 n120n29n20n211n28bn 1bnnn 1n0222Q 2n0n211n28n4n70 ，解得： 4n7又 nNn5 或 6滿足條件的 n 的取值集合為 5,6本題正確結果： 5,6【點睛】本題考查數列知識的綜合應用，涉及到利用an 與 Sn 的關系求解通項公式、等比數列通項公式的求解、根據數列的單調性求解參數范圍等知識；關鍵是能夠得到而根

28、據單調性可構造出關于n 的不等式，從而求得結果.bn 的通項公式，進19. 【解析】試題分析：因為不等式有解所以因為且所以當且僅當即時等號是成立的所以所以即解得或考點：不等式的有解問題和基本不等式的求最值【方法點晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應用不等式的有解問題在應 解析：,14,【解析】試題分析：因為不等式xym23m 有解，所以 ( x 4y)min4m23m ，因為x0, y0 ，且 141 ，所以xy4xyy4 xy4 xyy144xy4 xy4xyx(x4)()2224 ，當且僅當y4 x ，即x2, y8 時，等號是成立的，所以( xy )4 ，所以m23m4 ，即min(

29、m1)(m4)0 ，解得 m41或 m4 .考點：不等式的有解問題和基本不等式的求最值.【方法點晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應用，不等式的有解問題，在應用基本不等式求解最值時，呀注意“一正、二定、三相等 ”的判斷，運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值，對于不等式的有解問題一般選用參數分離法，轉化為函數的最值或借助數形結合法求解，屬于中檔試題.20. ；【解析】試題分析：由余弦定理得即得考點：余弦定理三角形面積公式解析： ； 332【解析】試題分析：由余弦定理得AC 2AB 2BC 22 AB BC cos600 ，即7AB242 AB2

30、 1 ， 得2AB22 AB30 ，AB3或1(舍) ，S1 AB BC sin 600132333 .2222考點：余弦定理，三角形面積公式.三、解答題21 （ 1） 4 ；（ 2）10 .【解析】【分析】（1） 由二倍角的余弦公式把4sin 2 AB24sinAsin B22 降次，再用兩個角的和的余弦公式求 cos( AB) ，由三角形三內角和定理可求得cosC ，從而求得角 C ；（2） 根據三角形的面積公式求出邊a ，再由余弦定理求E 邊.【詳解】 試題分析：（1） 由已知得 21cos( AB)4sinAsin B22 ，化簡得2cos AcosB2sinAsin B2 ，故 co

31、s( AB)2 ，所以 AB3，24因為 ABC，所以 C =.4（2） 因為 S1 ab sin C ，由2SVABC6 ， b4 ， C =，所以 a432 ，由余弦定理得【點睛】222ccab2ab cosC ，所以10 .本題主要考查了兩角和差公式的應用及利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.n 122 （） an 1222（）n【解析】試題分析：（ 1）設等比數列2n 11an的公比為 q，根據已知由等比數列的性質可得a (1q3 )9, a 2q38a11a則通項公式可11，聯立解方程再由數列n得12 n為遞增數列可得q2（2）根據等比數列的求和公式，有s2 nn121 所以nban

32、1snsn 1(2n2n 1)(2n 1，裂項求和即可1)試題解析：（ 1）設等比數列an的公比為 q，所以有aaa (1q 3 )9, a aa 2q 38141231a1聯立兩式可得 q1a18或者 12 q2又因為數列a11an 為遞增數列，所以q>1，所以 q2數 列 ann 1的通項公式為 an212 n（2）根據等比數列的求和公式，有s2 n1n12nan 1211所以 bnnn 1nn 1snsn 1(21)(21)21211111112n 12所以 Tn1.nn 11n 1n 133721212121考點：等比數列的通項公式和性質，數列求和23 （ 1） an【解析】【分

33、析】n ；（ 2） 2019（1） 由已知遞推關系式和aSS可推出an 1aann ，則 為常數列，繼而可算出 an ；（2） 先把【詳解】nnn 1bn 表示出來，用裂項相消法求n1nnTn ，然后代入不等式可求出n （1） 因為2Snnan1 ，所以 2Sn 1(n1)an ，-得：2annan 1(n1)an , n2 ，所 以 an 1n1an ，則nan為常數列，n又 a2 S2,ana21 ，21n2ann(n2) ，當 n1 時也滿足，所以 ann .na2n 1n2n1n11n(n1)nn11111111n22334nn1n1111111n22334nn1n（2） bn(1)(

34、 1)(1)，an an 1當 n 為偶數時， Tn1，1當 n 為奇數時，2Tn1，11, n為偶數綜上， 1Tnn1，1, n為奇數n1則 1Tn11n12019n12019 ，n2018, n 的最小值為 2019【點睛】此題考查數列臨差法求數列通項公式、并項求和法，考查方程思想和分類討論思想，考查邏輯思維能力和運算求解能力，求和時注意對n 分奇偶討論24 （）；（） 23 .6【解析】分析：（ 1）由正弦定理進行邊角互化得3sinB2sinBcosA （2） 由余弦定理 a 2b2c22bccosA 結合基本不等式進行求解詳解：（）由正弦定理可得：3sinAcosC2sin BcosA3sinC c