1、B題 重力自流水壩以及虹吸作用的影響摘 要：虹吸是一種常見的流體力學現象，在日常生活、機械產品和水利工程中均有廣泛應用。所需解決問題屬于流體力學范疇，我們將流體力學知識與數學知識緊密聯系，利用伯努利(Bernoulli)方程，建立簡單的數理模型。在分析問題時，我們將問題1抽象為一般的數理模型，在問題1模型的基礎上，我們進一步推廣、應用。總體上，我們采取由抽象到具體，由建立理想模型到解決實際問題的思路。在解決問題1時，我們假設在理想環境中，充分考慮虹吸管的進水面、出水面和最高點三個部分。根據進水面與最高點的伯努利方程求得虹吸管的最高高度： ，再根據進水面和出水面之間的伯努利方程求得虹吸管內水流的

2、速度為： 進而求得虹吸管的流量為： 。在問題2中，我們根據自流水壩的工作原理，通過伯努利方程求得：虹吸管必須具備兩個條件，才能正常的運行。條件為：1、在2-2斷面必須形成一定的負壓，克服沿程阻力，水頭損失，水流才能流過2-2斷面。即虹吸管的最大高度不得大于總流過水斷面1-1s上同一點的壓強水頭。2、出水口水位必須低于進水口水位，其高度差為管路的水頭損失, 并求得：虹吸管內水流速度為： 虹吸管道的流量： 所得結論與問題1模型相吻合，因此，所建模型基本符合問題要求。通過對模型的建立、檢驗和拓展，我們把“抽象到具體”這一數學方法加以具體應用。關鍵字：虹吸; 伯努利方程; 流體力學; 流量; 虹吸管.

3、一、問題重述 虹吸是一種常見的流體力學現象，在日常生活、機械產品和水利工程中均有廣泛應用。利用數學模型對虹吸原理深入研究，將對設計領域如何正確、巧妙利用虹吸作用提供幫助。關于虹吸的原理探討有以下三個具體事例：1、 根據牛津英語詞典以及眾多網絡詞典的釋義，虹吸作用的原理是利用氣壓差，將高處容器中的液體通過兩臂不等長的U形管引至低處容器中，但其中沒有提到重力起到的關鍵性作用。牛津英語詞典自從1911年起就對虹吸作此定義，但是直到前不久才有人對此正式提出質疑，這個人就是澳大利亞昆士蘭理工大學的物理學教師史蒂芬休斯博士。2、 休斯博士在親眼目睹澳大利亞一個令人震撼的虹吸工程時無意中發現了這個錯誤，當時

4、工程的規模相當于將4000個奧運會標準泳池中的水從墨累河轉移到邦尼湖，而這個大工程在兩個月的工期內并沒有使用到泵。3、 偷汽油的小偷都知道，要想讓汽油從管子的一頭流向另一頭，就要用嘴含住管子的一頭吸氣，以形成氣壓差，而一旦汽油流過了管子的最高點，其余的工作是由重力完成的。結合以上3個事例，在對虹吸原理有深入理解的基礎上，進一步解決兩個問題：1、如圖1：左側瓶子直徑a，液面高度h1，水管的直徑b，管最高點h，右側瓶子直徑c，液面高度h2，液體密度e，流量x。求解：管最高點h和流量x的數理模型，并分析其工作過程，以及虹吸作用的影響。2、如圖2：重力自流水壩的數理模型分析。水壩高度h，流量x。求解：

5、水壩最高點h和流量x的數理模型，并分析其工作過程以及虹吸作用的影響。其它未知量參考問題1。 二、問題分析虹吸現象是一種物理現象，其問題本身屬于流體力學范疇，因此在建立模型的時候需要將數學與物理緊密結合。我們在解決問題1、2中重點運用了數學與物理聯系的紐帶物理公式來分析、求解問題。針對問題我們多次運用流體力學的一些重要理論和公式伯努利(Bernoulli)方程。通過方程的使用和其他求解辦法從而得出所需結論。 問題1：由于兩只瓶子內液面高度不同進而在管的入水口和出水口形成壓強差導致水從管中流向液面較低的一側使其兩側壓強差趨向平衡。液體在管中流動的過程遵循流體力學中伯努利(Bernoulli)方程的

6、原則，通過次方程我們可以研究液體在管中的流速和管高的問題。由流速和流量的關系，我們進一步推導出流量的數學模型。 問題2：虹吸水壩運用了虹吸原理，它的主要部件就是虹吸導水管。由于虹吸導水管埋深淺，維護管理方便，在一定的環境下比較實用，所以虹吸導水管一般適用于導水管管徑小(300以下)的小型水廠，在此我們運用的依舊是伯努利利(Bernoulli)方程，不過在現實的條件下許多實在的問題也應當考慮進去。從而推出自流水壩中的不同高度值。而虹吸管流量和管道的直徑，斷面1-1與斷面3-3的高度差，斷面1-1處的壓力P1等有關，所以流量是一個可根據具體情況設計的量。3、 模型假設 問題1：1將管道看做是內壁光

