1、第 6章 真空中的靜電場 習題及答案1. 電荷為 q +和 q 2-的兩個點電荷分別置于 1=x m 和 1-=x m 處。 一試驗電荷置于 x 軸上何處,它受到的合力等于零?解:根據兩個點電荷對試驗電荷的庫侖力的大小及方向可以斷定, 只有試驗電荷 0q 位 于點電荷 q +的右側,它受到的合力才可能為 0,所以2002001(4 1(42-=+x qq x qq 故 23+=x2. 電量都是 q 的三個點電荷,分別放在正三角形的三個頂點。試問:(1在這三角形 的中心放一個什么樣的電荷,就可以使這四個電荷都達到平衡 (即每個電荷受其他三個電 荷的庫侖力之和都為零 ?(2這種平衡與三角形的邊長有

2、無關系 ?解:(1 以 A 處點電荷為研究對象,由力平衡知, q '為負電荷,所以 20220 3(4130cos 412a q q a q '=故 q q 33-=' (2與三角形邊長無關。3. 如圖所示,半徑為 R 、電荷線密度為 1的一個均勻帶電圓環,在其軸線上放一長 為 l 、 電荷線密度為 2的均勻帶電直線段, 該線段的一端處于圓環中心處。 求該直線段受 到的電場力。解:先求均勻帶電圓環在其軸線上產生的場強。在帶電圓環上取 dl dq 1=, dq 在帶 電圓環軸線上 x 處產生的場強大小為(4220R x dqdE += 根據電荷分布的對稱性知, 0=z y

3、 E E220(41cos R x xdqdE dE x +=式中:為 dq 到場點的連線與 x 軸負向的夾角。+=220(4dq R x xE x 2210 (24R x Rx+=2201 (2R x xR += 下面求直線段受到的電場力。在直線段上取 dx dq 2=, dq 受到的電場力大小為dq E dF x =dx R x xR 22021 (2+=方向沿 x 軸正方向。直線段受到的電場力大小為=dF F R x xR l +=022021 (2 +-=2/12202111R l R R 2 方向沿 x 軸正方向。4. 一個半徑為 R 的均勻帶電半圓環,電荷線密度為 。求: (1圓心

4、處 O 點的場強;(2將此帶電半圓環彎成一個整圓后,圓心處 O 點場強。 解:(1在半圓環上取 Rd l dq =d ,它在 O 點產生場強大小為204R dq dE =d R04= ,方向沿半徑向外根據電荷分布的對稱性知, 0=y E d RdE dE x sin 4sin 0=Rd R E x 0002sin 4=故 RE E x 02=,方向沿 x 軸正向。 (2當將此帶電半圓環彎成一個整圓后,由電荷分布的對稱性可知,圓心處電場強 度為零。5.如圖所示,真空中一長為 L 的均勻帶電細直桿,總電量為 q,試求在直桿延長線上距桿的一端距離為 d 的 P 點的電場強度。解:建立圖示坐標系。在均

5、勻帶電細直桿上取 dx Lqdx dq =, dq 在 P 點產生的場 強大小為202044xdxx dq dE =,方向沿 x 軸負方向。 故 P 點場強大小為 +=L d dP x dxdE E 204 L d d q+=04方向沿 x 軸負方向。6. 一半徑為 R 的均勻帶電半球面,其電荷面密度為 ,求球心處電場強度的大小。 解:建立圖示坐標系。將均勻帶電半球面看成許多均勻帶電細圓環,應用場強疊加 原理求解。在半球面上取寬度為 dl 的細圓環, 其帶電量 rdl dS dq 2=d R sin 22=, dq 在 O 點產生場強大小為 (參見教材中均勻帶電圓環軸線 上的場強公式 220(

6、4r x xdq dE += ,方向沿 x 軸負方向利用幾何關系, cos R x =, sin R r =統一積分變量, 得220(4r x xdq dE +=d R R R sin 2cos 41230= d cos sin 20=因為所有的細圓環在在 O 點產生的場強方向均沿為 x 軸負方向,所以球心處電場強度的 大小為=dE E d cos sin 22/0=4=方向沿 x 軸負方向。7. 一 “ 無限大 ” 平面, 中部有一半徑為 R 的圓孔, 設平面上均勻帶電, 電荷面密度為 , 如圖所示。試求通過小孔中心 O 并與平面垂直的直線上各點的場強。解:應用補償法和場強疊加原理求解。若把

