1、2018 年全國普通高等學校招生全國統一考試（全國一卷）理科數學一、選擇題：（本題有 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。）1、設 z=，則 z=（）A.0B.?C.1D.2?2、已知集合 A=x|x 2-x-20，則CRA =（）A、x|-1x2B、x|-1x2C、x|x2D、x|x-1 x|x23、某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況， 統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例則下面結論中不正確的是（）A. 新農村建設后，種植收入減少B. 新農村建設

2、后，其他收入增加了一倍以上C. 新農村建設后，養殖收入增加了一倍D. 新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半4、記Sn 為等差數列 an 的前n 項和，若3S3 = S2 + S4，a1 =2，則a5 =（）A、-12B、-10C、10D、125、設函數 f （ x）=x3+（a-1 ） x2+ax . 若 f（x）為奇函數，則曲線y= f（x）在點（ 0，0）處的切線方程為（）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在 ? ABC中， AD為 BC邊上的中線， E 為 AD的中點，則 =（）EBA. 3 - 1B.1 - 3C.3 + 1D.1 + 3

3、4AB4AC4AB4AC4AB4AC4AB4AC7、某圓柱的高為 2，底面周長為 16，其三視圖如右圖。 圓柱表面上的點 M在正視圖上的對應點為 A，圓柱表面上的點 N 在左視圖上的對應點為 B，則在此圓柱側面上，從 M到 N的路徑中，最短路徑的長度為（ ）A. 2 17B.25C. 3D. 28. 設拋物線 C：y2=4x 的焦點為 F，過點（-2 ，0）且斜率為 2的直線與 C交于 M，N 兩點，則 =( )3FMFNA.5B.6C.7D.89. 已知函數 f （x）=g （x）=f （ x） +x+a，若 g（x）存在 2 個零點，則 a 的取值范圍是()A. -1，0）B. 0，+）C

4、. -1， +）D. 1， +）10. 下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形 ABC的斜邊 BC，直角邊 AB，AC. ABC的三邊所圍成的區域記為，黑色部分記為，其余部分記為。在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1 ，p2，p3，則 ()A. p 1=p2B. p 1=p3C. p 2=p3D. p 1=p2+p3?11. 已知雙曲線 C： ?- y2=1，O為坐標原點， F 為 C的右焦點，過F 的直線與 C 的兩條漸近線的交點分別為M，N若 OMN為直角三角形，則MN=( ).A.3B.3C.D.4212. 已知

5、正方體的棱長為 1，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13. 若 x，y 滿足約束條件則 z=3x+2y 的最大值為.14. 記Sn 為數列 an的前n 項和 .若 Sn = 2a n+1，則S6=.15. 從 2 位女生， 4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1 位女生入選，則不同的選法共有種. （用數字填寫答案）16. 已知函數 f（ x） =2sinx+sin2x ，則 f（x）的最小值是.三 . 解答題：共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第

6、題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60 分。1721 題為必考題，每個試17. （ 12 分）在平面四邊形 ABCD中， ADC=90， A=45， AB=2，BD=5.（ 1）求 cos ADB；（ 2）若DC=，求 BC.18. （12 分）如圖，四邊形 ABCD為正方形， E，F 分別為 AD， BC的中點，以 DF為折痕把 ?DFC折起，使點 C到達點 P 的位置，且 PFBF .（ 1）證明：平面 PEF平面 ABFD；（ 2）求 DP與平面 ABFD所成角的正弦值 .19. （12 分）?設橢圓 C： ? + y 2=1 的右焦點為 F，

7、過 F 的直線 l 與 C 交于 A，B 兩點，點 M的坐標為（ 2，0）.?（ 1）當 l 與 x 軸垂直時，求直線 AM的方程；（ 2）設 O為坐標原點，證明： OMA=OMB.20、（ 12 分）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20 件產品作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品做檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為P （0P1），且各件產品是否為不合格品相互獨立。（ ）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（P），求f（P）的最大值點。1（ 2）現對一箱產品檢驗了20

8、 件，結果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中確定的作為 P 的值，已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25 元的賠償費用。（i ）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求 EX；（ii ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？21、（ 12 分）已知函數.（ 1）討論 f （ x）的單調性；（ 2）若 f （x）存在兩個極值點x1 , x 2 ,證明：.（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22. 選修 4-4 ：坐

9、標系與參數方程 （10 分）在直角坐標系 xOy 中，曲線 C?的方程為 y=kx+2. 以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C?的極坐標方程為 2 +2cos-3=0.（1） 求 C?的直角坐標方程 :（2） 若 C?與 C?有且僅有三個公共點，求C?的方程 .23. 選修 4-5 ：不等式選講 （10 分）已知 f（ x） =x+1 - ax-1 .（1） 當 a=1 時，求不等式 f（ x） 1 的解集；（2） 若 x（ 0， 1）時不等式 f（x） x 成立，求 a 的取值范圍 .絕密啟用前2018 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試題參考答案一、選擇題1 C

10、2 B3A4 B5 D6 A7 B8 D9C10 A11B12 A二、填空題13 614 6315 1633162三、解答題17解：（ 1）在 ABD 中，由正弦定理得BDAB.sinAsin ADB由題設知，52, 所以 sinADB2sin 45sinADB.5由題設知，ADB90 ，所以 cos ADB2231.255（ 2）由題設及（1）知， cosBDCsinADB2.5在 BCD 中，由余弦定理得BC 2BD2DC 22BDDCcosBDC25825222525.所以BC 5.18解：（ 1）由已知可得，BFPF，BFEF ，所以 BF平面 PEF .又 BF平面 ABFD ，所以

