1、第二章汽車懸架系統建模趙開林研究一個系統時，要對系統內部變量之間的關系有明確表達，這就需要成立系統的數學模型，山系統的大體物理定律得出研究變量之間的特定關系，并利用微分方程加以確信性的描述。盡管各類懸架的結構不同，但研究來自不平路面鼓勵引發車體的垂直振動都可用四分之一車輛力學振動模型表示。盡管四分之一車體模型沒有包括汽車的整體幾何信息，也無法用它來研究汽車俯仰角振動及側傾角振動，但它包括了實際問題中的絕大部份大體特點，能反映出咱們所關切的懸架動態性能指標，如汽車懸架中車身振動的加速度、懸架的動撓度和輪胎的動載荷等情形，而且，在維持正確有效性的前提下，能減少系統描述參數，求解容易，計算量小，因此

2、是懸架系統振動操縱研究的最大體和最經常使用模型。二自由度四分之一車被動懸架模型圖二自由度四分之一車被動懸架模型依照圖所示的懸架模型，應用牛頓定律，可以成立如下的運動微分方程:/W2X2+K.(X2-Xi)+Co(X2-X1)=0MiXi+K(Xi-Xo)+K(XlX2)+Co(XlXo)=0式中：M2為簧載質量；Ml為非簧教質量；Ks為懸架彈簧剛度；Kt為輪胎剛度；CO為阻尼器阻尼系數；X0為路面不平度；XI為簧載質量位移：X2為非簧載質量位移二自由度半主動懸架模型圖二自由度四分之一車半主動懸架模型X2Xo由于采納調整阻尼的方式操縱，因此就懸架的模型圖來講，半主動懸架圖2.5與被動懸架圖2-4

3、大體上是相同的，只是半主動懸架的前后軸的阻尼是可調的，因此兩種模型的微分方程是一樣的，轉變的只是一個方程中阻尼值是常量，一個方程中阻尼值是變量(包括C。和Cr,兩部份：C。為基值阻尼，Cr,為可調阻尼)。其總的阻尼力為：Fr=C)(Z2Zl)+Cr(Z2-Zl)其可變的阻尼力為：U=Cr(Z2-Z)由此能夠成立如下的運動微分方程：M2X2+K(X2-Xi)+Co(X2-Xi)+=OMiXi+K(XlXo)+K(XiX2)+Co(XlXo)h=O用狀態向量代替物理方程中各含量，令：x=Xi-XoX2=X2-XX3=XlX4=X2X=xi.X2.X3.X4那么系統的狀態方程為：X=AX+BU+Ew

4、假設以車身的加速度、速度和懸架的變形量為輸出，并令:），2 = K（XlXo） y3=Xz-X 那么輸出方程為:式中: 0000A=上旦 一訪 嬴y=XiY=CX+DU10-11CoCo訪CoCoB=00lMi-WMi1°KsCoCoM2MiM2C=K0000100Z)=-1M20o!B=-l0007其中U為可調的阻尼力U=u,W為路面位移信號。懸架系統的性能評判指標懸架系統是汽車的重要組成部份，它把車身與車軸彈性地連接起來，傳遞作用在它們之間的力和力矩，緩和來自不平路面傳遞的沖擊力，衰減各類動載荷引發的振動，因此懸架對汽車的平順性（乘坐舒適性）和操縱穩固性都有專門大阻礙。汽車懸架典

5、型的評判指標是車身垂直振動加速度、輪胎動載荷和懸架動撓度。車身振動加速度直接反映了汽車的行駛平順性。車輪的動載荷也是評判懸架性能的重要指標。因為車輪動載荷直接阻礙車輪在路面上的附著成效。當動載荷轉變的幅值大于等于靜載荷時.，會顯現輪胎法向載荷小于等于零的情形，現在輪胎會跳離地面完全失去附著，喪失駕駛的可能性,對車輛操縱穩固性帶來不利阻礙。因此，車輪的動載荷轉變要小，才能保證較高的操縱穩固性。懸架動撓度也是評判其性能的重要參數。在設計懸架時，由于平順性和結構上的要求，一樣對懸架的動撓度有必然的限制。若是懸架動撓度太大會增加行駛中撞擊限位塊的概率，即發生懸架被擊穿的現象，使平順性變壞。本文以車身垂