7、半徑為 R 的圓孔看作由等量的正、負電荷重疊而成,挖去圓孔的帶電平面等效 為一個完整的 “ 無限大 ” 帶電平面和一個電荷面密度為 -='的半徑為 R 的帶電圓盤, 由 場強疊加原理知, P 點的場強等效于 “ 無限大 ” 帶電平面和帶電圓盤在該處產生的場強的 矢量和。“ 無限大 ” 帶電平面在 P 點產生的場強大小為12=E ,方向沿 x 軸正方向 半徑為 R 、 電荷面密度 -='的圓盤在 P 點產生的場強大小為 (參見教材中均勻帶電圓 盤軸線上的場強公式022=E 1(22xR x +-,方向沿 x 軸負方向 故 P 點的場強大小為220212xR xE E E +=-=

8、方向沿 x 軸正方向。8. (1點電荷 q 位于一邊長為 a 的立方體中心,試求在該點電荷電場中穿過立方體的 一個面的電場強度通量; (2如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上,這時穿過 立方體各面的電場強度通量是多少 ?解:(1由高斯定理 0d qS E s= 求解。立方體六個面,當 q 在立方體中心時,每個面上電通量相等,所以通過各面電通量為6qe = (2電荷在頂點時,將立方體延伸為邊長 a 2的立方體,使 q 處于邊長 a 2的立方體 中心,則通過邊長 a 2的正方形各面的電通量 06q e =對于邊長 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的頂點,則 024qe =,如果它包含 q

9、 所 在頂點,則 0=e 。9. 兩個無限大的平行平面都均勻帶電, 電荷的面密度分別為 1和 2, 試求空間各處 場強。解:如圖所示,電荷面密度為 1的平面產生的場強大小為12=E ,方向垂直于該平面指向外側 電荷面密度為 2的平面產生的場強大小為22=E ,方向垂直于該平面指向外側 由場強疊加原理得兩面之間, (2121021-=-=E E E ,方向垂直于平面向右 1面左側, (2121021+=+=E E E ,方向垂直于平面向左 2面右側, (2121021+=+=E E E ,方向垂直于平面向右 10. 如圖所示,一球殼體的內外半徑分別為 1R 和 2R ,電荷均勻地分布在殼體內,電

10、 荷體密度為 (0> 。試求各區域的電場強度分布。解 :電 場 具 有 球 對 稱 分 布 , 以 r 為 半 徑 作 同 心 球 面 為 高 斯 面 。 由 高 斯 定 理=iSqS d E 01 得i q r E =0214當 1R r <時, 0=i q ,所以 0=E當 21R r R <<時, 3434(313R r q i -=,所以203133(r R r E -= 21當 2R r >時, 3434(3132R R q i -=,所以2031323(rR R E -= 11. 有兩個均勻帶電的同心帶電球面,半徑分別為 1R 和 2R (12R R

11、> ,若大球面的 面電荷密度為 ,且大球面外的電場強度為零。求:(1小球面上的面電荷密度; (2 大球面內各點的電場強度。解 :(1電場具有球對稱分布,以 r 為半徑作同心球面為高斯面。由高斯定理=iSqS d E 01 得i q r E =0214當 2R r >時, 0=E , 0442122='+=R R q i ,所以212 R R (-=' (2當 1R r <時, 0=i q ,所以 0=E當 21R r R <<時, 222144R R q i -='=,所以22r R E (-= 負號表示場強方向沿徑向指向球心。12. 一厚

12、度為 d 的無限大的帶電平板, 平板內均勻帶電, 其體電荷密度為 , 求板內 外的場強。解:電場分布具有面對稱性,取同軸閉合圓柱面為高斯面,圓柱面與平板垂直,設兩底面圓到平板中心的距離均為 x , 底面圓的面積為 S 。 由高斯定理 =iSqS d E 01 得=SS d E i q S E S E =+010 當 2dx <時(平板內部 , S x q i =2,所以 0x E =當 2dx >(平板外部 , S d q i =,所以 02d E =13. 半徑為 R 的無限長直圓柱體均勻帶電,體電荷密度為 ,求其場強分布。 解:電場分布具有軸對稱性,取同軸閉合圓柱面為高斯面,圓

