1、選修2 第二章 圓錐曲線與方程 本章知識結構：圓錐曲線橢圓定義標準方程幾何性質雙曲線定義標準方程幾何性質拋物線定義標準方程幾何性質第二定義第二定義統一定義直線與圓錐曲線的位置關系橢圓雙曲線拋物線a、b、c三者間的關系一： 曲線與方程在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0

2、)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0。兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點。二。圓1、定義：點集MOM=r，其中定點O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：當D2+E2-4F0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配

3、方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-,-);當D2+E2-4F0時，方程不表示任何圖形.（3） 點與圓的位置關系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則MCr點M在圓C內，MC=r點M在圓C上，MCr點M在圓C內，其中MC=。（4） 直線和圓的位置關系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關系來判定。三。

4、圓錐曲線的統一定義平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率。當0e1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e1時，軌跡為雙曲線。四、 橢圓，雙曲線，拋物線橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0<e<1）1到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡2與定

5、點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距離相等的點的軌跡.軌跡條件點集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a點集：MMF1-MF2.=±2a,F2F22a.點集M MF=點M到直線l的距離.圖形方程標準方程(>0)(a>0,b>0)參數方程(t為參數)范圍a£x£a，b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸

6、長2bx軸，y軸;實軸長2a, 虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)準 線x=±準線垂直于長軸，且在橢圓外.x=±準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.x=-準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.焦距2c （c=）2c （c=）離心率e=1【備注1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.【

7、備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點坐標是(,0)，準線方程x=- ，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點坐標是(0,)，準線方程y=-，開口向上；拋物線=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-），準線方程y=，開口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離（3）設拋物線的標準方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為，頂點到準線的距離，焦點到準線的距離

8、為p.（4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(為直線AB的傾斜角)，(叫做焦半徑).五、橢圓的常用結論1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直

9、線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式,( ,).9. 設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是；【推論】：1、若在橢圓內，則過Po的弦中點

10、的軌跡方程是。橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.4、設橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5、若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為橢圓（ab0）上任一點,F1

11、,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.8、已知橢圓（ab0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11、設P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12、設A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分

12、別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦

13、頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.六。 雙曲線的常用結論1、點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.2、PT平分PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）5、若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a0,bo）的左右焦

14、點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8、雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , ）當在右支上時，,；當在左支上時，,。9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11、AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12、若在雙曲線（a0,b0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.

15、13、若在雙曲線（a0,b0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.【推論】：1、雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4、設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5、若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時，

16、可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7、雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8、已知雙曲線（ba 0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.11、設

17、P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12、設A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲

18、線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.七。 拋物線的常用結論頂點.則焦點半徑;則焦點半徑為.通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.（或）的參數方程為（或）（為參數）.圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點（0,0）離心率焦點橢圓典例精析題型一求橢圓的標準方程【例1】已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線

19、恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.【解析】由橢圓的定義知，2a2，故a，由勾股定理得，()2()24c2，所以c2，b2a2c2，故所求方程為1或1.【點撥】(1)在求橢圓的標準方程時，常用待定系數法，但是當焦點所在坐標軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設橢圓的統一方程形式：mx2ny21(m0，n0且mn)；(2)在求橢圓中的a、b、c時，經常用到橢圓的定義及解三角形的知識.【變式訓練1】已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在xC1，C2上各取若干個點(每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也

20、不在拋物線C2上.小明的記錄如下：據此，可推斷橢圓C1的方程為.【解析】方法一：先將題目中的點描出來，如圖，A(2,2)，B(，0)，C(0，)，D(2，2)，E(2，)，F(3，2).通過觀察可知道點F，O，DA，C，E是橢圓上的點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上.顯然半焦距b，則不妨設橢圓的方程是1，則將點A(2,2)代入可得m12，故該橢圓的方程是1.方法二：欲求橢圓的解析式，我們應先求出拋物線的解析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些.不妨設有兩點y2px1，y2px2，則可知B(，0)，C(0，)不是拋物線上的點.而D(2，2)，F(3，2)正好符合.又因為橢圓的交點在

