1、動點與拋物線專題復習一、平行四邊形與拋物線1、（2012欽州）如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線y=x2+bx+c經過點B，且對稱軸是直線x=（1）求拋物線對應的函數解析式；（2）將圖甲中ABO沿x軸向左平移到DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上；（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），經過點M作MNy軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數解析式，并求當t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形（參考公式：拋物線y=ax2+bx+c（a0）

2、的頂點坐標為（，），對稱軸是直線x=）2、（2012雞西）如圖，在平面直角坐標系中，已知RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x27x+12=0的兩根（OAOB），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點0運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒（1）求A、B兩點的坐標（2）求當t為何值時，APQ與AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標（3）當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由3

3、.（2012恩施州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）拋物線及直線AC的函數關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值二、 梯形與拋物線1、已知，在RtOAB中，OAB=90°，BOA=30°，AB=2若以O為坐標原點，O

4、A所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內將RtOAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處（1）求點C的坐標；（2）若拋物線y=ax2+bx（a0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由2、（2012泉州）如圖，O為坐標原點，直線l繞著點A（0，2）旋轉，與經過點C（0，1）的二次函數y=x2+h的圖象交于不同的兩點P、Q（1）求h的值；（2）通過操作、觀察，算出PO

5、Q的面積的最小值（不必說理）；（3）過點P、C作直線，與x軸交于點B，試問：在直線l的旋轉過程中，四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀3.（2012玉林）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），現有兩動點P，Q，點P從點O出發沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，點Q從點C出發沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動點P，Q同時出發，同時停止，設運動時間為t（秒），當t=2（秒）時，PQ=2（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍（2）連接AQ并延長交x軸于點E，把A

6、E沿AD翻折交CD延長線于點F，連接EF，則AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S的值（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？三、 等腰三角形、菱形與拋物線1、（2012龍巖）在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（1，0）（1）請直接寫出點B、C的坐標：B 、C ；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；（2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90°，DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩

7、點重合的動點），并使ED所在直線經過點C此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點M設AE=x，當x為何值時，OCEOBC；在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由3、（2012湛江）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）動點M從點O出發沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t0）（1）當t=3秒時直

8、接寫出點N的坐標，并求出經過O、A、N三點的拋物線的解析式；（2）在此運動的過程中，MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；（3）當t為何值時，MNA是一個等腰三角形？4、如圖，直線l1經過點A（1，0），直線l2經過點B（3，0），l1、l2均為與y軸交于點C（0，），拋物線y=ax2+bx+c（a0）經過A、B、C三點（1）求拋物線的函數表達式；（2）拋物線的對稱軸依次與x軸交于點D、與l2交于點E、與拋物線交于點F、與l1交于點G求證：DE=EF=FG；（3）若l1l2于y軸上的C點處，點P為拋物線上一動點，要使PCG為等腰三角形，請寫出符合條件的點P的坐

9、標，并簡述理由5、如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90°，BCO=45°，BC=12，點C的坐標為（18，0）（1）求點B的坐標；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由6、（2012鐵嶺）如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D直線y=2x1

10、經過拋物線上一點B（2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點P的坐標；（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由四、 直角三角形與拋物線1、（2012廣州）如圖，拋物線y=與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，

11、當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式2、（2012河池）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=x2+x+4經過A、B兩點（1）寫出點A、點B的坐標；（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P，連接PA、PB設直線l移動的時間為t（0t4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積

12、；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使得PAM是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由3.（2012海南）如圖，頂點為P（4，4）的二次函數圖象經過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON，（1）求該二次函數的關系式；（2）若點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：證明：ANM=ONM；ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由4、（2012云南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點P，交y軸于點A拋物線y=x2+bx+c的圖象過點E（

13、1，0），并與直線相交于A、B兩點（1）求拋物線的解析式（關系式）；（2）過點A作ACAB交x軸于點C，求點C的坐標；（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由五、 相似三角形與拋物線1、（2012福州）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、

14、O、B對應）3、（2012遵義）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象經過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，）（1）求拋物線的函數解析式及點A的坐標；（2）在拋物線上求點P，使SPOA=2SAOB；（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQO與AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由4.（2012黃岡）如圖，已知拋物線的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M（2，2），求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使

