1、向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹(1重心中線的交點:重心將中線長度分成2:1; (2垂心高線的交點:高線與對應邊垂直; (3內心角平分線的交點(內切圓的圓心:角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等; (4外心中垂線的交點(外接圓的圓心:外心到三角形各頂點的距離相等。 二、四心與向量的結合(1=+0OC OB OA O 是ABC 的重心.證法1:設,(,(,(,(332211y x C y x B y x A y x O=+0OC OB OA =-+-+-=-+-+-0(0(321321y y y y y y x x x x x x +=+=33321321y y y

2、 y x x x x O 是ABC 的重心.證法2:如圖 OC OB OA + 2=+= 2=D O A 、三點共線,且O 分AD為2:1O 是ABC 的重心(2=OA OC OC OB OB OA O 為ABC 的垂心.證明:如圖所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂足.0(=-=CA OB OC OA OB OC OB OB OA 同理BC OA ,AB OC O 為ABC 的垂心(3設a ,b ,c 是三角形的三條邊長,O 是ABC 的內心O c b a =+為ABC 的內心. 證明:b c 、分別為方向上的單位向量, bc +平分BAC ,

3、 (=bc +,令c b a bc +=B CDBCDc b a bc AO +=(bc +化簡得(=+c b c b a=+c b a(4 =O 為ABC 的外心。典型例題:例1:O 是平面上一定點,C B A 、是平面上不共線的三個點,動點P 滿足(+=,+,0 ,則點P 的軌跡一定通過ABC 的( A .外心B .內心C .重心D .垂心 分析:如圖所示ABC ,E D 、分別為邊AC BC 、的中點. AD AC AB 2=+2+= += 2= /點P 的軌跡一定通過ABC 的重心,即選C .例2:(03全國理4O 是平面上一定點,C B A 、是平面上不共線的三個點,動點P滿足+=,

4、+,0 , 則點P 的軌跡一定通過ABC 的( B A .外心 B .內心 C .重心 D .垂心分析:分別為方向上的單位向量, +平分BAC , 點P 的軌跡一定通過ABC 的內心,即選B .BCD例3:O 是平面上一定點,C B A 、是平面上不共線的三個點,動點P滿足+=,+,0 ,則點P 的軌跡一定通過ABC 的 ( A .外心B .內心C .重心D .垂心 分析:如圖所示AD 垂直BC ,BE 垂直AC , D 、E 是垂足. + + + =-=0 點P 的軌跡一定通過ABC 的垂心,即選D .練習:1.已知ABC 三個頂點C B A 、及平面內一點P ,滿足=+,若實數滿足:AP

5、AC AB =+,則的值為( A .2B .23C .3D .6 2.若ABC 的外接圓的圓心為O ,半徑為1,=+,則=( A .21 B .0 C .1 D .21- 3.點O 在ABC 內部且滿足022=+OC OB OA ,則ABC 面積與凹四邊形ABOC 面積之比是( A .0B .23 C .45 D .344.ABC 的外接圓的圓心為O ,若OC OB OA OH +=,則H 是ABC 的( A .外心B .內心C .重心D .垂心5.O 是平面上一定點,C B A 、是平面上不共線的三個點,若222=+222+=+,則O 是ABC 的( A .外心B .內心C .重心D .垂心6.ABC 的外接圓的圓心為O ,兩條邊上的高的交點為H ,(m +=,則實數m =7.(06陜西已知非零向量AB 與AC 滿足(AB |AB | +AC |AC | ·BC =0且AB |AB | ·AC |AC | =12 , 則ABC 為( A .三邊均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等邊三角形D .等邊三角形8.已知ABC 三個頂點