1、第 6 章 曲線擬合的最小二乘法6.1擬合曲線通過觀察或測量得到一組離散數(shù)據(jù)序列，當(dāng)所得數(shù)據(jù)比較準確時，可構(gòu)造插值函數(shù)逼近客觀存在的函數(shù)，構(gòu)造的原則是要求插值函數(shù)通過這些數(shù)據(jù)點，即。此時，序列與是相等的。如果數(shù)據(jù)序列，含有不可避免的誤差（或稱“噪音”），如圖6.1 所示；如果數(shù)據(jù)序列無法同時滿足某特定函數(shù)，如圖6.2 所示，那么，只能要求所做逼近函數(shù)最優(yōu)地靠近樣點，即向量與的誤差或距離最小。按與之間誤差最小原則作為“最優(yōu)”標準構(gòu)造的逼近函數(shù)，稱為擬合函數(shù)。圖 6.1 含有“噪聲”的數(shù)據(jù)圖 6.2 一條直線公路與多個景點插值和擬合是構(gòu)造逼近函數(shù)的兩種方法。插值的目標是要插值函數(shù)盡量靠近離散點；擬

2、合的目標是要離散點盡量靠近擬合函數(shù)。向量與之間的誤差或距離有各種不同的定義方法。例如：用各點誤差絕對值的和表示：用各點誤差按模的最大值表示：用各點誤差的平方和表示：或（6.1 ）其中稱為均方誤差，由于計算均方誤差的最小值的方法容易實現(xiàn)而被廣泛采用。按均方誤差達到極小構(gòu)造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。本章主要講述用最小二乘法構(gòu)造擬合曲線的方法。在運籌學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、逼近論和控制論中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是統(tǒng)計學(xué)中估計回歸參數(shù)的最基本方法。關(guān)于最小二乘法的發(fā)明權(quán)，在數(shù)學(xué)史的研究中尚未定論。有材料表明高斯和勒讓德分別獨立地提出這種方法。勒讓德是在1805 年第一次公開發(fā)表關(guān)于最小二乘

3、法的論文，這時高斯指出，他早在1795 年之前就使用了這種方法。但數(shù)學(xué)史研究者只找到了高斯約在1803 年之前使用了這種方法的證據(jù)。在實際問題中，怎樣由測量的數(shù)據(jù)設(shè)計和確定“最貼近”的擬合曲線？關(guān)鍵在選擇適當(dāng)?shù)臄M合曲線類型，有時根據(jù)專業(yè)知識和工作經(jīng)驗即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數(shù)據(jù)的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數(shù)據(jù)進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數(shù)學(xué)實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數(shù)。例如，某風(fēng)景區(qū)要在已有的景點之間修一條規(guī)格較高的主干路，景點與主干路之間由各具特色的支路聯(lián)接。設(shè)景點的坐標為點列；設(shè)主干路為一

4、條直線，即擬合函數(shù)是一條直線。通過計算均方誤差最小值而確定直線方程（見圖6.2 ）。6.2線性擬合和二次擬合函數(shù)線性擬合給定一組數(shù)據(jù)，做擬合直線，均方誤差為（ 6.2 ）是二元函數(shù)，的極小值要滿足整理得到擬合曲線滿足的方程：（ 6.3 ）或稱式（ 6.3 ）為擬合曲線的法方程。用消元法或克萊姆法則解出方程：a=例 6.1 下表為 P. Sale 及 R. Dybdall在某處作的魚類抽樣調(diào)查，表中為魚的數(shù)量，為魚的種類。請用線性函數(shù)擬合魚的數(shù)量和種類的函數(shù)關(guān)系。1315162122232529303136111011121213131214161740425560626470721001301

5、3142214212124172334解：設(shè)擬合直線，并計算得下表：編xyxyx2號113111431692151015022531611176256421122524415221226448421130344420169009563441891361640將數(shù)據(jù)代入法方程組（6.3 ）中，得到：解方程得：= 8.2084 ，= 0.1795擬合直線為：= 8.2084 + 0.1795二次擬合函數(shù)給定數(shù)據(jù)序列，用二次多項式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)。設(shè)，作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差：（ 6.4 ）由多元函數(shù)的極值原理，的極小值滿足整理得二次多項式函數(shù)擬合的法方程：（ 6.5 ）解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數(shù)。方程組（ 6.5 ）稱為多項式擬合的法方程，法方程的系數(shù)矩陣是對稱的。當(dāng)擬保多項式階時，法方程的系數(shù)矩陣是病態(tài)的，在計算中要用雙精度或一些特殊算法以保護解的準確性。例 6.2 給定一組數(shù)據(jù)，如下表。用二次多項式函數(shù)擬合的這組數(shù)據(jù)。 3 2 1012342301 2 5解：設(shè)，由計算得下表：34129362781224488161331311000000011 11 11122 44 881635 159 4527811 3928 7096將數(shù)據(jù)代入式（ 6.5 ），相應(yīng)的法方程為：解方程得：=0.6