1、同濟大學高等數學一、求下列極限x->1解一:_2sin(x-l)cos(x-l)原式=hm 一l = 0解二:丁一12x， sin(.r-l) sin(-l)原式=lim lim =0hl j-1 r->l r+12、limho sin2 34； 解一.lxhrr 原 式=lim: = - lim-. lim-=-6sin3.vcos 3x 9 sin3,v cos 3x 9解二:原心煦6s1lim -爻 lim<r-xtmlxsin23;r解:tail 2.r2.r,sm3.r3x原式 = limr->0_2£_0?解一:卜=1土（1+小1原式=limx-&

2、gt;01+ x解二:原式lim5、1 _ "tf1in e=1解一:原式= 111111-x)解二:bin1 .卜 21.原式二.tininn _lim e ' =rrcov -2tlnnt_2rja -2 一6、um(3-2xp解一 令 f=x1 f原式=lim(l-2/pm =解二：-«(-2)原式=lim 1 + (2 - 2x)2_2r=liml+(22 功2-2丁2 = (2 x>17、limx-x-sinx原式=limx->01cost3/, sinx 1 lim=-bo 6x 6解:解:r-e-jx v hl x+ 1原瓦=lim=(x-

3、l)nx1-1lim_-x->1，義 一 1lnt+x.1-xlimyin x+ x-1=lim inx+ 1+ 129、i 十+1) n2 + 7722+zr原式=lim= hm 衫>00_/7- 2/7-":2(2 + ”)解:7v n 1 -inn=4+2z7f sin/ ! j 01ft 1血go-i,.3,r2 sin ,r6原式，-lim3 1->0sin xx6 arctan tdtli、miv、 i_>0解：原式=limx->+oo二 lim arctanr lim l-+l = -a = - r_>+c0x->+co v y

4、22二、求下列導數或微分1、j=4-tanx+l,求砂解一：辦二燦=(4 - tan x- xsec2 r) dx解二.dy - 4tan xdx+ tan x)=tan jyat- x- sec2 xdx1 + cos x-tan jr-xsec2 xdx解 2rln2.(l + cosjr)-2r(-sinjr)(1 + cosjt)-2r (sin x+cos <r in 2 + in 2)(1+cosjr)23、設/=log5sini 求/x解 y=:cos 丄.(一/2)sin in 5xx1ln51 cos x2 . 1 sin x4、設j = lncr+vl + y)，求y

5、12h+11+-t+a/r、<fl+5、設 x=y+nyt 求解:1=/+丄./ : y=- y少+i6、設/ + sln(y) = o,求畫解 j+j+cos) (少+#)=0./ _ 命+ cos ) y + xcos(/)7、設zs,，求畫18、dx?=1ln(l +，)-arctan t9 不 dj9.設j=(at) x>0),求/角?： lnj/= tan xlnx1 ,o .+1y - sec- t-lnx+ tanx- vxy =y sec2 x-lnx+tanr- x/an.rin.i* ( rsec2 x x+ tan x x w、設戶7，求少解 lnj=ln(x

6、+ 2) + 41n(3-jr)-51n(l+«r)j. z 145y 2(x+2) (3-x)l+xy=y' 14_ _、 x+23-x)4、2(a*+2) (3-x) 1+x?r i 452x+ 4 3 x i+x)11、設少o1.rsin x 二f r'角牛e -jo e dt:.y = esin'x cosx-3jr6_z、 lr*sini 0_12、設zw=x ，求z(功l ox-o解 0，=3 sin + cosx=3-t2 sinxcos xxx= 0，=lim sinar->0虹o iiarly(0)= lim (0例-(0) = lim

7、 ±2 v 7 虹一0.y =o 2 . 1 1 n 3x sin jtxos .x 0 x x0，x= 0三、求下列積分1、vxdx解：原式=-j*fv(-x) = -ex + c原式=2r(l_ln2) +解：原式= sin xdx- - cos 義 + c4、x解：原式=丄 d?c ex + c 2j 253x j x角¥ :原式=j*(ln_r)3/lm=(lnjr)4 +cdeyr=arc tan e +c6、解：原式=f f 必=7、j，+1 1+(/j 1+解：原式=f= f-vx j + 1j + 1 y + 1=p汝-fuzrj j /+13 j +1ja

8、;+1=x+ arctan x+ a38、 i arsin xdxe-+ t1 - t - e- i +-1-(-l)=2-±解一：令i/(x) = x. i/(x) = sinx，"'(x) = l，v(x) = - cos x 原式="(«r)v(x)-xeos «r-j-cos xdx=-xcos x+ sin x+ cj cos xdx- at cos x+ sin x+ c解二:利用 jz/<v=z/v-| vdu 原式=-j az/cos x= -xcos x+9、j cos xdx: (-x)5 cos(-x) =

