1、切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關的比例線段學習目標1 .切線長概念“切線長”是切線切線長是在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度,上一條線段的長，具有數量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2 .切線長定理對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑;（3）經過圓外一點引圓的兩條切線，連結兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角 互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。3.弦切角:

2、直線AB切。于P, PG PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5 .弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內角，圓外角。6 .遇到圓的切線，可聯想 “角”弦切角，“線”切線的性質定理及切線長定理。7 .與圓有關的比例線段定理相交弦定理圖形A已知結論證法中，AR CD為弦，交 PA- PB= PC- PD. 連 結 AC、 BD, 證： 于 P.AAP(CDPB.相交弦定理的推論00 中，AB為直徑，CDLABPC2=PA PB 于P.用相交弦定理.0圓騫定理PA, CD為弦B0切割線定 理推論切割線定 理00 中，PT切。0 于 T,

3、PT = PA - PB割線PB交。0于APR PD為。0 的兩條害U線，PA- PB= PC- PD 交。于A、COO中，割線PB交。0于PC PD一2 rOP2PA- PB= oP-r2r為。0的半徑連結TA、TB , 證： PTB APAT過P作PT切。0于T,用 兩次切割線定理延長PO交。0于M,延 長OP交。0于N,用相交 弦定理證；過P作切線用 切割線定理勾股定理證8 .圓哥定理：過一定點P向。0作任一直線，交。于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積 為常數|0尸2 五1（R為圓半徑），因為F?龍2叫做點對于00的哥，所以將上述定理統稱為 圓哥定理。【典型例題】例1.如圖1,正方

4、形ABCD勺邊長為1,以BC為直徑。在正方形內作半圓 O,過A作半圓切線，切 點為F,交CD于E,求DE AE的值。圖1解：由切線長定理知： AF= AB= 1, EF= CE 設CE為x,在RtADE中，由勾股定理 （1 +式=（1-工廠+1二1 315） = 1- - = - AE=A + - = -4 44 4, ?-k35=3： 5，口Ei AE =-44cm。例2.。0中的兩條弦 AB與CD相交于 E,若A已6cm, BE= 2cm, CD= 7cmi那么CE=圖2解：由相交弦定理，得AE- BE=CE- DE. AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE= CD-CE

5、 =1-CE ,6X2二四 7-，即匕X7C + 12 = 01. CE= 3cm或 CE= 4cmb故應填3或4。點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 /3： 心 =解：ZP = ZP/ PAC= / B ,. .PA6 APBA,AB PBAB2PR 工加丁 FT。又PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得 以2 =尸8+ FCPBAB2AC PB * PCBn AC2 = PB. PC即，故應填PG點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。例4.如圖3, P是。0外一點，PC切。0于點C, PAB是

6、。0的割線，交。于A、B兩點，如果PA:cm。4PB= 1 : 4, PC= 12cm, 00的半徑為10cm,則圓心。到AB的距離是解：.PC是。的切線，.PB= 4PA又,. PC= 12cm由切割線定理，得比1 = FA+ PB 17;?月 4%.PB= 4X6 =24 (cm).AB= 246= 18 (cm) 設圓心。到AB距離為d cm, 由勾股定理，得故應填，曬。例5.如圖4, AB為。0的直徑，過 B點作。0的切線BC, OC交。0于點E, AE的延長線交 BC于點D, (1)求證：3 山 S ; (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的長。圖4A點悟：要證 士?I,即要

7、證 CEDo ACBEo證明：(1)連結BE50是。的切線n/月二Z.CBE0A = 0E =乙0sA，= Z1CED = CBE= 20耽NC公用角|J1尸 PHCNS匿旦=一 =CE2 =CB * CDCD CEn abd = 9CT8J2* = OC = V4 + 1 =石OS = A0 CE = -1。又；9，CE, C*-1S9 厘米。點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創造條件。例6.如圖5, AB為。0的直徑，弦 CD/ AB, AE切。0于A,交CD的延長線于 E。E D_C求證：-二二證明：連結BD, .AE切。0 于 A e E EAD= / ABD