21、x軸上，故B(，0)，C(0，A(2,2)，E(2，)這兩個點代入，可得橢圓的方程是1.題型二橢圓的幾何性質的運用【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F1PF260°.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.【解析】(1)設橢圓的方程為1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理可知4c2m2n22mncos 60°，因為mn2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn()2a2(當且僅當mn時取等號)，所以4a24c23a2，所以，即e，

22、所以e的取值范圍是，1).(2)由(1)知mnb2，所以mnsin 60°b2，即F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.【點撥】橢圓中F1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質)與不等式的聯合使用，如|PF1|·|PF2|()2，|PF1|ac.【變式訓練2】已知P是橢圓1上的一點，Q，R分別是圓(x4)2y2和圓(x4)2y2上的點，則|PQ|PR|的最小值是.【解析】設F1，F2為橢圓左、右焦點，則F1，F2分別為兩已知圓的圓心，則|PQ|PR|(|PF1|)(|PF2|)|PF1|PF2|19

23、.所以|PQ|PR|的最小值為9.題型三有關橢圓的綜合問題 【例3】(2010全國新課標)設F1，F2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列.(1)求E的離心率；(2)設點P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程.【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a. l的方程為yxc，其中c.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組化簡得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因為直線AB斜率為1，所以|

24、AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的離心率e.(2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|kPN1，即1c3.從而a3，b3，故E的方程為1.【變式訓練3】已知橢圓1(ab0)的離心率為e，兩焦點為F1，F2，拋物線以F1為頂點，F2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若e，則e的值是()A.B.C.D.【解析】設F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準線x，拋物線準線為x3c，x0()x0(3c)e.故選B.總結提高1.橢圓的標準方程有兩種形式，其結構簡單，形式對稱且系數的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，

25、要確定焦點在哪條坐標軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應分類討論，或設方程為mx2ny21(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定義解題，一方面，會根據定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數進行計算推理.3.焦點三角形包含著很多關系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.雙曲線典例精析題型一雙曲線的定義與標準方程【例1】已知動圓E與圓A：(x4)2y22外切，與圓B：(x4)2y22內切，求動圓圓心E的軌跡方程.【解析】設動圓E的半徑為r，則由已知|AE|r，|BE|r，所以|

26、AE|BE|2，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2|AB|.根據雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支.因為a，c4，所以b2c2a214，故點E的軌跡方程是1(x).【點撥】利用兩圓內、外切圓心距與兩圓半徑的關系找出E點滿足的幾何條件，結合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓練1】P為雙曲線1的右支上一點，M，N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為()B.7【解析】選D.題型二雙曲線幾何性質的運用【例2】雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使0，求此雙

27、曲線離心率的取值范圍.【解析】設P(x，y)，則由0，得APPQ，則P在以AQ為直徑的圓上，即 (x)2y2()2，又P在雙曲線上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，當xa時，P與A重合，不符合題意，舍去；當x時，滿足題意的點P存在，需xa，化簡得a22b2，即3a22c2，所以離心率的取值范圍是(1，).【點撥】根據雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.【變式訓練2】設離心率為e的雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相

28、交的充要條件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足k，即k2e21，故選C.題型三有關雙曲線的綜合問題【例3】(2010廣東)已知雙曲線y21的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；(2)若過點H(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由題意知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x).方法一：聯立

29、解得交點坐標為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點P(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡E的方程為y21，x0且x±.方法二：設點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，×得y2(x22).又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此y1，即y1.代入式整理得y21.因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(，0)的直線l的方程為xy0.解方程組得x，yl與雙曲線只有唯一交點A2.故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，1).綜上分析，軌跡E的方程為y21，x0且x±

30、.(2)設過點H(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，則k1k21，故h.過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由×()1，得h.此時，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡E分別僅有一個交點(，)與(，).所以，符合條件的h的值為或.【變式訓練3】雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直

