1、三次函數專題一、定義：定義1、形如y ax3 bx2 cx d(a 0)的函數，稱為“三次函數”(從函數解析式的結構上命名)。定義2、三次函數的導數 y 3ax2 2bx c(a 0),把 4b2 12ac叫做三次函數 導函數的判別式。由于三次函數的導函數是二次函數，而二次函數是高中數學中的重要內容，所以三次函數的問題，已經成為高考命題的一個新的熱點和亮點。二、三次函數圖象與性質的探究：1、單調性。 23.2一般地，當b 3ac 0時,三次函數y ax bx cx d(a 0)在R上是單倜函數；當b2 3ac 0時,三次函數y ax3 bx2 cx d(a 0)在R上有三個單調區間。(根據a

2、0,a 0兩種不同情況進行分類討論)2、對稱中心。三次函數f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)是關于點對稱，且對稱中心為點bb ( ，f ()，此點的橫坐標是其導函數極值點的橫坐標。3a3a證明：設函數= 口/+瓦J +匚工+，(口聲0)的對稱中心為(m, n)。按向量一邢，一刈將函數的圖象平移，則所得函數尸二(x +帆)一內是奇函數，所以天+溺+/(一X+訊)-2科=。化簡得：(兔咖+5)1+口. +&陽°母=0度恒成立，故筋曰+占=0 ,得A m 3aJT*n-am +3掰 +二腕+d = J（一 丁）。3a所以，函數1y = 口工,4無戶4匚* 4dg聲0)的對

3、稱中心是(可見，y=f(x)圖象的對稱中心在導函數y=/1W 的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點。3、三次方程根的問題。(1)當ndb2 12ac 0時，由于不等式f (x) 0恒成立，函數是單調遞增的，所以原 方程僅有一個實根。2(2)=4b 12ac 0時，由于萬程f (x) 0有兩個不同的實根X,x2,不妨設Xi x2,可知，(x1，f(x1)為函數的極大值點，(x2, f (x2)為極小值點，且函數y f (x)在(，x1)和(x2,)上單調遞增，在 x1，x2上單調遞減。此時：若f(x1)f(x2) 0,即函數y f(x)極大值點和極小值點在 x軸同側，圖象均

4、與 x軸 只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根。若f(x1)f(x2) 0,即函數y f(x)極大值點與極小值點在 x軸異側，圖象與x軸必 有三個交點，所以原方程有三個不等實根。 若f(x1)f(x2) 0,即f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為 0,所以，原方程有三個 實根，其中兩個相等。4、極值點問題。若函數f(x)在點x0的附近恒有f(x。)玳x)(或f(x0)4(x),則稱函數f(x)在點x0處取得極大值(或極小值)，稱點x0為極大值點(或極小值點)。當 0時，三次函數y f x在 ，上的極值點要么有兩個。當 0時，三次函數y f x在上不存在極值點5、最值問題。黑F 若工口曰

5、牌,九，且函數 _/(k)=鼻/+5/+"+dgr0% 開 e刑,，g)二 o， 則：fmaxX f m , f Xo , f n ；/同=血口(/(血八司)，/。三、例題講解：例1、(函數的單調區間、極值及函數與方程的)已知函數f (x) =x3-3ax2+3x+1。(I )設a=2,求f (x)的單調期間；(n)設f (x)在區間(2,3)中至少有一個極值點，求 a的取值范圍。解：( I )當“二 2時.$5 = -5/+3汗+1,丁5) = 35 - 2 +力)02 一如).當木三(yo,2 - 時/工冷A 0, 丁 在(-8,2-J5)單調喈加工當尺三(N J3.2 +時,O

6、) <0- /(注)在(2 J5,2+J5)單調該少；當K三0+J1+2)時> 0> /(#)在£2 +，1 + 00)單調增加；綜上，/(a)的單調噌區間是(-嗎2 - /)和(2十#, 9 r幻的單調濫區間是(2- J5,2 + J5).3D 力=用(工一口y+ 1斗。”./I-/主0時，(公主0' /(G為電函數，曲,。>無極值點當1 日,VO時，埔=。有兩個根芯二 口 2 一 】，啊=q 4 44” 1 ,由題意知，2 <(a y/a2 1 < 3 或 2式4 + Jdc- <3,555 5一a式無解，式的解為43,因此a的取

