1、精選備戰中考數學易錯題專題復習一元二次方程組附答案一、一元二次方程1 .李明準備進行如下操作實驗，把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形.(1)要使這兩個正方形白面積之和等于58 cm2,李明應該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認為他的說法正確嗎？請說明理由.【答案】(1)李明應該把鐵絲剪成 12 cm和28 cm的兩段；(2)李明的說法正確，理由見解 析.【解析】試題分析：(1)設剪成的較短的這段為 xcm,較長的這段就為(40-x) cm.就可以表示 出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方

2、程求出其解即可；(2)設剪成的較短的這段為 mcm,較長的這段就為(40-m) cm .就可以表示出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯誤，否則正確.試題解析：設其中一段的長度為 xcm,兩個正方形面積之和為 工cm2,則工二工二三-*+ioo (其中 口。工),當、=5日時，二5g二二一3元十100,解這個方程，得-V =12 ,=28 ,，應將之剪成12cm和28cm 8-的兩段；(2)兩正方形面積之和為 48時，48 =十100, x2 40r+416 = 0 , S.(-40): -4x1x416 = -640,，對任意實數

3、m,方程總有2個不相等的實數根；(2)解:二方程的一個根是2,-4- 14+12- m2=0,解得 m=/2,原方程為x2- 7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為 紀工 方程的另一個根是 5.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關 系是關鍵.當加2-4ac0時，方程有兩個不相等的實數根；當 =b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當 =b2-4acv 0時，方程沒有實數根.3.已知關于x的一元二次方程 x2-x+a-1=0.(1)當a=- 11時，解這個方程；(2)若這個方程有兩個實數根x1，x2,求a的取值范圍；(3)若方程兩個

4、實數根 x1，x2滿足2+x1 (1-x)2+x2 (1-x2)=9,求a的值.5【答案】(1) x3,x2 4 (2) a0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可.試題解析：（1）當k-1=0即k=1時，方程為一元一次方程2x=1,x=:有一個解； 當k-1wo即kwi時，方程為一元二次方程, = （2k） 2-4 X2（k-1） =4k28k+8=4（k-1） 2 +40方程有兩不等根綜合 得不論k為何值，方程總有實根_, -2fc _2(2) . x a x ?=,x ? x ?= 6=二 +土 + x1+x2=21=_- . _二之一l

5、k-1=2k-2=2,解得k=2,當k=2時，S的值為2.S的值能為2,此時k的值為2.考點：一元二次方程根的判別式；根與系數的關系.25 .已知關于x的一兀二次方程 x m 2 x m 0 （m為常數）(1)求證：不論 m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有一個根是 2,求m的值及方程的另一個根.【答案】(1)見解析；(2)即m的值為0,方程的另一個根為 0.【解析】【分析】(1)可用根的判別式，計算判別式得到=(m+2)2-4X?m=m2+40,則方程有兩個不相等實數解，于是可判斷不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；(2)設方程的另一個根為 t,利用根與系數的關系得到2

6、+t=W_2 ,2t=m,最終解出關于t1和m的方程組即可.【詳解】(1)證明： =(m+2)2- 4 x ?m=m2+4,無論m為何值時m2Qm2+40,即4 0,所以無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根.(2)設方程的另一個根為t, 2x m 2 x m 0根據題意得2+t= m- ,2t=m ,1解得t=0,所以m=0,即m的值為0,方程的另一個根為 0.【點睛】本題考查根的判別式和根于系數關系，對于問題(1)可用根的判別式進行判斷，在判斷過程中注意對的分析，在分析時可借助平方的非負性；問題(2)可先設另一個根為t,用根于系數關系列出方程組，在求解 .6 .觀察下列一組方程：x2 x