6、直振動加速度作為評判懸架性能的要緊指標來評定懸架操縱策略的成效。仿真軟件的選擇運算機仿真是在研究系統的進程中以相似性原理、操縱論、信息技術及相關領域的有關知識為基礎，以運算機和各類專用物理設備為工具，借助系統模型對真實系統進行實驗研究的一種綜合技術。其研究對象能夠是實際的系統，也能夠是假想中的系統。運算機仿真是將研究對象進行數學描述、建模編程，且在運算機中進行運行，目的是研究系統的動態特性，尋求進程的規律，從而達到熟悉和改造實際系統的目的。仿真技術具有很高的科學研究價值和龐大的經濟效益。III于仿真技術的特殊功效，專門是平安性和經濟性，使得仿真技術取得了普遍的應用。第一由于仿真技術在應用上的平

7、安性，使得航空、航天、核電站等成為仿真技術最先和最要緊的應用領域。第二從仿真的經濟性考慮，由于仿真往往是在運算機上模擬現實系統，并可多次重復運行，使得其經濟性十分突出。另外，從愛惜環境的角度考慮，仿真技術也極具價值。仿真技術在許多復雜工程系統的分析和設計研究中愈來愈成為不可缺少的工具。系統的復雜性要緊體此刻復雜的系統、復雜的對象和復雜的任務上。但是只要能夠正確地成立系統的模型，就能夠夠對該系統進行充分的分析研究。另外，仿真系統一旦成立就可重復利用，專門是對運算機仿真系統的修改超級方便。通過不斷的仿真修正，慢慢深化對系統的熟悉，以采納相應的操縱和決策，使系統處于科學的操縱和治理之下。本文選用Ma

8、tlab+Simulink作為仿真軟件。Matlab是由Mathworks公司于1984年推出的一套數值計算軟件，分為總包和假設干個工具箱，能夠實現數值分析、優化、統計、偏微分方程數值解；數據分析、研究和可視化：、自動操縱、建模、仿真、信號處置、圖像處置；應用程序開發，包括創建圖形用戶接口等假設干個領域的計算和圖形顯示功能。它將不同數學分支的算法以函數的形式分類成庫，利歷時直接挪用這些函數并給予實際參數就能夠夠解決問題，方便快捷而且準確。該軟件簡單易學、代碼短小高效、具有壯大的計算功能和圖形表達功能且有專門好的可擴展性。最近幾年來，Matlab在國內的知名度愈來愈大，并己被普遍地應用于數學和科

9、研。Matlab是一個交互式系統，它的大體數據單元是數組，那個數組不要求固定的大小，因此能夠讓用戶解決許多技術上的計算問題，專門是那些包括矩陣和向量運算的問題。Matlab的指令表達與數學、工程中經常使用的適應形式十分相似,與C、Fortran等高級語言相較，Matlab的語言法那么更簡單、表達更符合工程適應。正因為如此，人們用Matlab語言編寫程序就有如在變箋上書寫公式和求解，因此Matlab被稱為“變箋式”的科學工程計算語言。Matlab的最重要的特點是它擁有解決特定應用問題的程序組，也確實是TOOLBOX（工具箱），如信號處置工具箱、操縱系統工具箱、神經網絡工具箱、模糊邏輯工具箱、通信

10、工具箱和數據搜集工具箱等許多專用工具箱。另外，開放性或許是Matlab最重要和最受人歡迎的特點之一。除內部函數外，所有的Matlab文件和各工具箱文件都是可讀可改的源文件，因為工具箱事實上是由一組復雜的Matlab函數（M函數）組成，它擴展了Matlab的功能，用以解決特定的問題，因此用戶能夠通過對源文件進行修改和加入自己編寫的文件去構建新的專用工具箱。Simulink是一個用來對動態系統進行建模、仿真和分析的軟件包，它擁有大量的專用模塊庫，使得用Simulink來建模、分析和仿真各類動態系統（包括持續系統、離散系統和混合系統），成為一件超級輕松的情形。同時它提供了一種圖形化的交互環境，乃至不