9、-x cosx .原式=010、j7|lnx| 辦解：原式=ji in xdx + 么 in xdx =-tin a + j xc/n x+ ;tln a;-x=- (in 1 - in e1f 11re1)+ y x c/x + en e - ini - x- jx e gxla211、令知 3 t ，j f;2/:-2/+2/解:原式ladt 二 dtj2/-l j2 /-idtf 2/(/1) . r 2/. p . r 2/ 2 + 2=dt dt itdtr /-ij:/-1 j2 j- /-i=tz+l+2l= 9-4+2/j + 2ln|/-l|j= 5+6-4+21n2-21n

10、l= 7+21n2令.r=sin/ .£ cos /解：原式=cos/= f 2cot2/ sin" t44/r冗=p (csc2 /-l) w = cot /-/； 777r.7r.7r+1+= 1 24413、解：原式=*i卜"e(-m) 叫j1-(戸=f cos /(3 csc/cot t)dt = 3 °°s. dt jj sin t=3|cot2 tdt = ?j(csc21 )dt = 3cot/+3/+ c.3lx2 - 9v-v2 9 sin t = ，cos t =，cot / =，xx3原式="7/ -9 + 3

11、arcs in + c x14、-和解：原式tfi°(i-/)2a(-ip=£(=£(/_2/+/7w= l-109+8_ 1 2 1 _ 1o-io_9 + 8_36o解:sm、（!x 二cos.v 4 令jo sin x+ cos x jo sinx+cosx2v sin3 x+ cos3 x r :dxsin x+ cos x-sin tcos x/x原式=if ft_h2_yr+ ft cosv2'、jo sin x+ cos x jo sinx+cosx注：上題答案有誤，應為(n-1) /4四、微分和積分的應用1、列表討論下列函數的單調性、凹凸性

12、、極值、拐點：(1) j=2-9a? + ujr-3；角軍：y' = 6x2 -18t+12,= 12x-l由 = 0=>r=l，或 r=2 由 rr = 0=>r=2 2nue1axi i 7 3 | 211/fmvk3 | 2r jx713 2 zf k2(2.y+.ou32o1jy1-6do+l+廣極大a拐點極小/i)=2/2)=1. =2-9 +在區間上遞增；在區間1,2上遞減。在（-<«，j）上是凸的； 在（|，+_上是凹的。點（|，爭是函數的拐點， 函數在cl處取得極大值2,在=2處取得 極小值1。解：y = lxy = -lxi（2）少=介斛：

13、y =-x j,y =x沒有y = o，y =啲點，存在不可導點 r=0x(-°o,0)+y+,r=ar)j0(0，+oo)+一點 09y=!x在區間（-00,+»）上遞增；在（0, +<»）上 是凸的；在（_°°，0）上是凹的。點（0,0）是函數的 拐點（3）5 r ? _11 _1解:y3 (5 a-2),，1042 4 24/r、y - x j +x = x )(5x+l). -999b2 .1由= 0=>jt = _，= 0=> x=.5'5當jt = 0時，/，少不存在41 - 5 00 1 z/1v1 |

14、51 7 .01 j 5 zikoai-i72 1 5 ozr ilk2 | 5| i 7 co汁2 | 5 zr 、yov5+不存在1o+y+o1不存在+5 | 3+x一 1x> y 5 -3 點 1-5 -5 £v /41v 6卷/一-廣拐點極大極小<=-!<j(0,0)產 cr-l)v在區間(-_)，上遞減；在區間i),(。)上是凹的;«(°上是凸的。點(-?6-5'7 _是函數的2取得極小值拐點，函數在.r=g處取得極大值0，在處2、求函數 /ix)=j；(l+z)(/-2) 的極值。解一:戶=(1 + 】)(一2)，7(義)=2

15、x-l 令/"(x)=0,得：x=-l，2.，(1)=-3< 0，(2) = 3>0.4 =o-/-2 卜p t1t1一-2/32jo2 10-_tn = (2)=fo2(l+/)(/-2)/r? t1 =2/ 32解二w=廣(1 +，)(卜2)心=口，-/-2)心2/32p?=2x 2x =一 x一 2 = (rt+l)(x- 2),32尸w=/(r) = (y -x-2j =2x-1由7(x) = 0，得t=-1,2.尸(-1)= -3< 0,尸(2) = 3>0710=a-1)= -；7l=a2)= -t633、在區間,1】上給定函數/=?，任取/e【0

16、,l】,問，取何值時，曲線少=人戶戶、*=1及少軸 所圍平面圖形面積最大？-1 -1/9一1，.r3.t34 ,2 1r x->+一 tx=/->-r + -5麵0一t3氤dx=j解： = fo（/3- r2>zr+l1（r：-/：）yf 1j' = 4/2 - 2/=2/（2/-1），由= 0，得：/ = 0,麟=去，j（去） = 1，乂=蚤2 = t所以當/=1時所圍面積求曲線/與所圍成平面圖形的面最大。積，將此平面圖形繞，軸旋轉一周求所得立體的體積。所 圍 面 積旋轉所得體積為廠0/7)沙-£兀(/)冷=卜!>=蓋5、求曲線/=與=2以及;r軸所

