1、2.1函數及其表示1 .A.、選擇題下列四組函數中，表示同一函數的是y = x 1 與 y= (x 1)2x-1B.y = 4x1 與 y=x 1C.y = 4lg x 與 y = 2lgD.y= 1g x2 與 y= 1g2xx100解析 y=x-1 與 y=q(x 1)2解析答案(篩選法)根據函數的定義，觀察得出選項B.【點評】 本題解題利用的是篩選法，即根據題設條件篩選出正確選項,這種方法在選擇題中經常應用3.已知函數f(x) =2x + 1 , x<1,|x2+ ax, x> 1,若f(f(0) =4a,則實數()1 A.2B.解析f(f(0) =f(2)=4+2a由已知4

2、a= 4+ 2a,解得 a= 2.答案4.設|x-1| f (x) = j 11 + x2則f If| x1的對應法則不同，故不是同一函數；y=1x 1(xR1)與y=_L(x> 1)的定義域不同,，它們不是同一函數；又 y= 41g x(x>0)與y=21g x2(xw。)的定義域不同, 小一1因此它們也不是同一函數，一， x而y= lg x 2(x>0)與y= Ig 100= Ig x- 2(x>0)有相同的te義域，值域與對應法則，故匕們是同一函數.答案 D解析B.12T413八 32= 2，D.25412.若函數y=f(x)的定義域為 M= x| 2w xW2,

3、值域為 N= y|0WyW2,則函數y=f(x)的圖象可能是f- 3= 1 =2 故選答案 BB.包 abwi,5.對實數a和b,定義運算“ ？"： a?b=設函數f(x) =b, a-b> 1.(x22)?(xx2) , xCR若函數y=f(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是().A. ( 8, 2 U 1 - 1 ,3)B. ( 8, 2 U 1 - 1 ,-k OO? 1D. J1, -3 p E +0° f2232解析 當(x 2)(x x)wi,即一iw x< 2 時，f (x) = x 2;當 x2 2 (x x2) > 1

4、,即 xv 1 或 x>|時，f (x) = x x2,x2-2 j kxW3 j, , f (x) = d,3x-x2 gv-1 或x>2 i，f (x)的圖象如圖所示，c<- 2或一1v c<- 3.4I 2答案 B6 . “龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來,睡了一覺，當它醒來時，S、S2分別表示烏龜和()發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點，用 兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節相吻合的是x -4x ；二 5答案10.x| x 之 4 且 x # 5、-log 3 x+1 x/6 ,設 f(X

5、)= i x 6 , 亡十|3 1 x£h ,滿足 f (n) = - 8,則 f ( n+4)=9解析對于烏龜，其運動過程可分為兩段，從起點到終點烏龜沒有停歇，其路程不斷增加，到終點后等待兔子這段時間路程不變，此時圖象為水平線段，對于兔子，其運動過程可分為三段：開始跑得快，所以路B.程增加快；中間睡覺時路程不變；醒來時追趕烏龜路程增加快，分析圖象可知，選答案 Bc x<A(A, c為7 .根據統計，一名工人組裝第 x件某產品所用的時間（單位：分鐘）為f（x） =*C常數）.已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么C和A的值分別是（）.A. 75,2

6、5B, 75,16C. 60,25D. 60,16解析 （回顧檢驗法）: 15,故A>4,則有二=30,解得c= 60, A= 16,將c= 60, A= 16代入解析式檢 A2驗知正確.故選 D.答案 D【點評】 解決分段函數的關鍵在于“對號入座”，解出結果后代入對應解析式檢驗是否正確二、填空題2j, x<08 .定義在 R 上的函數 f(x)滿足 f(x)="(，則 f ( -1) =, f(33)=f x-1 -f x-2 , x>0解析依題意得 f ( 1) nZind,當x>0 時，f(x+3) =f(x+2) f (x+1) =f (x+1) f(