31、角三角形，則e2等于()A.12B.32C.42D.52【解析】本題考查雙曲線定義的應用及基本量的求解.據題意設|AF1|x，則|AB|x，|BF1|x.由雙曲線定義有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(1)xx4a，即x2a|AF1|.故在RtAF1F2中可求得|AF2|.又由定義可得|AF2|AF1|2a2a2a，即22a，兩邊平方整理得c2a2(52)e252，故選D.總結提高1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質，但應特別注意不同點，如a，b，c的關系、漸近線等.2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件

32、.當|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線；當|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當|PF1|PF2|2a|F1F2|時，P無軌跡.3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；y±x，可將雙曲線方程設為(0)，再利用其他條件確定的值，求法的實質是待定系數法.拋物線典例精析題型一拋物線定義的運用【例1】根據下列條件，求拋物線的標準方程.(1)拋物線過點P(2，4)；(2)拋物線焦點F在x軸上，直線y3與拋物線交于點A，|AF|5.【解析】(1)設方程為y2m

33、x或x2ny.將點P坐標代入得y28x或x2y.(2)設A(m，3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y22px(p0)，由定義得5|AF|m|，又(3)22pm，所以p±1或±9，所求方程為y2±2x或y2±18x.【變式訓練1】已知P是拋物線y22x上的一點，另一點A(a,0) (a0)滿足|PA|d，試求d的最小值.【解析】設P(x0，y0) (x00)，則y2x0，所以d|PA|.因為a0，x00，所以當0a1時，此時有x00，dmina；當a1時，此時有x0a1，dmin.題型二直線與拋物線位置討論 【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側，

34、C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：x1(x0).化簡得y24x(x0).(2)設過點M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).設l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是 又(x11，y1)，(x21，y2).0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是

35、不等式等價于 ·y1y2()10y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等價于m26m14t2.對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m10，即32m32.由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·0，且m的取值范圍是(32，32).【變式訓練2】已知拋物線y24x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標為(0,2)，則.【解析】y24my8m0，所以.題型三有關拋物線的綜合問題【例3】已知拋物線C：y2x2，直線ykx2交C于A，B兩點，M是線段AB

36、的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.(1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行； (2)是否存在實數k使·0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.【解析】(1)證明：如圖，設A(x1,2x)，B(x2,2x)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韋達定理得x1x2，x1x21，所以xNxM，所以點N的坐標為(，).設拋物線在點N處的切線l的方程為ym(x)，將y2x2代入上式，得2x2mx0，因為直線l與拋物線C相切，所以m28()m22mkk2(mk)20，所以mk，即lAB.(2)假設存在實數k，使·0，則NANB，又因為M是AB的中點，所以|MN|AB|.

37、由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)4(4)2.因為MNx軸，所以|MN|yMyN|2.又|AB|·|x1x2|···.所以·，解得k±2.即存在k±2，使·0.【點撥】直線與拋物線的位置關系，一般要用到根與系數的關系；有關拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式.【變式訓練3】已知P是拋物線y22x上的一個動點，過點P作圓(x3)2y21的切線，切點分別為M、N，則|MN|的最小值是.【解析】.總結提高1.

38、在拋物線定義中，焦點F不在準線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.2.掌握拋物線本身固有的一些性質：(1)頂點、焦點在對稱軸上；(2)準線垂直于對稱軸；(3)焦點到準線的距離為p；(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.3.拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數法.4.拋物線的幾何性質，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重要性質，而且應用廣泛，例如：已知過拋物線y22px(p0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設A(x1

39、，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質：|AB|x1x2p或|AB|(為AB的傾斜角)，y1y2p2，x1x2等.直線與圓錐曲線的位置關系典例精析題型一直線與圓錐曲線交點問題【例1】若曲線y2ax與直線y(a1)x1恰有一個公共點，求實數a的值.【解析】聯立方程組(1)當a0時，方程組恰有一組解為(2)當a0時，消去x得y2y10，若0，即a1，方程變為一元一次方程y10，方程組恰有一組解若0，即a1，令0，即10，解得a，這時直線與曲線相切，只有一個公共點.綜上所述，a0或a1或a.【點撥】本題設計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數0，即a1的可能