17、圍成平面圖形的面積，將此平面圖形繞x軸旋轉一e3求所得立體的體積。所圍面積«? - 0么=;卜4。 4旋 轉 所 得 體 積 為128丌五、空間解析幾何1、已知向量s= 2/ + 3/4*|= ?-3y+i>求t(1 ) (-25)x(3) ；( 2 )什x3)？ ；( 3 )(5+勿.(石+?> (4) (5.枷-(5$。解：(1)-2；=-2 (2, 3, -1) = (-4,-6, 2), 3=3 (1, -3,1) =(3, -9,3),所以：籌j*k-62-93參zjo31-3= 18/+ 54z(2) a x 6 =-li-43-2 a x 3j=一9石-3)

18、=(0，_3，-9)，所以:(5x 3).?= (0>-3-9)«(1>-2,0)=0+6+0=6。(3) (涇+名)=(2, 3,-1)+ (1,-3, 1)= (3，00 )，(+a)= (1, -3, 1) + (1,-2,0)=(2,-5,1),所以:(5+石).(石 + 5) = (3,0,0).(2，一5，1) = 6 + 0 + 0 = 6(4) 5 3 = (23,1) (v3,1)-8,(5. iyc = -8(l，-2,0x-8，16,0) (5?) = (2,3,-l).(l,-2,0)=-4 ( ?)z=(l,-3jx-4j25-4 ),所以:=(

19、一8, 16,0) (一4,12, -4) = (-4, 4, 4).2、已知點 (2,-1,4),次-l，3，-2), 61(0,2,3), 求：(1)萬在少軸上的投影，在z軸上的分 向量；(2) 求wc的面積；(3) 設5 = 2,i,a,若a取何值?(4) 求過點、b、c的平面方程；(5) 求過點且與e平行的直線方程。解：(1 )4, -6),所以在 j 軸上的投影為4，在/軸上的分向量為：-6x .(2)么=1/2 abacsm=mabf |,因為：ab= (-3, 4, -6), k-2,3，-l)，所 以：1=214/+9/-|=-7l42 +92 + (-l)22 2 b(3 )

20、因為 ab- (-3, 4, -6), s=2,i,a,由 丄巧可知；.5=0,即：(-3,4，-6).(2，1,又)=0, 所以：x=-|.(4 )由(2 )知：abac 147+9)=(14,9,-1).由平面的點法式得： 14c2)+9(fmx4)=0,即：14a+9>+15=0.(5) bc (1, -1, 5)，所以由直線的 i點向式得：-2=-(1)=:-.3、求過點0,1,-2)且通過直線 = |的平面方程。解：設所求平面方程的法向量為"，平面上兩點 a (3, 1, -2), b (4, -3, 0), a: (2, 1, 3 ),因為所求平面方程通過 

21、5; = = 則點b和向量5在所求平面上nab x a，即:4 - =一14/+/ + 9石=13(-14，1，9)，由平面方程的點法式得所求平面方程為：14 (x_3 ) -(r-l>9(2)=o,ep： 14a959=o.4、設c-lab , ka+i ,其中悶=1，石=2且5丄3,試問:(1) a為何值時，？丄4 (2)又為何值 時，？與2為鄰邊的平行四邊形的面積為6。(1) cl do c*d= 0 o (2a + )-(aa+ = 2aa- a+ kb-2a-2+ti=0o 2a i a2 +(2+ 又)5. i i2=0o 2又+ (2+ 又)5.名+ 4 = 0 ，又因為5

22、丄，故a-i = q. 2又 + 0 + 4 = 0 => 又=_2。(2) ?與2為鄰邊的平行四邊形的面積 為：s =| ex <71=| (2 + )x (a4-) | #> k »=| 2又3 +又ax 3 + 23x a + b |=| 又3x+2ax3|_ (又一 2)zxa|=| (又一 2)| b乂 a a =1 (又-2)|z|a|sin(aj)，因為及丄3，.-.=2|z-2| ,又因為"- s 6,故.又=5 或一1。七、綜合題1.設11，證明 2a/>3-1設 /(a-)2-(3-|) 貝 ij1 ,rvr-l3./u)在【1,

23、+)上連續，且當xl時，/(x)0,所4/u)在【1,+的)上單調增加. 由于z(l)=2vi-(3-l)=0,所以當義1時，/(a)> /(1)=0,即1yx 一 (3 ) > 0x故得所要證明得不等式2yx > 3- x2. 設 10,證明 ex >l + x證明：設/u)=r-(l + x),則1，./(a)在【0,+)上連續，且當i0時，/(.r)0，所4/u)在0,+0)上單調增加 由于八0)=/-(1 + 0)=0,所以當r0時，/(x)>/(0)=0,即 ex - (1 + r) > 0故得所要證明得不等式z1+ j,八 arctan x3. 設_r>0,證明ln(l+a；)>1 + x證:設(p(x = (l + -v) ln(l + x) arctan x，則爐(0) = 0(p'(x) = 1 + ln(l + x)>0 (a>0)1 + r故x>0時戶單調增加，從而(p >(z>(0) = 0 arctan x z即 ln(l + x)> (x>0)1 + x4. 設/在k，勿上連續，在(a,勿內可導，且 /00 = /(句=0，證明：在開區間(a，句內至 少存在一點，使得/() + z(