11、需要咱們編寫一行代碼，只需拖動鼠標就能夠迅速地成立起系統框圖模型。而且它和Matlab的無縫結合使得用戶能夠利用Matlab豐碩的資源，成立仿真模型，監控仿真進程，分析仿真結果。另外，Simulink在系統仿真領域中已經取得普遍的承認和應用，許多專用的仿真系統都支持Simulink模型，這超級有利于代碼的重用和移植Matlab/Simulink要緊特點Simulink是一個用來對動態系統進行建模、仿真和分析的軟件包，它支持持續、離散及二者混合的線性和非線性系統，也支持具有多種采樣速度的多速度系統。要緊有以下9個特點：（1）具有仿真與連接功能能夠利用鼠標器在模型窗口上畫出所需的操縱系統模型，然后

12、利用該軟件提供的功能來對系統直接進行仿真，使得一個很復雜系統的輸入變得相當容易。（2）用方框圖進行建模采納此結構畫模型就像用筆和紙來畫一樣容易，與一般的利用微分方程或差分方程建模相較，其具有直觀、方便、靈活等優勢。(3)建模具有遞階結構用戶在建模時，能夠采納從上到下或從下到上的結組成立模型，建完后能夠從最高級開始觀看模型，然后用鼠標雙擊其中的子系統模塊，來查看下一級的內容，從而，用戶能夠了解整個模型的細節。(4)仿真方便有兩種仿真方式,第一種是通過simulation的菜單方式,直接simulation,然后再點Start即可，超級方便、快捷。第二種是在Matkib命令窗口鍵入命令進行仿真也很

13、簡單，同時用戶能夠通過屏幕觀看仿真結果。另外，假設在仿真系統中采納一些畫圖模塊如Scope模塊、GraphScope模塊等，那么直接點擊模塊就可觀看仿真結果了。(5)具有豐碩的子模型庫Simulink包括有一個龐大的結構方塊圖庫，用戶能夠既快乂方便地對系統建模、仿真，沒必要寫任何代碼程序。并且Simulink讓你在同一個屏幕上進行仿真，顯示數據及輸出數據和圖形。(6)操縱壞節操縱模型成立要用到的環節有Simulink的Discrete,Linear,Nonlinear,Connections,Extras共5大模塊。大體上包括了從離散系統到持續系統，線性系統到非線性系統，傳遞函數描述到狀態空間

14、描述等各類環節。(7)仿真信號源仿真信號源由Simulink的Sources模塊概念，包括一系列信號模型。其中有:數字時鐘、周期序列、信號發生器、正弦信號、階躍信號、脈沖信號、文件、工作區變量、噪聲信號函數等。由此可見，Simulink提供的信號源模型是超級普遍靈活的，能知足大部份情形下的需要。(8)仿真方式Simulink的動態仿真能力能夠分析研究操縱系統的動態特性。它具有先進的積分算法和分析函數，提供了固定步長、變步長和剛性系統等7種積分方式，方便進行仿真。咱們還能夠選擇仿真參數如仿真的起止時刻，最大最小步長等。從系統的方塊模型中求得系統的線性模型，取得系統的傳遞函數，從Ifit分析系統的

15、時域響應，取得操縱系統的頻率特性，繪制波特圖等。Simulink具有參數分析能力，轉變模型中的參數，再對系統進行仿真分，求系統的頻率響應。能夠求得系統在不同參數條件下的響應情形，或直接III系統的開環傳遞函數繪制根軌跡，求出系統的穩固性等的特性。(9)仿真輸出仿真輸出由Simulink的模塊確信，包括有：仿真示波器、圖形窗口、XY圖形窗口、工作區變量、文件等。Simulink的輸出形式是超級普遍的。從仿真示波器上看到的是仿真結果的動念顯示成效，另外，從工作區變量輸入輸出仿真信號乂使得Simulink具有交互式仿真能力。2.4隨機路面模型(湖南大學汽車主動懸架操縱算法及實驗系統研究分析懸架在時域