7、滑的，不考慮內部摩擦的影響。2大氣壓是穩定的且為正常大氣壓。3管內先裝滿液體。 4管的最高點距上容器的液面高度不得高于大氣壓支持的水柱高度。 5出水口比上容器的水面必須低。這樣使得出水口液片受到向下的的壓強（大氣壓加水的壓強）大于向上的大氣壓，保證水的流出。 問題2：1. 地理、水文條件適宜2. 左斷面水面高于右斷面水面3. 虹吸管嚴密不漏氣四、符號說明 問題1：(1) ：A容器液面的壓力(2) ：B容器液面的壓力(3) ：A容器液面的高度(4) ：B容器液面的高度(5) ：曲管最高點的高度(6) L：曲管的長度(7) ：曲管左側的長度(8) D：曲管的直徑(9) ：沿程阻力系數(10) ：曲

8、管進口處的局部阻力系數(11) ：曲管最高點的局部阻力系數(12) ：曲管出口處的局部阻力系數(13) v：曲管內液體的平均流速(14) K ：表征虹吸流動過程中阻力的一個系數(15) ：在曲管的最高點液體壓力達到最低值(16) ：液體密度(17) g：重力加速度(18) :自左側液面到管最高處的垂直距離(19) X：管內液體流量 問題2：(1) z：總流過水斷面上任一點對其準面的位置水頭(米)(2) Pr：總流過水斷面上同一點的壓強水頭(米)(3) H: 水頭損失(米)(4) V2: 為總流過水斷面的平均流速水頭(米)(5) l: 管道的長度(6) : 虹吸管道的流量系數五、模型的建立與求解

9、 問題1：1、如圖1，虹吸發生之后，曲管的流動利用利Bernoulli方程建立A 、B 器液面的關系： （1）裝置處在大氣中，PA= PB，有： （2）2、 由流量公式X=S*V，可知， (3)3、利用Bernoulli方程可以求得曲管的最高點處的壓力值Po： （4）若裝置處于大氣中，則Po低于大氣壓力，通常稱為負壓，但并不是液體真的處于拉應力狀態。由于液體不能受拉，為了保證Po> 0，則必須有： 或 （5） 問題2：1、由水力學的總流能量方程，也稱伯努利方程，可得運動液體的兩個連續斷面，上游斷面的總單位能等于下游斷面的總單位能加上兩斷面間的單位能損失。其方程： （1）水流從斷面1-1至

10、斷面2-2過程中的能量方程為： （2）水流從斷面1-1至斷面3-3過程中的能量方程為： Z3+hW1-3=0 （3）虹吸觸發之后,對斷面1-1和斷面斷面3-3列Bernoulli方程： (4)式中v1要遠小于v3，動能校正系數約等于1, 水頭損失hw1-3的計算公式為： (5)代入Bernoulli方程可得到： (6)于是虹吸管中的流速： (7)虹吸管道的流量： (8) 六、模型的分析與驗證6.1問題1模型的分析與驗證： 公式(2)中確實不含有大氣壓力，但不能認為大氣壓力對虹吸過程沒有影響事實上， 由于液體不能承受拉應力，大氣壓，更準確地說，A 器液面的壓力PA 是虹吸發生的必要條件具體說明如

11、下：在虹吸過程中，液體首先沿著曲管的左側向上流動 “水往高處流” 的實現是以液體壓力的降低為代價的壓力也是一種能量。在曲管的最高點液體壓力達到最低值PO。也可以說，A 器液面的壓力PA或大氣壓力與曲管的最高點壓力PO的差異，使得液體具備了動能，并克服阻力向上流動而在曲管的右側，由于出口點較低，液體在最高點具有更多的重力勢能，因而液體向下流動時能克服阻力并使壓力增大到B器液面的壓力PB，或恢復到大氣壓力。對于公式（5）進行分析，如果曲管最高點超出貯水器A 的液面H*以上，其充滿水放入A 、B 兩貯水器中后，則會出現圖2 所示的狀態；曲管兩則的水均向下流動，各保留高H*的水柱， 中間形成真空。 這

12、與Torricelli試驗相似 注釋2。當然， 曲管的上部實際上并不是真正的真空， 而是壓力為Pv的水蒸氣。Pv是飽和蒸氣壓力，與溫度有關即壓力PA不能使液體通過左側曲管達到最高點來實現右側的“水往低處流”。所以說，曲管的高度并不是無限制的增大的。 當曲管的最高點尚沒有超出貯水器A 的液面H*時，由公式(2)求到的速度v后，代入公式(4)計算得到的Po小于零。這在實際流動中同樣是不可能出現的這時候，曲管上部的液體由于壓力降低而蒸發，形成氣泡，縮窄流動斷面，增加流動阻力，使流動速度降低曲管右側將出現不穩定的氣一液混合流動。 由于最高點的壓力維持在飽和蒸氣壓力Pv是不變， 因而虹吸流速由液面A 的