13、柱面高為 l ,底面圓半 徑為 r ,應用高斯定理求解。i Sq rl E S E =012d (1 當 R r <時,l r qi2=,所以2r E =(2 當 R r >時, l R q i 2=,所以rR E 022=14. 一半徑為 R 的均勻帶電圓盤,電荷面密度為 ,設無窮遠處為電勢零點,求圓盤 中心 O 點的電勢。解:取半徑為 r 、 dr 的細圓環 rdr dS dq 2=,則 dq 在 O 點產生的電勢為024drrdq dV =圓盤中心 O 點的電勢為dV V R =00202R=15. 真空中兩個半徑都為 R 的共軸圓環,相距為 l 。兩圓環均勻帶電,電荷線密度

14、分 別是 +和 -。 取兩環的軸線為 x 軸, 坐標原點 O 離兩環中心的距離均為 2l, 如圖所示。 求 x 軸上任一點的電勢。設無窮遠處為電勢零點。解:在右邊帶電圓環上取 dq ,它在 x 軸上任一點 P 產生的的電勢為220 2/(4Rl x dqdV +-=右邊帶電圓環在 P 產生的的電勢為+-=+dq Rl x dV V 220 2/(41 220 2/(2Rl x R+-=同理,左邊帶電圓環在 P 產生的電勢為220 2/(2Rl x RV +-=-由電勢疊加原理知, P 的電勢為02R V V V =+=-+-+-22 2/(1(R l x 2/(122Rl x +16. 真空中

15、一半徑為 R 的球形區域內均勻分布著體電荷密度為 的正電荷, 該區域內a 點離球心的距離為 R 31, b 點離球心的距離為 R 32。求 a 、 b 兩點間的電勢差 ab U解:電場分布具有軸對稱性,以 O 為球心、作半徑為 r 的同心球面為高斯面。由高斯定理 =iSqS d E 01 得當 R r <時, 3023414r r E = ,所以 03r E =a 、 b 兩點間的電勢差為=b aab r d E U 0203/23/183R dr r R R = 17.細長圓柱形電容器由同軸的內、外圓柱面構成,其半徑分別為 a 和 a 3,兩圓柱 面間為真空。電容器充電后內、外兩圓柱面

16、之間的電勢差為 U 。求: (1內圓柱面上單位長度所帶的電量 ; (2在離軸線距離 a r 2=處的電場強度大小。 解:(1電場分布具有軸對稱性,取同軸閉合圓柱面 為高斯面,圓柱面高為 l ,底面圓半徑為 r ,應用高斯定理 求解。i Sq rl E S E =012d 內、外兩圓柱面之間, l q i =,所以rE 02=內、外兩圓柱面之間的電勢差為dr r r d E U a aa a=3032 3ln 20= 內圓柱面上單位長度所帶的電量為3ln 20U =(2將 代人場強大小的表達式得, 3ln r UE = 在離軸線距離 a r 2=處的電場強度大小為3ln 2a UE =18. 如

17、圖所示,在 A , B 兩點處放有電量分別為 +q ,-q 的點電荷, AB 間距離為 R 2, 現將另一正試驗點電荷 0q 從 O 點經過半圓弧移到 C 點,求移動過程中電場力作的功。解:O 點的電勢為Rq V O 04=040=-+Rq C 點的電勢為Rq V C 340=R q 04-+Rq06-= 電場力作的功為Rqq V V q A o C O 006 (=-= 19.如圖所示,均勻帶電的細圓環半徑為 R ,所帶電量為 Q (0>Q ,圓環的圓心 為 O ,一質量為 m ,帶電量為 q (0>q 的粒子位于圓環軸線上的 P 點處, P 點離 O 點 的距離為 d 。求:(1粒子所受的電場力 F的大小和方向;(2 該帶電粒子在電場力 F的作用下從 P 點由靜止開始沿軸線