15、BH+EH最小，并求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由5、（2012常德）如圖，已知二次函數的圖象過點A（4，3），B（4，4）（1）求二次函數的解析式：（2）求證：ACB是直角三角形；（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由6（2012鞍山）如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DMx軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接

16、DA，DAC=90°（1）直接寫出直線AB的解析式；（2）求點D的坐標；（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE是否存在點P，使BPF與FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由7.（2012阜新）在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（1）求這個二次函數的關系解析式；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三

17、選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記啊！（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由六、拋物線中的翻折問題1、（2012天門）如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸

18、于A（1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點（1）求拋物線解析式及點D坐標；（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q是否存在點P，使Q恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由2、（2010恩施州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點（1）求這個二

19、次函數的表達式（2）連接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積動點與拋物線專題復習答案一、平行四邊形與拋物線1、解：（1）由于拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點B（0，4），則 c=4；拋物線的對稱軸 x=，b=5a=；即拋物線的解析式：y=x2+x+4（2）A（4，0）、B（3，0）OA=4，OB=3，AB=5；若四邊形ABCD是菱形，則 BC=AD=AB=5，C（5，3）、D（1，0

20、）將C（5，3）代入y=x2+x+4中，得：×（5）2+×（5）+4=3，所以點C在拋物線上；同理可證：點D也在拋物線上（3）設直線CD的解析式為：y=kx+b，依題意，有：，解得 直線CD：y=x由于MNy軸，設 M（t，t2+t+4），則 N（t，t）；t5或t1時，l=MN=（t2+t+4）（t）=t2+t+；5t1時，l=MN=（t）（t2+t+4）=t2t；若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，由于MNCE，則MN=CE=3，則有：t2+t+=3，解得：t=3±2；t2t=3，解得：t=3；綜上，l=且當t=3±2或3時，以M、N、C、

21、E為頂點的四邊形是平行四邊形2、解：（1）解方程x27x+12=0，得x1=3，x2=4，OAOB，OA=3，OB=4A（0，3），B（4，0）（2）在RtAOB中，OA=3，OB=4，AB=5，AP=t，QB=2t，AQ=52tAPQ與AOB相似，可能有兩種情況：（I）APQAOB，如圖（2）a所示則有，即，解得t=此時OP=OAAP=，PQ=APtanA=，Q（，）；（II）APQABO，如圖（2）b所示則有，即，解得t=此時AQ=，AH=AQcosA=，HQ=AQsinA=，OH=OAAH=，Q（，）綜上所述，當t=秒或t=秒時，APQ與AOB相似，所對應的Q點坐標分別為（，）或（，）（

22、3）結論：存在如圖（3）所示t=2，AP=2，AQ=1，OP=1過Q點作QEy軸于點E，則QE=AQsinQAP=，AE=AQcosQAP=，OE=OAAE=，Q（，）APQM1，QM1x軸，且QM1=AP=2，M1（，）；APQM2，QM2x軸，且QM2=AP=2，M2（，）；如圖（3），過M3點作M3Fy軸于點F，AQPM3，M3P=AQ，QAE=M3PF，PM3F=AQE；在M3PF與QAE中，QAE=M3PF，M3P=AQ，PM3F=AQE，M3PFQAE，M3F=QE=，PF=AE=，OF=OP+PF=，M3（，）當t=2時，在坐標平面內，存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是

23、平行四邊形點M的坐標為：M1（，），M2（，），M3（，）3.解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點A（1，0）及C（2，3）得，解得，故拋物線為y=x2+2x+3又設直線為y=kx+n過點A（1，0）及C（2，3）得，解得故直線AC為y=x+1；（2）作N點關于直線x=3的對稱點N，則N（6，3），由（1）得D（1，4），故直線DN的函數關系式為y=x+，當M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，則m=×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）點E在直線AC上，設E（x，x+1），當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3），F在拋物線上，x+3

24、=x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）E（0，1）；當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x1）由F在拋物線上x1=x2+2x+3解得x=或x=E（，）或（，）綜上，滿足條件的點E為E（0，1）、（，）或（，）；（4）過點P作PQx軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CGx軸于點G，如圖2，設Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）×3×3=x2+x+3=（x）2+APC的面積的最大值為二、 梯形與拋物線1、解：（1）過點C作

