1、第四節第四節 復合函數的求導法則復合函數的求導法則證證),()(tttu 則則);()(tttv 鏈式法則鏈式法則:定定理理如如果果函函數數)(tu 及及)(tv 都都在在點點t可可導導，函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續續偏偏導導數數，則則復復合合函函數數)(),(ttfz 在在對對應應點點t可可導導，且且其其導導數數可可用用下下列列公公式式計計算算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設設tt 由由于于函函數數),(vufz 在在點點),(vu有有連連續續偏偏導導數數,21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutv

2、vztuuztz 21 當當0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為全導數稱為全導數.dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情況：而是多元函數的情況：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數，且函數的偏導數，且

3、函數),(vufz 在對應在對應點點),(vu具有連續偏導數，則復合函數具有連續偏導數，則復合函數),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏的兩個偏導數存在，且可用下列公式計算導數存在，且可用下列公式計算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類類似似地地再再推推廣廣，設設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，復復合合函函數數),(),(),(yxwyxyxfz 在在對對應應點點),(yx兩兩個個偏偏

4、導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復復合合函函數數,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數兩者的區別兩者的區別區別類似區別類似例例 1 1 設設vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求

5、xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設設tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導導數數dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 設設),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續續偏偏導導數數，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff

6、 ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的

7、的 z是是作作為為一一個個自自變變量量 x的的函函數數， 而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數數， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空題一、填空題: : 1 1、設、設xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設設22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設、設32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設設uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .練練 習習 題題三、設三、設)arctan

8、(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. . 四、設四、設),(22xyeyxfz ( (其中其中f具有一階連續偏導具有一階連續偏導 數數) ), ,求求yzxz ,. . 五、設五、設)(xyzxyxfu ,(,(其中其中f具有一階連續偏導具有一階連續偏導 數數),),求求.,zuyuxu 六、設六、設),(yxxfz ,(,(其中其中f具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數),),求求 22222,yzyxzxz . . 七、設七、設,)(22yxfyz 其中為可導函數其中為可導函數, , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設八、設 ,),(其中其中yyxxz 具有二階導數具有二階導數, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習題答案練習題答案三三、xxexxedxdz221)1( . .四四、.2,22121fxef yyzfyef