7、值范圍是4 3.2例2、已知函數f(x)?兩足f(x) x3 f ' - x2 x C (其中C為常數).3(1)求函數f(x)的單調區間;(2)若方程f(x) 0有且只有兩個不等的實數根，求常數 C ;1(3)在(2)的條件下，若f 1 3圖形的面積.2 c解：(1)由 f (x) x3 f' - x2 x C ,3打2 22 2取 x ,得 f ' 3 2f ' 333. f (x) x3 x2 x C .1從而 f '(x) 3x2 2x 1 3 x x30,求函數f(x)的圖象與x軸圍成的封閉2- 2得 f '(x) 3x2 2f'

8、; - x 1 . 322_21,解之，得f C 1,333列表如下:x1(,3)131( 3,1)1(1,)f '(x)十0一0十f(x)/有極大值有極小值/. f(x)的單調遞增區間是(1-)和(1,) ; f(x)的單調遞減區間是31-,1) 332(2)由(1)知，f (x)極大值f!=C2C;333327_32_f (x) 極小值 f(1) 13121c 1 C .方程f(x) 0有且只有兩個不等的實數根，等價于f(x)極大值0或f (x)極小值0 .8分:常數c AC 15(3)由(2)知，f (x) x x x 一或 f(x) x x x 1 . 271_i 一 29而

9、f 一 0 所以 f (x) x x x 1 .3令 f(x) X3X2x 1 0,得(x 1)2(x 1) 0 , Xi1, X2 1.1所求封閉圖形的面積1 x3 x2 x 1 dx -x4 lx3 -lx2 x -.143213例3、(恒成立問題)已知函數f(x) 1x3 1x2 cx d有極值.32(1)求c的取值范圍；1c(2)若f(x)在x 2處取得極值，且當x 0時，f(x) 1d2 2d包成立，求d的6取值范圍.1 Q 102解：(1) . f(x) - x x cx d , . f (x) x x c,32要使f (x)有極值，則方程f (x)2x x c 0有兩個實數解,1

10、從而= 1 4c 0 , . c -. 4(2) ; f(x)在x 2處取得極值，f (2) 4 2c 0 , c 2 .,-1 31 2 . f(x) -x -x 2x d , 32f (x) x2 x 2 (x 2)(x 1), 當x (, 1時，f (x) 0,函數單調遞增,當x ( 1,2時，f (x) 0,函數單調遞減.x 0時，f (x)在x1處取得最大值7 d,6x 0 時，f(x) 1d2 2d 包成立，6712一 7 d 1d2 2d ,即(d 7)(d 1) 0 ,66d 7或d 1,即d的取值范圍是(，7)U(1,).32例4、(信息遷移題)對于三次函數f(x) ax b

11、x cx d(a 0)。定義：(1) f(x)的導數f (x)=(也叫f(x)一階導數)的導數f (x)為f(x)的二階導數，若方程f (x) 0有實數解x。，則稱點(x0，f(x0)為函數y f(x)的“拐點”；定義：(2)設xo為常數，若定義在R上的函數y f(x)對于定義域內的一切實數 x,都有f(x0 x) f(x0 x) 2 Mxo)恒成立，則函數y f(x)的圖象關于點(x0, f(X0)對稱。32(1)己知f(x) x 3x 2x 2 , 求函數f(x)的“拐點” A的坐標；(2)檢驗(1)中的函數f(x)的圖象是否關于“拐點” A對稱；32(3)對于任意的三次函數f(x) ax

12、 bx cx d(a 0)寫出一個有關“拐點”的結論(不必證明)。2 cC/、CC解：(1)依題意，得：f(x) 3x 6x2, f (x)6x6 o由 f (x) 0 ,即 6x 6 0O A x 1,又 f(1)2,3 2. f(x) x 3x 2x 2的“拐點”坐標是(1,2)0由(1)知“拐點”坐標是(1,2)。而f(1 x) f (1 x)=(1 x)3 3(1 x)2 2(1 x) 2 (1 x)3 3(1 x)2 2(1 x) 2=2 6x2 6 6x2 4 4 4=2f(1)由定義知：f Xx3 3x2 2x 2關于點(1,2)對稱。(3) 一般地，三次函數fx3 . 2 ，a