16、或頻域內的性能，第一要用到路面的隨機輸入，成立路面擾動輸入模型是研究汽車動態響應及其操縱的基礎。它屬于整個懸架建模的一部份。路面擾動輸入一樣分為兩類：離散沖擊和持續振動。前者是諸如在平坦路面突遇的凸包或凹坑等短時刻、高強度的離散沖擊事件。后者是沿路面長度方向的持續鼓勵，諸如通常能感感覺到的粗糙路面。關于持續型隨機路面，咱們通常考慮速度阻礙在內的白噪聲速度譜及相應的時域表示形式來描述。最經常使用的路面模型是Thompson第一提出的積分白噪聲模型。它由白噪聲進程經積分而取得。2.4.1路面不平度的功率譜大量研究說明，在通常情形下，道路縱剖面高度曲線服從高斯散布。在不同的路段測量，很寶貴到兩個完全

17、相同的路面輪廓曲線(或不平度函數)。一般是把測量得的大量路面不平度隨機數據，經數據處置取得路面功率譜密度，路面功率譜密度可表示為：Gg()=Gg(o)(2)f式中：n為空間頻率，表示每米長度中包括的波數，單位為m-L；no為參考空間頻率，no=O.ImT；Gq(no)為參考空間頻率下的路面譜值，稱為路面不平度系數。單位為m2/mT：w為頻率指數，確信每段功率譜斜線的斜率，取值由路面譜的頻率結構確信。在用上式所示的路面垂直位移功率譜描述路面不平度的統計特性的基礎上，咱們可進一步采納路面的垂直速度來描述。它表示為：Gg()=Gg()(2mi)w當頻率指數W取2時，那么有：GqQi)=G<7(

18、/zo)(2/?)2由此可見，在該條件下路面速度功率譜幅值在整個頻率范圍內為一常數，即白噪聲。速度功率譜幅值大小僅和不平度系數Gq(nO)有關。為了便于在狀態空間中分析問題，通常要把上式所示的路面不平度輸入轉化到時域形式。這必然要求考慮汽車的行駛速度，因為空間譜函數描述路面統il特性時，僅表現了距離和路面粗糙度，而和速度、時刻無關，它具有唯一性。咱們在分析路面擾動輸入在懸架上產生的動態響應時，速度條件時不可少的。設車速為V,那么空間頻率譜函數轉化為與速度有關的時刻頻譜函數的公式如下:Gq(f)=Gg(O)/V其中：f為時刻頻率，單位為Hz；V為汽車速度，單位為m/s；f=vXn由式以上倆式可取

19、得時刻頻率域內路面不平度垂直位移的譜密度為：Gq(f)=7Gg(0)(尸V710當w=2,那么有：Gq(j)=()£q(0)-p進一步，可取得在時刻頻率域內路面不平度為：5(/)=(21/)七式/)=442G(砌02V這確實是前述的積分白噪聲隨機路面描述。能夠看出，速度功率譜譜密度Gq(f)與路面粗糙度和車速成正比。2.4.2路面輸入信號的運算機仿真分析研究懸架在時域內的動態特性時，進一步需要把路面不平度在頻率域內的統計特性轉化為時域內的時刻序列。依照前面推導，可成立積分白噪聲隨機路面輪廓。若是車速為定值，那么譜密度為常數O4乃2G/(。，。于是路面輪廓可由譜口密度為C的白噪聲通過一