7、x) f (x+1)=f(x) , f (x+6) = f (x+3) = f(x), f (33) =f (6 X5+ 3) =f(3) =- f(0)=- 2.答案 4 -29 .函數f (x)=的定義域為一 x -5x-4 -0解析要使f（x）有息義，則x-5-0f（x）的定義域為x| x之4且x=5.解析由于x>6時函數的值域為（8,log 37), -q 不在(00, log 37)內，所以 nw 6,由 3n-61 = 98解得 n= 4,所以 f(n+4) = f(8) = 2.9答案23 c ，L.，3x + 5一，11 .函數f(x)Q的定義域為R，則實數a的取值范圍是

8、 .ax十4 ax十3解析ax2 + 4ax + 3wo恒成立，則a=0時適合；awo時，須 Av0,即A=(4a)24 xax3<0,解得0< a<故 0w a<：.44答案M D12 .函數f(x)的定義域為 A,若xi, xzC A且f (xi) =f(x2)時總有xi = x2,則稱f(x)為單函數.例如，函數f (x) = 2x+1(x C R)是單函數.下列命題：函數f(x) = x2(xCR)是單函數；若 f(x)為單函數，xi, xzCA且 xiwx2,則 f(xi)wf(x2)；若f: AcB為單函數，則對于任意 bCB,它至多有一個原象；函數f(x)

9、在某區間上具有單調性，則f(x) 一定是單函數.其中的真命題是 .(寫出所有真命題的編號)解析 對，f(x)=x2,則f ( - i) = f (i),此時一iwi,則f (x) =x2不是單函數，錯；對，當xi, x2C A, f (xi) = f (x2)時有xi = x2,與xiWx2時，f (xi) wf (x2)互為逆否命題，正確；對，若bCB, b有兩個原象時.不妨設為 ai, a2可知awa2,但f(ai) = f(a2),與題中條件矛盾，故正確；對， f(x)=x2在 2(0 , +8)上是單調遞增函數，但f (x) = x在R上就不是單函數，錯誤；綜上可知正確.答案三、解答題

10、13 .求下列函數的定義域：(i)y = 25 - x2 Igcosx； 2_(2)y=log 2(-x 2x).25-x2 -0解析(i)由<cosx 0-5 - x - 5得2k二-萬二 x ：2k二萬(k Z).借助于數軸，解這個不等式組，得函數的定義域為-5 -32-) - (-2 -) 一傳 5.(2)由題意得x2 +2x >0> x2 -2x <0 .0<x<2.，函數的定義域為(0,2).14 .記f (x) = lg(2 x- 3)的定義域為集合集合M N;M函數g(x)=、/1 x2!的定義域為集合N,求:(2)集合 MT N, MU N.

11、3解析 (1) M= x|2 x- 3>0 =，x x>2x-3.一 0 f7>0 尸x|x>3,或 x<1;x1(2) Mn N= x|x>3, MU N= jx x<1 或x>215 .已知 f(x)=x21, g(x) = j °'2-x,x<0, 求 fg(2)與 gf(2) .(2)求fg(x)與gf(x)的表達式.解析 (1) g(2) =1, f g(2) =f(1) =0.f(2) =3, gf(2) =g(3) =2.(2)當 x>0 時,fg(x) =f (x-1) =(x-1)2- 1 = x2

12、-2x;當x<0時，f g( x) =f (2 -x) =(2 -x)2- 1 = x2-4x+3.即 fg(x) = 1 2 x .r 2-x 2x, x>0,x<0.gf (x)=x2-2, x< 1,或x>1, © x： 1<x<1.16 .已知g(x) = - x2-3, f(x)是二次函數，當xC1,2時，f(x)的最小值為1,且f(x)+g(x)為奇函數, 求函數f(x)的表達式.2解析 設 f (x) = ax + bx+ c(aw0),則 f(x) +g(x) = (a 1)x2+ bx+c 3,又 f (x)+g(x)為奇函數，a=1, c= 3.1. f (x) = x2+ bx+ 3,對稱軸 x=2.b當一2>2,即bW 4時，f(x)在1,2上為減函數,.f(x)的最小值為 f(2) =4+2b+3=1.b=- 3.，此時無解.當一1< 一聲2,即一4<