13、x bx cx d (a0)的“拐點”是,f ()3a 3a ，它就是f(x)的對稱中心。或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心;任何一個三次函數平移后可以是奇函數例5、(與線性規劃的交匯問題)設函數/(戈)=比/+ B戶1w及口 0),其中/(0)=3 ,/(工)是八工)的導函數.(1)若/(-1)=f0 = -36,丁t» =。，求函數(界)的解析式;(2)若匚=5，函數7M的兩個極值點為 小%滿足-1 玉1應U 2 .設日=/4必勿+23+10,試求實數總的取值范圍解：(I )據題意，/一' 1 ' '由尸(T) = 7'(

14、3)= 一先知尸=1是二次函數6圖象的對稱軸 又/口，故凡-3g5是方程/0的兩根.設小)加"3)(” 5)，將尸7 = -36代入得耀=3至+弧-5)*”45 比較系數得：一故/=/-3爐-45升3為所求.另解：,32一 第 十二二一36a -1；273 + 6"匯二 一368 二一3據題意得I?% + 3" °解得I" 一" 故/=#71-453為所求.則.一-+ bx2 - dx+ 3又公后是方程丁”口的兩根，且-1玉1/<-0>0/W<oo">CIt7 >0%-生- 6 % 口 3&qu

15、ot; 2b- 6 <0 6c -h 2Zj 3 > 0則點9小)的可行區域如圖二見可二+心+1尸兒的幾何意義為點 謖間與點盤(二-D的距離的平方.觀察圖形知點，A到直線力十加T =l的距離的平方 必為1的最小值3x3-2x1-t5)2 _ 1FT7 H故總的取值范圍是例6: (1)已知函數f(x)=x3-x淇圖像記為曲線 C.(i) 求函數f(x)的單調區間；(ii) 證明：若對于任意非零實數xi ,曲線C與其在點Pi(xi,f(xi)處的切線交于另一點P2 (x2,f(x2),曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3,f(x3),線段Pi P2, P2 P3與曲線C所圍成

16、封閉圖形的面積分別記為S,S2,則凡為定值；(2)對于一般的三次函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),請給出類似于(I)(ii)的正確命題，并予以證明。(i)有 f(x)=x3-x 得 f '(x)=3x2-i=3(x- 3 )(x+ 3-).33,3.3)和(二，)時，f'(x)>0;當 x ( , -)時，f '(x)<0。因此g)的單幅遞怖網為-爭和(亨，儂調謝區同為(ii)曲線C在點Pi處的切線方程為y=(3xi2-i)(x-xi)+xi3-xi,即 y=(3xi2-i)x-2 xi3.由"得 x3-x=(3xi2-1)x-2 x

17、i3即(x-xi) 2(x+2xi)=0, 解得 x=xi 或 x=-2xi,故 x2=-2xi.$= | (P -謁# 十相也 三1-2x；x)進而有 “Z. 27 4用x2代替xi,重復上述計算過程，可得x3= -2x2和S2=x2。4又x2=-2xi。，所以并咄6x：0，因此有包工。4 is2i6(2)記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d (a 0)的圖像為曲線 C',類似于(I)(ii)的正確命題為： b右對于任息不等于的頭數xi,曲線C'與其在點Pi(xi,g(xi)處的切線交于力一點F2(x2,3ag(x2),曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3 (x3,

18、g(x3),線段PiP2、P2P3與曲線C'所圍成封閉圖形的面積分別記為 s, S2,則-S為定值。S2證明如下：, ., ,_, , , , , , ( . e )，,.因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線y=g(x)的對稱中心, 3小以 3國“平移至標原點.18而不妨設式=皿'+ ,且所產Or解法類W I Mii)的計算可用4可謁，S1n專與牙”。,(i)同解法(2)記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 。)的圖像為曲線 C',類似于(i) (ii)的正確命題為：若 b對于任息不等于的實數xi,曲線C'與其在點Pi(xi,g(xi)處的切線交于另