25、CHx軸，垂足為H；在RtOAB中，OAB=90°，BOA=30°，AB=2，OB=4，OA=2；由折疊的性質知：COB=30°，OC=AO=2，COH=60°，OH=，CH=3；C點坐標為（，3）（2）拋物線y=ax2+bx（a0）經過C（，3）、A（2，0）兩點，解得；此拋物線的函數關系式為：y=x2+2x（3）存在因為y=x2+2x的頂點坐標為（，3），即為點C，MPx軸，垂足為N，設PN=t；因為BOA=30°，所以ON=t，P（t，t）；作PQCD，垂足為Q，MECD，垂足為E；把x=t代入y=x2+2x，得y=3t2+6t，M（t，

26、3t2+6t），E（，3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD，即3（3t2+6t）=t1，解得t=，t=1（舍），P點坐標為（，），存在滿足條件的P點，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點坐標為（，）2、解：（1）拋物線y=x2+h經過點C（0，1），+h=1，解得h=1（2）依題意，設拋物線y=x2+1上的點，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a0b）過點A的直線l：y=kx+2經過點P、Q，a2+1=ak+2b2+1=bk+2×b×a得：（a2bb2a）+ba=2（ba），化簡得：b=；SPOQ=OA|xQxP

27、|=OA|a|=（）+（a）2=4由上式知：當=a，即|a|=|b|（P、Q關于y軸對稱）時，POQ的面積最小；即PQx軸時，POQ的面積最小，且POQ的面積最小為4（3）連接BQ，若l與x軸不平行（如圖），即PQ與x軸不平行，依題意，設拋物線y=x2+1上的點，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a0b）直線BC：y=k1x+1過點P，a2+1=ak1+1，得k1=a，即y=ax+1令y=0得：xB=，同理，由（2）得：b=點B與Q的橫坐標相同，BQy軸，即BQOA，又AQ與OB不平行，四邊形AOBQ是梯形，據拋物線的對稱性可得（a0b）結論相同故在直線l旋轉的過程中：當l與x軸不平行時

28、，四邊形AOBQ是梯形；當l與x軸平行時，四邊形AOBQ是正方形3.解：（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8，又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）點P到達終點所需時間為=4秒，點Q到達終點所需時間為=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0t4（2）結論：AEF的面積S不變化AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC，即，解得CE=由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8tS=S梯形AOCF+SFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE=4+（8t）×8+（8t）&#

29、215;4×（8+）化簡得：S=32為定值所以AEF的面積S不變化，S=32（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQAF由PQAF可得：CPQDAF，即，化簡得t212t+16=0，解得：t1=6+2，t2=62，由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去當t=（62）秒時，四邊形APQF是梯形三、等腰三角形、菱形與拋物線1、解：（1）點A（1，0），OA=1，由圖可知，BAC是三角板的60°角，ABC是30°角，所以，OC=OAtan60°=1×=，OB=OCcot30°=×=3，所以，點B

30、（3，0），C（0，），設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2+x+；（2）OCEOBC，=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2時，OCEOBC；存在理由如下：拋物線的對稱軸為x=1，所以，點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點，OA=OE，OCx軸，BAC=60°，ACE是等邊三角形，AEC=60°，又DEF=60°，FEB=60°，BAC=FEB，EFAC，由A（1，0），C（0，）可得直線AC的解析式為y=x+，點E（1，0），直線EF的解析式為y=x，聯立，解得，（舍去），點M的坐標

31、為（2，），EM=2，分三種情況討論PEM是等腰三角形，當PE=EM時，PE=2，所以，點P的坐標為（1，2）或（1，2），當PE=PM時，FEB=60°，PEF=90°60°=30°，PE=EM÷cos30°=×2÷=，所以，點P的坐標為（1，），當PM=EM時，PE=2EMcos30°=2×2×=2，所以，點P的坐標為（1，2），綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P（1，2）或（1，2）或（1，）或（1，2），使PEM是等腰三角形3、解：（1）由題意，A（6，0）、B（0，8），則OA