11、平面 PEF 平面 ABFD .（ 2）作 PHEF ，垂足為 H . 由（ 1）得， PH平面 ABFD .以 H 為坐標原點，uuuruuurH xyz .HF 的方向為 y 軸正方向，| BF | 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系由（ 1）可得， DEPE. 又DP2，DE 1，所以 PE3. 又PF1，EF 2，故 PEPF .可得 PH3，EH3.22則 H (0,0,0)， P (0,0,3), D( 1,3uuur(1,3,3uuur3) 為平面 ABFD 的法向量 .,0) ， DP) ， HP (0,0,22222uuuruuur設 DP 與平面 ABFD 所成角為，則

12、 sinHP DP| uuuruuur |HP|DP |所以 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值為3 .434 3 .3419解：（ 1）由已知得F (1,0) ， l 的方程為 x 1.由已知可得，點A 的坐標為 (1,2) 或 (1,2 ) .22所以 AM 的方程為 y22 或 y22 .xx22（ 2）當 l 與 x 軸重合時，OMAOMB0 .當 l 與 x 軸垂直時， OM 為 AB 的垂直平分線，所以OMAOMB .當 l 與 x 軸不重合也不垂直時，設l的方程為 yk ( x1) ( k0) ，A( x1, y1) ， B( x212 ， x22 ，, y2 ) ，則 x直

13、線 MA ， MB 的斜率之和為 kMAkMBy1y2.x22x1 2由 y1 kx1k ， y2kx2 k 得kMAkMB2kx1x23k( x1x2 )4k( x12)( x22).將 y k( x1) 代入 x2y21 得2(2k 21)x24k 2 x2k220 .所以， x1x24k2, x1 x22k22212.2k2k1則 2kx1x23k( x1x2 )4k4k 34k12k38k34k0 .2k21從而 kMAkMB0 ，故 MA ， MB 的傾斜角互補 . 所以OMAOMB .綜上， OMAOMB .20解：（ 1） 20 件產品中恰有2 件不合格品的概率為f ( p)22

14、18C20 p (1p) . 因此f ( p)C2022 p(1p )1818 p 2 (1 p)17 2C202p(1p)17 (110 p) .令 f ( p)0 ，得 p 0.1 . 當 p(0,0.1) 時， f( p)0 ；當 p(0.1,1) 時， f ( p)0 .所以 f ( p) 的最大值點為 p0 0.1.（ 2）由（ 1）知， p 0.1 .（）令Y 表示余下的180 件產品中的不合格品件數，依題意知Y : B(180,0.1) ， X20 2 25Y ，即X 40 25Y.所以 EXE (40 25Y)40 25EY 490 .（）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所

15、需要的檢驗費為400 元.由于 EX400 ，故應該對余下的產品作檢驗 .21解：（ 1） f ( x) 的定義域為 (0,) ， f(x)11ax2ax1 .x2xx2（）若 a 2，則 f(x) 0 ，當且僅當 a2 ， x1 時 f ( x)0 ，所以 f (x) 在 (0,) 單調遞減 .24 或 x24 .（）若 a2 ，令 f (x)0 得， xaaaa22當 xaa24aa24,) 時， f( x)0；(0,2) U (2當 x( aa24, aa24) 時， f(x)0 . 所以 f (x) 在 (0, aa24) ， ( aa24, ) 單調遞減，在2222( aa24, a

16、a24) 單調遞增 .22（ 2）由（ 1）知， f (x) 存在兩個極值點當且僅當a2 .由于 f ( x) 的兩個極值點x12ax10 ，所以 x1 x21 ，不妨設 x1 x2 ，則 x21. 由于， x2 滿足 xf (x1 )f ( x2 )11a ln x1ln x22a ln x1ln x22a2ln x2，x1x2x1x2x1x2x1x21x2x2所以 f (x1 )f ( x2)a2等價于 1x22ln x20 .x1x2x21設函數 g (x)x 2ln x ，由（ 1）知， g (x) 在 (0, ) 單調遞減，又 g (1) 0 ，從而當 x (1, ) 時， g (x

17、) 0 . x所以 1x2 2ln x2 0 ，即 f (x1 )f ( x2 )a 2 .x2x1x222解：（ 1）由 xcos ， ysin得 C2的直角坐標方程為224 .( x 1)y（ 2）由（ 1）知 C2 是圓心為 A( 1,0) ，半徑為 2 的圓 .由題設知， C1 是過點 B(0,2)且關于 y 軸對稱的兩條射線. 記 y 軸右邊的射線為l1 ， y 軸左邊的射線為 l 2. 由于B 在圓 C2 的外面，故 C1 與 C2 有且僅有三個公共點等價于l 1 與 C2 只有一個公共點且l 2 與 C2 有兩個公共點，或l 2與C2 只有一個公共點且 l1 與 C2有兩個公共點 .當 l1 與 C2只有一個公共點時，A 到 l1 所在直線的距離為|k2 |2，故 k4或 k 0 . 經檢驗，當2 ，所以1k 23k 0 時， l1 與 C2 沒有公共點；當k4 時， l1 與 C2 只有一個公共點，l 2 與 C2有兩個公共點 .3當 l2 與 C2只有一個公共點時， A 到 l 2所在直線的距離為2 ，所以 | k2 |2，故 k 0或 k4 . 經檢驗，當 k0k 213時， l1 與 C2 沒有公共點；當k4 時