8、. AE!AB,又 AB/ CD, .AE! CD.AB為。0的直徑 ./ADB= 90.ZE = ZADB= 90 .AD曰 ABADAD DE,一一二一；.山=加,口. CD/ ABn nAD= BU.AD= BC,BC2 = AS* DS例7.如圖 6, PA PC切。0 于 A、C, PDB為害U線。求證： AD- BC= CD- AB圖6空 CD點悟：由結論 AD- BC= CD-AB得/= 無，顯然要證 PAN 4PBA和PC8 PBC證明：.PA切。于A,/ PAD= / PBA又 / APD= / BPA .PAD APBA心_印.1.同理可證PC8APBC生竺, F ；.PA

9、、PC分別切。于A、C .PA= PC_ CD.i 一 .AD- BC= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，ZA = 90 ,以AB邊為直徑作 00 ,交斜邊BC于點D,過D點 作。0的切線交AC于E。圖7求證：BC= 2OE點悟：由要證結論易想到應證 OE是4ABC的中位線。而 OA= OB只須證 AE= CE 證明：連結OD. ACLAB, AB為直徑 AC為。0的切線，又DE切。0于D .EA= ED, ODL DE .OB= OD -.ZB = ZODB在 RtABC中，ZC = 90 -ZB . / ODE= 90.工世*軸-AODB . .ZC = Z EDC .E

10、D-EC.AE= EC .OE是ABC的中位線 .BC= 2OEn例9.如圖8,在正方形 ABCD中,AB= 1 , dC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點En是邊AD上的任意一點（點 E與點A、D不重合），過E作C所在圓的切線，交邊 DC于點F, G為切點。當/DEF= 45時，求證點G為線段EF的中點;圖8圖1解：由/DEF= 45 ,得 ./ DFE= / DEF .DE= DF又,.飛D= DC.AE= FC因為AB是圓B的半徑，ADL AB,所以AD切圓B于點A;同理，CD切圓B于點C=又因為EF切圓B于點G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即點G為線段EF

11、的中點。【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題1.已知：PA PB切。0于點A、B,連結AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,則PA=（）2025A. -B.-2.下列圖形一定有內切圓的是（）A.平行四邊形B.C. 5D. 8矩形C.菱形D.梯形3 .已知：如圖1直線MNfOO相切于C, AB為直徑，ZCAB= 40 ,則/ MCA勺度數（）A. 50B. 40C. 60D. 554 .圓內兩弦相交，一弦長 8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1: 4,則另一弦長為（）A. 8cmB. 10cmC.12cmD. 16cm5 .在4ABC中，D是BC邊上的點，AD= 2J五僧，BD= 3c

12、m, DC= 4cm,如果 E是AD的延長線與 ABC的外接圓的交點，那么A.2痘加DE長等B.D.6.PT切。0于T, CT為直徑，D為OC上一點，直線 PD交。0于B和A B在線段PD上，若CD=2, AD= 3, BD= 4,貝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空題7 . AB、CD 是。0 切線，AB/ CD, 度。8 .已知：00和不在00上的一點EF是。0的切線，它和 AB CD分別交于 E、F,則/ EO已P,過P的直線交。于A、B兩點，若 PA- PB= 24, OP= 5,則。0的半徑長為9.若PA為。0的切線，A為切點,PBC割線交00于B、C,若BC=

13、 20,=1。也,貝U PC的長為10.正4ABC內接于。0, M N分別為AR AC中點，延長 MN交。0于點D,連結BD交AC于P,PC _三、解答題11.如圖2, 4ABC中，AC= 2cm,周長為8cm, F、K、N是4ABC與內切圓的切點， DE切。0于點 M 且 DE/ AC,求 DE的長。F32M C12.如圖3, /DCR已知P為。0的直徑AB延長線上一點,PC切。0于C, CDLAB于D,求證：CB平分13.如圖4,B隹 MNh NC已知AD為。0的直徑，AB是。0的切線，過 B的割線BMN AD的延長線于 C,且 若Af 2屈M，求。0的半徑。圖4【試題答案】-、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A療+1)二、填空題7. 908.19. 3010.三、解答題：11 .由切線長定理得 4BDE周長為4,由4BD曰ABAC,彳導DE= 1cm12 .證明：連結AC則ACL CB. CDL AB, .ACB ACDB,=.P