32、=6，OB=8，AB=10；當t=3時，AN=t=5=AB，即N是線段AB的中點；N（3，4）設拋物線的解析式為：y=ax（x6），則：4=3a（36），a=；拋物線的解析式：y=x（x6）=x2+x（2）過點N作NCOA于C；由題意，AN=t，AM=OAOM=6t，NC=NAsinBAO=t=t；則：SMNA=AMNC=×（6t）×t=（t3）2+6MNA的面積有最大值，且最大值為6（3）RtNCA中，AN=t，NC=ANsinBAO=t，AC=ANcosBAO=t；OC=OAAC=6t，N（6t，t）NM=；又：AM=6t，AN=t（0t6）；當MN=AN時，=t，即：

33、t28t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；當MN=MA時，=6t，即：t212t=0，t1=0（舍去），t2=；當AM=AN時，6t=t，即t=；綜上，當t的值取 2或或 時，MAN是等腰三角形4、解：（1）拋物線y=ax2+bx+c（a0）經過A（1，0），B（3，0），C（0，）三點，解得a=，b=，c=，拋物線的解析式為：y=x2x（2）設直線l1的解析式為y=kx+b，由題意可知，直線l1經過A（1，0），C（0，）兩點，解得k=，b=，直線l1的解析式為：y=x；直線l2經過B（3，0），C（0，）兩點，同理可求得直線l2解析式為：y=x拋物線y=x2x=（x1）2，對稱軸為x

34、=1，D（1，0），頂點坐標為F（1，）；點E為x=1與直線l2：y=x的交點，令x=1，得y=，E（1，）；點G為x=1與直線l1：y=x的交點，令x=1，得y=，G（1，）各點坐標為：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，），它們均位于對稱軸x=1上，DE=EF=FG=（3）如右圖，過C點作C關于對稱軸x=1的對稱點P1，CP1交對稱軸于H點，連接CFPCG為等腰三角形，有三種情況：當CG=PG時，如右圖，由拋物線的對稱性可知，此時P1滿足P1G=CGC（0，），對稱軸x=1，P1（2，）當CG=PC時，此時P點在拋物線上，且CP的長度等于CG如右圖，C（1，），H點在x=1上，H

35、（1，），在RtCHG中，CH=1，HG=|yGyH|=|（）|=，由勾股定理得：CG=2PC=2如右圖，CP1=2，此時與中情形重合；又RtOAC中，AC=2，點A滿足PC=2的條件，但點A、C、G在同一條直線上，所以不能構成等腰三角形當PC=PG時，此時P點位于線段CG的垂直平分線上l1l2，ECG為直角三角形，由（2）可知，EF=FG，即F為斜邊EG的中點，CF=FG，F為滿足條件的P點，P2（1，）；又cosCGE=，CGE=30°，HCG=60°，又P1C=CG，P1CG為等邊三角形，P1點也在CG的垂直平分線上，此種情形與重合綜上所述，P點的坐標為P1（2，）或

36、P2（1，）5、解：（1）過點B作BFx軸于F在RtBCF中BCO=45°，BC=6CF=BF=12 C 的坐標為（18，0）AB=OF=6點B的坐標為（6，12）（2）過點D作DGy軸于點GABDGODGOBA =，AB=6，OA=12DG=4，OG=8 D（4，8），E（0，4）設直線DE解析式為y=kx+b（k0）直線DE解析式為y=x+4（3）結論：存在設直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F，則E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4如答圖2所示，有四個菱形滿足題意菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44

37、易知P1NF為等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42；設P1Q1交x軸于點N，則NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2，又ON=OFNF=2，Q1（2，2）；菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊此時Q2與Q1關于原點對稱，Q2（2，2）；菱形OEQ3P3，此時OE為菱形一邊此時P3與點F重合，菱形OEQ3P3為正方形，Q3（4，4）；菱形OP4EQ4，此時OE為菱形對角線由菱形性質可知，P4Q4為OE的垂直平分線，由OE=4，得P4縱坐標為2，代入直線解析式y=x+4得橫坐標為2，則P4（2，2），由菱形性質可知，P4、Q4關于OE或x軸對稱，Q4（2，2）綜上所述，存在點Q，使以O、E、