7、 0;x2 3x 2 0;x2 5x 6 0;x2 7x 12 0;它們的根有一定的規律，都是兩個連續的自然數，我們稱這類一元二次方程為連根一元二次方程1若x2 kx 56 0也是 連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；2請寫出第n個方程和它的根.【答案】(1) x1 = 7, x2= 8. (2) x1=n1, x2= n.【解析】【分析】( 1)根據十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56 是 7 與 8 的乘積,確定k 值即可解題,( 2)找到規律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解：(1)由題意可得k= 15,則原方程為x215x+56=0,則(x7)(x8

8、)=0,解得xi =7 , x2=8.(2)第 n 個方程為 x2-(2n- 1)x+ n(n -1)=0, (x- n)(x- n + 1)=0,解得 x1 = n_1, x2= n.【點睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關鍵.7 某水果店銷售某品牌蘋果，該蘋果每箱的進價是40 元，若每箱售價60 元，每星期可賣 180 箱為了促銷，該水果店決定降價銷售市場調查反映:若售價每降價1 元，每星期可多賣10箱.設該蘋果每箱售價x元(40效W60 ,每星期的銷售量為y箱.( 1 )求 y 與 x 之間的

9、函數關系式；( 2)當每箱售價為多少元時，每星期的銷售利潤達到3570 元？( 3)當每箱售價為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元?【答案】(1)y=-10x+780； (2) 57； (3)當售價為59 元時，利潤最大，為3610 元【解析】【分析】( 1 )根據售價每降價1 元，每星期可多賣10 箱 , 設售價 x 元 , 則多銷售的數量為60-x,( 2)解一元二次方程即可求解,( 3)表示出最大利潤將函數變成頂點式即可求解.【詳解】解：(1)二.售價每降價1元，每星期可多賣10箱，設該蘋果每箱售價 x元(40WxW60,貝U y=180+10 (60-x) =-10x+78

10、0,(40 x2； (2)17【解析】試題分析：(1)由根的判別式即可得；(2)由題意得出方程的另一根為7,將x=7代入求出x的值，再根據三角形三邊之間的關系判斷即可得.試題解析：解：(1)由題意得=4(m+1) 2-4 (m2+5) =8m160,解得：m2;(2)由題意，:*1次2時，只能取x1=7或x2=7,即7是方程的一個根，將 x=7代入得: 4914 (m+1) +m2+5=0,解彳導:m=4 或 m=10.當m=4時，方程的另一個根為 3,此時三角形三邊分別為 7、7、3,周長為17;當m=10時，方程的另一個根為 15,此時不能構成三角形；故三角形的周長為17.點睛：本題主要考

11、查判別式、三角形三邊之間的關系，熟練掌握韋達定理是解題的關鍵.9,關于x的一元二次方程x2- (m+3)工+ m + 2 =(1) .求證：方程總有兩個實數根；(2) .若方程的兩個實數根都是正整數，求 m的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)-1.【解析】【分析】(1)根據一元二次方程根的個數情況與根的判別式關系可以證出方程總有兩個實數根.(2)根據題意利用十字相乘法解方程，求得打=1Hz = m + 2,再根據題意兩個根都是正整數，從而可以確定 泅的取值范圍，即求出嗎 m的最小值.【詳解】證明：依題意，得力=扭-4日。=| -/-4(m + 2)=加之 + 6m + 9 - 4m -

12、8=(m + 1)?.v(m + l)20,21 0I.，方程總有兩個實數根.(21由m + 3) x + m + 2 = 0.可化為：一(小 +2)1 = 0得3 = 1力=m +2方程的兩個實數根都是正整數，.m + 2 . 帆 W1陽的最小值為【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的個數關系和利用十字相乘法解含參數的方程，熟知根的判別式大于零方程有兩個不相等的實數根，判別式等于零有兩個相等的實數根或只有一個實數根，判別式小于零無根和十字相乘法的法則是解題關鍵10.某公司今年1月份的生產成本是 400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份的生產成本是361萬元.假設該公司