20、積分器產生。由下式表示：xt=4c,其中w(t)為單位白噪聲。圖隨機路面輸入模型當采納C級路面時，G/5o)=256xl()Y,路面幅度轉變時域圖見圖。圖2.4C級路面幅度轉變時域圖仿真車型的選?。ê洗髮W）本文采納的車型為福特Focus,此車型1/4懸架參數如下表所示:表福特Focus懸架參數數值表簧載質量M2非簧載質量Ml彈簧剛度Ks輪胎剛度Kt阻尼器系數c340kg40kg17000N/m190000N/m1400Ns/m二自由度被動懸架Simulink模型的成立依照上述所成立的二自由度四分之一車被動懸架的數學模型和微分方程，可在Matlab中成立二自由度四分之一車被動懸架Simulin

21、k模型將上述二自由度四分之一車被動懸架Simulink模型運行仿真，取得車身垂直振動加速度、輪胎動載荷和懸架動擾度的曲線如圖、圖、圖所示：依照仿真曲線，可得出車身垂直振動加速度、輪胎動載荷和懸架動擾度的峰值如表所示：圖加速度曲線圖懸架動擾度曲線表車身垂直振動加速度、輪胎動載荷和懸架動擾度的峰值加速度最大值(ms2)懸架動擾度最大值(m)輪胎動載荷最大值(N)134100二自由度半主動懸架Simulink模型的成立依照上述所成立的二自由度四分之一車半主動懸架的數學模型和微分方程,可在Matlab中成立二自由度四分之一車半主動懸架Simulink模型圖二自由度半主動懸架Simulink模型龍哥庫塔

22、算法求解微分方程二自由度四分之一車半主動懸架系統的運動學微分方程是非線性的。在對非線性微分方程進行仿真計算時，采納傳統的歐拉方式已不能知足精度要求，本文中采納龍格-庫塔算法求解微分方程。龍格-庫塔(Runge-Kutta)方式是一種在工程上應用普遍的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取方法對誤差進行抑制，因此其實現原理也較復雜。該算法是構建在數學支持的基礎之上的，幸免了高階導數的計算，能夠取得較高階的數值解。該方式是由龍格和庫塔利用f(x,y)在某些點出的值的線性組合，構造出一類計算公式，使其按泰勒級數公式展開后與初值問題的解的泰勒展開比較，有盡可能多的項完全相同，即間接應用了泰勒展開的思想

23、，幸免了高階導數計算的困難。關于一階精度的歐拉公式有：Yn+l=Yn+h*KlK1二f(Xn,Yn)當用點Xn處的斜率近似值K1與右端點Xn+1處的斜率K2的算術平均值作為平均斜率K*的近似值，那么就會取得二階精度的改良歐拉公式：Yn+l=Yn+h*(K1+K2)/2K1二f(Xn,Yn)K2=f(Xn+h,Yn+h*Kl)依次類推，若是在區間Xn,Xn+1內多預估幾個點上的斜率值KI、K2、Km,并用他們的加權平均數作為平均斜率K*的近似值，顯然能構造出具有很高精度的高階計算公式。經數學推導、求解，能夠得出四階龍格一庫塔公式，也確實是在工程中應用廣泛的四階經典龍格一庫塔算法：Yn+l=Yn+

24、h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6Kl=f(Xn,Yn)K2=f(Xn+h/2,Yn+h*Kl/2)K3=f(Xn+h/2,Yn+h*K2/2)K4=f(Xn+h,Yn+h*K3)在Matlab中，已經有編寫好的龍格一庫塔算法函數，當求解微分方程時，只需挪用ode45函數即可。仿真模型中的代數環問題在運算機仿真中，當輸入信號直接取決于輸出信號，同時輸出信號也直接取決于輸入信號時，由于數字計算的時序性，而顯現的由于沒有輸入無法計算輸出,沒有輸出也無法取得輸入的死鎖環”，稱之為代數環。代數環對控制系統仿真的龐大危害，代數環嚴峻阻礙了了系統的仿真精度和運行速度，某些情形下還會嚴峻降低仿真的精度或取得錯誤的仿真結果。代數環是一種特殊的反饋回路，它的特殊的地方就在于除輸入直接決定于輸出外,輸出還直接決定于輸入,在Simulink中，這種“直接”是由直通模塊致使的。在一個閉合途徑中，只有