38、P、Q為頂點的四邊形是菱形；點Q的坐標為：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）6、解：（1）點B（2，m）在直線y=2x1上m=3 即B（2，3）又拋物線經過原點O設拋物線的解析式為y=ax2+bx點B（2，3），A（4，0）在拋物線上，解得：設拋物線的解析式為（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若SADP=SADC，又點C是直線y=2x1與y軸交點，C（0，1），OC=1，即或，解得：點P的坐標為 （3）結論：存在拋物線的解析式為，頂點E（2，1），對稱軸為x=2；點F是直線y=2x1與對稱軸x=2的交點，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右圖所示，在點

39、M的運動過程中，依次出現四個菱形：菱形AEM1Q1此時DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此時DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此時EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M4Q4交于點H，則AEM4Q4，易知AEDM4EH，即，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=4，t2=6，t3=4+，t4

40、=四、直角三角形與拋物線1、解：（1）令y=0，即=0，解得x1=4，x2=2，A、B點的坐標為A（4，0）、B（2，0）（2）SACB=ABOC=9，在RtAOC中，AC=5，設ACD中AC邊上的高為h，則有ACh=9，解得h=如答圖1，在坐標平面內作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是l1和l2，則直線與對稱軸x=1的兩個交點即為所求的點D設l1交y軸于E，過C作CFl1于F，則CF=h=，CE=設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（4，0），B（0，3）坐標代入，得到，解得，直線AC解析式為y=x+3直線l1可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個長度單位）而

41、形成的，直線l1的解析式為y=x+3=x則D1的縱坐標為×（1）=，D1（4，）同理，直線AC向上平移個長度單位得到l2，可求得D2（1，）綜上所述，D點坐標為：D1（4，），D2（1，）（3）如答圖2，以AB為直徑作F，圓心為F過E點作F的切線，這樣的切線有2條連接FM，過M作MNx軸于點NA（4，0），B（2，0），F（1，0），F半徑FM=FB=3又FE=5，則在RtMEF中，ME=4，sinMFE=，cosMFE=在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3×=，FN=MNcosMFE=3×=，則ON=，M點坐標為（，）直線l過M（，），E（4，0），設直線

42、l的解析式為y=kx+b，則有，解得，所以直線l的解析式為y=x+3同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x3綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x32、解：（1）拋物線y=x2+x+4中：令x=0，y=4，則 B（0，4）；令y=0，0=x2+x+4，解得 x1=1、x2=8，則 A（8，0）；A（8，0）、B（0，4）（2）ABC中，AB=AC，AOBC，則OB=OC=4，C（0，4）由A（8，0）、B（0，4），得：直線AC：y=x+4；依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；P（2t，2t2+7t+4）、Q（2t，t+4），PQ=（2t2+7t+4）（t+4）=2t2+8t；

43、S=SABC+SPAB=×8×8+×（2t2+8t）×8=8t2+32t+32=8（t2）2+64；當t=2時，S有最大值，且最大值為64（3）PMy軸，AMP=ACO90°；而APM是銳角，所以PAM若是直角三角形，只能是PAM=90°；由A（8，0）、C（0，4），得：直線AC：y=x4；所以，直線AP可設為：y=2x+h，代入A（8，0），得：16+h=0，h=16直線AP：y=2x+16，聯立拋物線的解析式，得：，解得 、存在符合條件的點P，且坐標為（3，10）3.解：（1）二次函數的頂點坐標為（4，4），設二次函數的解析式為

44、y=a（x4）24，又二次函數過（0，0），0=a（04）24，解得：a=，二次函數解析式為y=（x4）24=x22x；（2）證明：過A作AHl于H，l與x軸交于點D，如圖所示：設A（m，m22m），又O（0，0），直線AO的解析式為y=x=（m2）x，則M（4，m8），N（4，m），H（4，m22m），OD=4，ND=m，HA=m4，NH=NDHD=m2m，在RtOND中，tanONM=，在RtANH中，tanANM=，tanONM=tanANM，則ANM=ONM；ANO不能為直角三角形，理由如下：分三種情況考慮：（i）若ONA為直角，由得：ANM=ONM=45°，AHN為等腰直角