13、壓力PA和最高點的壓力PV依據公式(4)來計算，降低右側液面B 的高度并不能增加虹吸流量不過，就實際應用而言，這種情形同樣需要避免通常曲管最高點只能超過液面A 的高度是0.7H* ，對大氣中的水來說，約為7 m。 即使曲管左側很短，通過降低右側液面B 的高度也不能使虹吸流量無限增大下去 因為沿程阻力損失是與管長成正比的， 由公式(2)可以知道，在保持左側高度不變、增加兩液面的高度差，虹吸速度所能達到的極限值是： (6) 對直徑D = 0.01 m 的光滑圓管，沿程阻力系數 = 0.02，極限速度v = 3.13 ms。 公式(6)似乎表明增加管道直徑可以提高虹吸的極限速度，如直徑0.25 m

14、的管道極限速度就可以達到15 ms以上但從公式(4)可以看出, 即使不考慮液體的升高和各種阻力損失，壓力全部轉換為動能，極限速度是 ，對于大氣中的水只有14 ms。而該值實際上是不可能得到的。這就是說，虹吸管的高度和虹吸管的速度最大值（流或虹吸管的量）均受到液面壓力PA的限制。6.2問題2模型的分析與驗證水流從斷面1-1至斷面2-2，基準面00，1-1斷面， .2-2斷面 由（2）式可得必須有：P2/r<0 水才能流過2-2斷面故有：斷面1-1與斷面2-2的高度差h=Z1-Z2<P1/r結論：在2-2斷面必須形成一定的負壓，克服沿程阻力，水頭損失，水流才能流過2-2斷面。即虹吸管的

15、最大高度不得大于總流過水斷面1-1s上同一點的壓強水頭。 水流從斷面1-1至斷面3-33-3斷面：由（3）式可得：Z3=-hwl-3, hw1-3>0結論：出水口水位必須低于進水口水位，其高度差為管路的水頭損失。 虹吸管必須具備上述兩條件，才能正常的運行。其必要條件在管中最不利點(最高點)形成真空。由上述流量公式可知，虹吸管的流量在實際工作中可以人為控制，具體結合當地的具體情況設計。現有具體工程實例如下：虹吸管設計日導水量為200 m3日, 工作時間按8小時, 則流量Q=25 m3h. 虹吸管采用巾159×8鋼管, 管長215m, 流速V=0.37ms，查表1000i=2.03

16、m，k=0.88虹吸管沿程水頭損失： hi=kil=0.88×215 x 2.031000=0.38m局部水頭損失：查表計算hs=0.02m虹吸管中總水頭損失：h= h1+hs=0.384+0.02=0.40m取水頭部最低水位標高為2166m，則集水的水位標高為：21.66-0.40=21.26m虹吸管的最大安裝高度選取5米，虹吸管最高點高為： 21.26+5.0=26.26m七、模型的評價與推廣 結合問題1、2對所建模型加以評價和推廣： 優缺點評價： 1.問題1、2均用到簡單的Bernoulli方程，為簡單的數理模型，便于分析和研究。 2.問題2是問題1的推廣和應用，既驗證了模型1

17、的合理性和正確性，又拓展了實用范圍和使用價值。 3.兩個模型都未用到具體的數據，求解過程和求解結果較為抽象，不具有直觀性和易讀性。推廣：以上建立的模型，在自流水壩的設計和控制中能發揮重要作用。對模型進一步分析，添加一定的限制條件，我們可以將模型應用到更多的領域。簡單探討水利工程和日常生活兩個方面。水利工程：在自流水壩和屋面排水中充分控制好管高和流量就能充分發揮“水往低處流”的特性；在改變一定條件后，該模型還適用于倒虹吸如豎井等，實現“水往高處流”現象。但倒虹吸在開始工作時不需人為地制造管中的真空，因而更為普及；日常生活：以虹吸式座便器為例。虹吸式座便器的結構是排水管道呈“”型，在排水管道充滿水后會產生一定的水位差，借沖洗水在便器內的排污管內產生的吸力將便便排走，由于虹吸式座便器沖排是不是借助水流沖力，所以池內存水面較大，沖水噪音較小。因此可以利用虹吸原理將該模型進一步改進以適用其中，如考慮氣流作用、管道摩擦等。虹吸現象無處不在，所涉及的數學模型也舉不勝舉，利用Bernoulli方程建立的簡單模型添加一定的約束將會適用更廣的領域。八、參考文獻1 尤明慶，陳小敏，實現虹吸過程的條件，焦作工學院學報(自然科 學版)