13、2、3、4月每個月生產成本的下降率都相同.(1)求每個月生產成本的下降率；(2)請你預測4月份該公司的生產成本.【答案】(1)每個月生產成本的下降率為5%; (2)預測4月份該公司的生產成本為342.95 萬元.【解析】【分析】(1)設每個月生產成本的下降率為x,根據2月份、3月份的生產成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；(2)由4月份該公司的生產成本 =3月份該公司的生產成本 X (1-下降率)，即可得出結 論.【詳解】(1)設每個月生產成本的下降率為x,根據題意得：400 (1 -x) 2=361,解得：x1=0.05=5%, x2=1.95 (不合題意，舍去)

14、.答：每個月生產成本的下降率為5%;(2) 361X (1-5%) =342.95 (萬元),答：預測4月份該公司的生產成本為 342.95萬元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出一元二次方程；(2)根據數量關系，列式計算.11 .山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可 售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低 2元，則平均每天的銷售可增加 20 千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：(1)每千克核桃應降價多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場

15、，該店應按原售價的 幾折出售？【答案】(1) 4元或6元；(2)九折.【解析】【詳解】解：(1)設每千克核桃應降價 x元. 一x根據題意，得(60 -x- 40) ( 100+- x 20 =2240,化簡，得 x2- 10x+24=0,解得 x1=4, x2=6.答：每千克核桃應降價 4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降價 4元或6元.要盡可能讓利于顧客，每千克核桃應降價 6元.此時，售價為：60 - 6=54 (元)，54 100%=90%.60答：該店應按原售價的九折出售.12 .閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4-5x2+4= 0,這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的

16、解法通常是：設x2=y,那么x4 = y2,于是原方程可變為 y2-5y+4=0，解得yi=1, y2 = 4.當 y=1 時，x2= 1,，x=l;當 y=4 時，x2= 4,，x=4-1原方程有四個根：x1= 1 , x2= - 1 , x3 = 2 , x4= - 2 .(1)在由原方程得到方程 的過程中，利用 法達到 的目的，體現了數學的轉化思想.(2)解方程(x2+x) 24 (x2+x) 12 = 0.【答案】(1)換元，降次；(2) x1=-3, x2=2.【解析】【詳解】解：(1)在由原方程得到方程 的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現了數學的 轉化思想；(2)設 x2+x

17、=y,原方程可化為 y2 - 4y- 12=0,解得 y1=6, y2= - 2 .由 x2+x=6,得 x1 = - 3, x2=2.由x2+x=-2,得方程x2+x+2=0, b2-4ac=1-4X2=- 70時，有兩個不相等的實數根，當 二0時，有兩個相等的實數根，當 0時，方程沒有實數根；bc(2)根據一兀二次方程根與系數的關系x1+x2=-b, x1?x2=-,表不出兩根的關系，得到aax1, x2異號，然后根據絕對值的性質和兩的關系分類討論即可求解試題解析：(1) 一元二次方程 x2 - (m-3) x-m2=0,2. a=1, b二一(m 3) =3- m, c= - m ,=b

18、2 - 4ac= ( 3 - m) 2 - 4X 1 M - m2) =5m2- 6m+9=5 ( m - - ) 2+,55 0,則方程有兩個不相等的實數根；(2)x1?x2= =- m20, x20,上式化簡得：-(X1+X2)=- 2,1. xi+x2=m - 3=2,即 m=5,方程化為x2 - 2x - 25=0,解得：xi=i - V26, x2=i+5y26.15.若兩個一次函數的圖象與x軸交于同一點，則稱這兩個函數為一對X牽手函數”，這個交點為X牽手點(1) 一次函數y=x- 1與X軸的交點坐標為 ； 一次函數y=ax+2與一次函數y=x- 1 為一對X牽手函數，則a=；(2)已知一對 X牽手函數：y= ax+1 y= bx- 1,其中a, b為一元二次方程 x2- kx+k - 4 = 0的兩根，求它們的 X牽手點【答案