19、一點P2(x2,3ag(x2),曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3 (x3, g(x3),線段PiP2、P2P3與曲線c所圍成封閉圖形的面積分別記為 s, S2,則3為定值。S2證明如下:由氟工）仝渥+49*或肛305a3威血,所以曲蛆C在直"門烈餐）處的切展方程為y = （34+2g 4金）* -賽3：-福中士由；達謁：；:1-2詞.后+9工）”口Li叫工x工所或案e -之 一2i.即工=-蟲 -2i| t 故Lt（3ox -t b *5（ - J ax: + b/一（3ai + 2%徹）s + 2n£ + $*： & = j用X2代替X1,重復上述計算過程

20、，可得 X3= b 2x和S2 （3ax2 3b） a212a3p bb又 x2=2Xi且 Xia3a_4_ _4所以S2%(6axi 2b)16(3 axi b)12a312a3故皇S2116三次函數作業1、設FS）是函數f（x）的導函數，y=f 5）的圖象如圖所示,則y = f（x）的圖象最有可能是2、函數”""'"丁 一,KAI在閉區間3, 0上的最大值、最小值分別是（）B. 1, - 17C. 3, 17D. 9, 193、設函數 f(x) 6x3 3(a 2)x2 2ax.(1)若f(x)的兩個極值點為xi, x2,且xx2 1 ,求實數a的值；

21、(2)是否存在實數a,使得£(*)是(，)上的單調函數若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.考查函數利用導數處理函數極值單調性等知識a4、設定函數f(x) -x3 bx2 cx d(af0),且方程f (x) 9x 0的兩個根分別為1, 34。(I)當a=3且曲線y f (x)過原點時，求f (x)的解析式；(n )若f在(，)無極值點，求a的取值范圍。33 2ax x 1(x R)5、已知函數f (x) =2，其中a>0.(I)若a=1,求曲線y=f (x)在點(2, f (2)處的切線方程；1 1(n)若在區間2 2上，f (x) >0恒成立，求a的取值范圍.326

22、、已知函數f(x) ax x bx (其中常數a, bCR), g(x) f(x) f(x)是奇函數.(I)求f (x)的表達式；(n)討論g(x)的單調性，并求g(x)在區間1,2上的最大值與最小值.7、已知在函數f(x) mx3 x的圖象上以N (1, n)為切點的切線的傾斜角為 一,4(1)求m、n的值；(2)是否存在最小的正整數k,使不等式f(x) k 1992對于x 1,3恒成立求出最小的正整數k,若不存在說明理由； 一一一 1 一(3)求證：|f(sinx) f (cosx) | 2f (t )(x R,t 0).28、已知函數 f (x) (x a) (a-b) (a,b R,a

23、<b)。(I)當a=1, b=2時，求曲線y f (x)在點(2, f(x)處的切線方程。(H)設Xi,X2是f (x)的兩個極值點，X3是f (x)的一個零點，且X3 Xi , X3 X21 329、已知函數f (x) =-x x aX b的圖像在點 P (0,f(0)處的切線萬程為 y=3X-2 3(I )求實數a,b的值；(n )設g (x) =f(x)+ 1Tl是2,上的增函數。 x 1(i)求實數m的最大值；(ii)當m取最大值時，是否存在點 Q,使得過點Q的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等若存在，求出點 Q的坐標；若不存在，說明理由。

24、作業：1、解：根據圖象特征，不妨設f(x)是三次函數。則尸二/(工)的圖象給出了如下信息：|心口 ；導方程兩根是 0, 2, (f(x)對稱中心的木K坐標是 1);在(0, 2)上，"在(卬1, 0)或(2, +°° )上，'口)。由和性質1可排除B、D;由和性質1確定選Co2、解：函數的導方程是 力一3二口，兩根為1和1,由性質2得：，強=儂力一分八一1)，/，/)=一1乙故選Co23、【解析】f (X) 18X 6(a 2)X 2axx2 2a 1(1)由已知有f(X) f (x2) 0,從而12 18 ，所以a 9；由36(a 2)2 4 18 2a

