1、高中數學優質學案經典專題知識圓與圓的位置關系教學目標：掌握圓與圓的公切線，綜合問題 教學重點：掌握圓與圓的公切線、綜合問題 教學過程:例 1、已知兩圓 Ci: x +y +4x-4y-5=0 ， C2: x +y -8x+4y+7=0。(1)證明此兩圓相切，并求過切點的公切線；(2)求過點(2，3)且與兩圓相切于上述切點的圓的方程。解：方法一 (1)兩圓的方程可化為：(x+2) 2+(y-2) 2=13,和2 2(x-4) +(y+2) =13。二圓心分別為2). N(4, -2),半徑都是Tii圓心距|MNF7(4 + 25+(-2-2/即兩圓的半徑之和.二兩圓外切，又T2+223k冊壬切線

2、的斜率兩圓方程聯立.解得切點坐 標為(1, 0),故所求切線方程為=#(11)上，即3x-2y -3 = 0* 與兩圓相切于點(1, 0)的圓的圓心必在連心線y二亍1)上，又知圓(x , y)到(1 , 0)的距離與到(2 , 3)的距離相等。(x-1) 2+y2=(x-2) 2+(y-3) 2聯立卜冷XI)解得即3/ + 24x -故所求圓的方程為仗+4)2 +(y 一三竽，20y-27 = 0方法二：(1)兩圓方程相減得12x-8y-12=0，即3x-2y-3=0為根軸 方程。兩己知圓心到根軸的距離：卩()嚴2-耳53X4-2(-2)-耳=./13故根軸為所求的切線。(3)設所求的圓的方程

3、為(X 2+y2+4x-4y-5)+ 入(x 2+y2-8x+4y+7)=0 ,所求圓通過點(2 , 3),該點代入上式得4+16入丸解得4故所求圓方程為 3x2+3y2+24x-20y-27=0。例2、斜率為1的圓x2+y2=4的一組平行弦的中點軌跡方程是 例3、已知圓方程(X-1) 2+y2=1過原點0作圓的任意弦，則這些弦的中點M的軌跡方程是例4、點P在圓x2+y2-8x-4y+11=0上，點Q在圓:x2+y2+4x+2y-1=0 上，貝U |PQ| 的最小值是 例5、自點A(-3 , 3)發出的光線I射到X軸上，被X軸反射，其反射線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線

4、I所在直線的方程.【分析】由于直線I過A(-3 , 3)，因此欲求直線I的方程，只需求出其斜率k,這就要例出以k為未知數的一個方程，而建立方程 的依據是：/ ABx =Z PiBx, BiPi和O C相切，如圖，Bi, B2是光線與 x軸交點，Pi, P2是反射線與已知圓 C的切點.方法一：由/ ABx =Z PBx,得入射線與反射線的斜率互為相反數，于是，設直線I的斜率為k，貝y：啲方程f入射點B(-牛Z 0L，反射線方程y+ kx + 3(1+k) k就根據圓昭2)到反射繃距離軒半徑】，得輝舄3 4Bp： 12k+25k + 12 = 0 :加一或 k = -4 3將k值分別代入方程中3x

5、+4y-3=0 或，整理化簡得方程:4x+3y+3=0.方法二：借助一個間接未知數，設入射點B的坐標為(t , 0)，則反射線所在直線方程為3y =弄-1),即 3x -p+ty -3t = 06-2C3 + t)-3t3=1,求出t后，貝IJk = -y再由相E 5方法三：根據鏡面反射原理知，既然反射線與OC相切，那么入射(以桶).心(以下略).線所在直線一定和與O C關于x軸對稱的O C相切，C的坐標為(2 ,-2),直線1的方程y-3 = k(z + 3)i于是得方程,耳Jl + k，方法四：設兩個未知數，列二元方程組設入射線所在直線的方程為y-3=k(x+3)，反射線所在直線方程為y=-kx+b，由后者與O C相切