40、性，從而漏掉兩解.本題用代數方法解完后，應從幾何上驗證一下：當a0時，曲線y2ax，即直線y0，此時與已知直線yx1 恰有交點(1,0)；當a1時，直線y1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數為零)；當a時直線與拋物線相切.【變式訓練1】若直線ykx1與雙曲線x2y24有且只有一個公共點，則實數k的取值范圍為()A.1，1，B.(，)C.(，11，)D.(，1)，)【解析】由(1k2)x22kx50，k±，結合直線過定點(0，1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題【例2】(2010遼寧)設橢圓C

41、：1(ab0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，2.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|，求橢圓C的方程. 【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y10，y20.(1)直線l的方程為y(xc)，其中c.聯立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因為2，所以y12y2，即2·.解得離心率e.(2)因為|AB|y2y1|，所以·.由得ba，所以a，即a3，b.所以橢圓的方程為1.【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數法求橢圓方程.【變式訓練2】橢圓ax2by

42、21與直線y1x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為.【解析】設直線與橢圓交于A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)02ax02by00ax0by00.故.題型三對稱問題 【例3】在拋物線y24x上存在兩個不同的點關于直線l：ykx3對稱，求k的取值范圍.【解析】設A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關于直線l對稱的兩點，由題意知k0.設直線AB的方程為yxb，聯立消去x，得y2yb0，由題意有124··b0，即10.(*)且

43、y1y24k.又·b.所以k(2kb).故AB的中點為E(k(2kb)，2k).因為l過E，所以2kk2(2kb)3，即b2k.代入(*)式，得2100k(k1)(k2k3)01k0，故k的取值范圍為(1,0).【點撥】(1)本題的關鍵是對稱條件的轉化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點坐標滿足l的方程；(2)對于圓錐曲線上存在兩點關于某一直線對稱，求有關參數的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內部的條件建立不等式求參數的取值范圍.【變式訓練3

44、】已知拋物線yx23上存在關于xy0對稱的兩點A，B，則|AB|等于()B.4【解析】設AB方程：yxb，代入yx23，得x2xb30，所以xAxB1，故AB中點為(，b).它又在xy0上，所以b1，所以|AB|3，故選C.總結提高1.本節內容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關系的判別式方法及弦中點問題的處理方法.2.直線與圓錐曲線的位置關系的研究可以轉化為相應方程組的解的討論，即聯立方程組 通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2bxca0和a0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a0，0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲

45、線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交”的情形.圓錐曲線綜合問題典例精析題型一求軌跡方程【例1】已知拋物線的方程為x22y，F是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點M.(1)求證：l1l2；(2)求點M的軌跡方程.【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為ykx.聯立消去y整理得x22kxA的坐標為(x1，y1)，B的坐標為(x2，y2)，則有x1x21，

46、將拋物線方程改寫為yx2，求導得yx.所以過點A的切線l1的斜率是k1x1，過點B的切線l2的斜率是k2x2.因為k1k2x1x21，所以l1l2.(2)直線l1的方程為yy1k1(xx1)，即yx1(xx1).同理直線l2的方程為yx2(xx2).聯立這兩個方程消去y得x2(xx2)x1(xx1)，整理得(x1x2)(x)0，注意到x1x2，所以x.此時yx1(xx1)x1(x1).由(1)知x1x22k，所以xkR.所以點M的軌跡方程是y.【點撥】“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態的對應關系了如指掌.【變式訓練1】已知ABC的頂點為A(5,0)，B(5,0)，ABC的內切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是()A.1B.1C.1(x3)D.1(x4)【解析】如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826，根據雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)，故選