25、 36(a2 4) 0所以不存在實數a，使得f（x）是R上的單調函數.4、答案 解=由= / c+h 得 尸（2=+ 2 bjc + -c因為 尸工方一9,二at2十25K十匚-= 0的兩個根分別為工.褊=02&+c - 6 -= 0=m時,又由（*）式得：S3+c十1 一解得3 =-3又因為曲虢r = fG）運用點，所以3 = 0故，a) = 1-3/+12萬（II）由二aa所以工）+為？十£十"在C-0° J +g）內無極值點”等價于"=就：+口3式+ Cm0在-8, +«）內回成立”由(+) 2i = 9 - Stz.c - 41

26、a H又 A =(2b)1 - 4ac - 9(a-l)fa-9)得bjl,9即"的取值范圍1露x3 -x2 125、【解析】（I）解：當a=1所以曲線y=f （x）在點（2,時，f (x) =2, f (2) =3; f (x)=3x 3x , f (2)=6.f (2)處的切線方程為y-3=6 (x-2),即y=6x-9.一.Qov2Q vQv/ov八一一一(n)斛：f (x)=3ax3x3x(axD.令f (x)=0,解得x=0 或 x= a以下分兩種情況討論:,110 a 2,貝I 1若a 2 ,當x變化時，f' (x), f (x)的變化情況如卜表：X1- ,0 2

27、00 2f' (x)+0-f(x)Z極大值1 5 af( -)0,R 0,2 即8x1時，f (x) >0f (-) 0,5a 0.當2 2等價于28,解不等式組得-5<a<5.因此0 a 2.0 1 1若a>2,則a 2 .當x變化時，f' (x),f (x)的變化情況如卜表：X1 一,0200 a- a1 1 一，一 a 2f' (x)+0-0+f(x)Z極大值極小值Zf(-1)>0,>0,281 11 C/1c金x/ of()>0，1- 9 2 >0. a 5當2 2時，f(x) >0等價于a即 2a，解不等式

28、組得 2或2 .因此2<a<5綜合(1)和(2),可知a的取值范圍為0<a<5.6、Wi < I > 由題意得了'00=3口/ +2x+5.因此虱工)=fX)+f'(*>=6 +*+1)T* +伊+ ?).XT司月為函數是奇麗數*所以官(T)= -式0即對任意實15*方爪一#+ (% +1)(j)" +34 2)-工)+ 5 = -ax1 -+ (3fl + 1)廠+(& + 2).v + b.-L '. ?7 - 1 - 02二。一解 * £? = - -.'?-O. ,-flAj-. Y

29、I,11 J-.1-' '1J/(x) = -yr' r十2工所以g幻二一十2,令g'00=0,解得演t;是減函JRi當一戶8=瓜則當H < 域H >£ 0.從而g。)布I匕間(4又.7I+X)<0吐/") X,從而僅冷在區間一內,應上是增旃數.由前面討論如，g(工)在區間2卜的量大值與最小值只能在K = L8上時取得,而g(i)=以事)=半比=:因此后在區間Dm上的最大值為,最小值為g(2) = 77、解：(1) f(x)3mx21,f (1) tan 41, m(2)令 f(x)2(x23,n手(x21.32 r)0,則

30、 x2在1 , 3中， 2 4，x 1，TBtf(x)0, f (x)在此區間為增函數22x 一時，f (x) 0, f (x)在此區間為減函數.2 一 “*)在*1-處取得極大值.,3時f(x) 0,f (x)在此區間為增函數，f (x)在x=3處取得極大值.分一2比較f ()和f的大小得：f (x)max f (3)2(無理由f(3)最大，扣3分)f (x) k 1992, k 2007,即存在 k=20072 , . 33 、 一(3) | f(sinx) f (cosx) | | (sin x cos x) (sin x31 3 2.232、2一 |sinx cosx|sin (x )3 343112 21121而 2f(t -) 2(t -)-(t不)-2.2(-)2t