45、三角形，HA=NH，即m4=m2m，整理得：m28m+16=0，即（m4）2=0，解得：m=4，此時點A與點P重合，故不存在A點使ONA為直角三角形；（ii）若AON為直角，根據勾股定理得：OA2+ON2=AN2，OA2=m2+（m22m）2，ON2=42+m2，AN2=（m4）2+（m22m+m）2，m2+（m22m）2+42+m2=（m4）2+（m22m+m）2，整理得：m（m4）2=0，解得：m=0或m=4，此時A點與P點重合或與原點重合，故AON不能為直角；（iii）若NAO為直角，可得NAM=ODM=90°，且AMN=DMO，AMNDMO，又MAN=ODN=90°

46、，且ANM=OND，AMNDON，AMNDMODON，=，即=，整理得：（m4）2=0，解得：m=4，此時A與P重合，故NAO不能為直角，綜上，點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，ANO不能為直角三角形4、解：（1）直線解析式為y=x+2，令x=0，則y=2，A（0，2），拋物線y=x2+bx+c的圖象過點A（0，2），E（1，0），解得拋物線的解析式為：y=x2+x+2 （2）直線y=x+2分別交x軸、y軸于點P、點A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA=2ACAB，OAOP，RtOCARtOPA，OC=，又C點在x軸負半軸上，點C的坐標為C（，0）（3）拋物線y=x2+x+2

47、與直線y=x+2交于A、B兩點，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，B（，）如答圖所示，過點B作BDx軸于點D，則D（，0），BD=，DP=6=點M在坐標軸上，且MAB是直角三角形，有以下幾種情況：當點M在x軸上，且BMAB，如答圖所示設M（m，0），則MD=mBMAB，BDx軸，即，解得m=，此時M點坐標為（，0）；當點M在x軸上，且BMAM，如答圖所示設M（m，0），則MD=mBMAM，易知RtAOMRtMDB，即，化簡得：m2m+=0，解得：x1=，x2=，此時M點坐標為（，0），（，0）；（說明：此時的M點相當于以AB為直徑的圓與x軸的兩個交點）當點M在y軸上，且BMAM，如

48、答圖所示此時M點坐標為（0，）；當點M在y軸上，且BMAB，如答圖所示設M（0，m），則AM=2=，BM=，MM=m易知RtABMRtMBM，即，解得m=，此時M點坐標為（0，）綜上所述，除點C外，在坐標軸上存在點M，使得MAB是直角三角形符合條件的點M有5個，其坐標分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）五、相似三角形與拋物線1、解：（1）拋物線y=y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4），解得：拋物線的解析式是y=x23x（2）設直線OB的解析式為y=k1x，由點B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直線OB的解析式為y=x，直線OB向下平移m個單位長度

49、后的解析式為：y=xm，點D在拋物線y=x23x上，可設D（x，x23x），又點D在直線y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0，拋物線與直線只有一個公共點，=164m=0，解得：m=4，此時x1=x2=2，y=x23x=2，D點的坐標為（2，2）（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點A關于直線OB的對稱點A的坐標是（0，3），設直線AB的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直線AB的解析式是y=，NBO=ABO，點N在直線AB上，設點N（n，），又點N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）N點的坐標為（

50、，）方法一：如圖1，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直線y=x上P1ODNOB，P1ODN1OB1，點P1的坐標為（，）將OP1D沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（，），綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）2、解：（1）設函數解析式為：y=ax2+bx+c，由函數經過點A（4，0）、B（1，0）、C（2，6），可得，解得：，故經過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=x23x+4；（2）設直線BC的函數解析式為y=kx+b，由題意得：，解得：，即直線BC的解析式為y=2x+2故可得點E的坐標為（0，2），從而可得：AE=2，CE=2，故可得出AE=CE；（3）相似理由如下：設直線AD的解析式為y=kx+b，則，解得：，即直線AD的解析式為y=x+4聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得：，解得：，即點F的坐標為（，），則BF=，AF=，又AB=5，BC=3，=，=，=，又ABF=CBA，ABFCBA故以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似3、解：（1）由函數圖象經過原點得，函數解析式為y=ax2+bx（a0），又函數的頂點坐標為（3，），解得：，故函數解析式為：y=x2x，由二次函數圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，點P到OA的距離是點