1、全等三角形經典培優題型含答案解析全等三角形的提高拓展訓練全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊 上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等.尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對 應邊.全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對 應角.有公共邊的，公共邊常是對應邊.有公共角的，公共角常是對應角.有對頂角的，對頂角常是對應角.（6）兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊（或最大角）是對應邊（或 對應角），一對最短邊（或最小角）是對應邊（或對應角）.要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵

2、.全等三角形的判定方法：（1）邊角邊定理（弘S：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.（2）角邊角定理（月弘）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.（3）邊邊邊定理（SSQ：三邊對應相等的兩個三角形全等.（4）角角邊定理（A4S：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全 等.（5）斜邊、直角邊定理（處）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全 等.全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直 等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線.拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大 小關系.而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、

3、分相等是幾何證明的基礎.全等三角形證明經典題1已知：AB=4, AC=2, D是BC中點，AD是整數，求AD2 已知：BODE, NB=NE, NOND, F 是 CD 中點，求證：Z1=Z2證：ZB=2ZD=180° ,求證：AE=AD+BE6如圖，四邊形ABCD中，AB/7DC, BE、CE分別平分NABC、NBCD,且點E在 AD±o 求證：BC=AB+DC。7 已知：AB=CD, NA=ND,求證：ZB=ZC8 P是NBAC平分線AD上一點，AOAB,求證：PC- PB<AC-AB11AlhBOAB. （6分）如圖,9已知，E是AB中點， AF二BD, BD=

4、5, AC=7,求 DCD 10. （5分）如圖，已 除AD"BC, /必3的平 分線與N煙的平分線相交于22的連線交月尸于求證：月回中，49是NO6的平分線，且月后月華以，求證：ZO2Z512 （10分）如圖:AE、BC交于點M, F點在AM上，BE/7CF, BE=CFo求證：AM是aABC的中線。13已知：如圖，止AC, BDAC, CEAB,垂足分別為D、E, BD、6F相交于點尸，求證：密CD.B EA14 在月6。中，ZACB = 90°, AC=BC,直線MN經過點C,且AOJ.MN于 D, 3EJ_MN于E （1）當直線MN繞點。旋轉到圖1的位置時，求證：M

5、DCACEB； ®DE = AD+BEx當直線MN繞點。旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.15 如圖所示，已知 AEJ_AB, AF±AC, AE=AB, AF=AC。求證：(1) EC二 (2) EC±BFEABB16.如圖，已知ACBD, EA、EB分姆平分NCAB不 ZDBA, CD過點E,則AB與AC+BD相等嗎？請說f理由17.如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，ZACB = 90° , AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線， 交AB于點E,交AD于點F,求證：Z ADC=NBDE.全等三角形

6、B證明經典（答案）1. 延長AD到E,使DE二AD, 則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE二AO2 在三角形 ABE 中，AB-BE<AE<AB+BEB|J：10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數,則AD=52證明：連接BF和EF。因為 BC=ED,CF=DF, NBCF二NEDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。所以 BF二EF, ZCBF=ZDEFo連接BEo在三角形BEF中，BF=EF。所以 NEBF二NBEF。乂因為 NABONAED。所以 NABE二 NAEB。所以AB=AEo在三角形ABF和三角形AEF中，AB二A

7、E, BF=EF,N ABF = ZABE+ Z EBF = N AEB+ NBEF = ZAEFo 所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以 NBAF=NEAF (Z1=Z2)O3證明：過E點，作EGAC,交AD延長線于G則 NDEG=NDCA, ZDGE=Z2乂 ； CD二DEA ZIADCJGDE (AAS).*.EG=ACVEF/ABAZDFE=Z1VZ1=Z2 NDFE二 NDGEAEF=EG，EF 二 AC4證明：在AC上截取AE二AB,連接ED：AD 平分NBACAZEAD=ZBADXVAE=AB, AD 二 ADA ZIAEDJABD (SAS) NAED二NB, DE二DBV

8、AC=AB+BDAC=AE+CE，CERE NC二NEDC*.* NAED=NC+NEDC=2NCAZB=2ZC5證明：在AE上取F,使EF=EB,連接CF因為CE_LAB所以 NCEB=NCEF=90°因為 EB = EF, CE=CE,所以CEBZ/CEF所以 NB=NCFE因為NB+ND = 180° , ZCFE+ZCFA=180°所以 ND=NCFA因為AC平分NBAD所以 NDAC=NFAC乂因為ACAC所以ADCgAAFC (SAS)所以AD=AF所以 AE=AF+FE=AD+BE6證明：在BC上截取BF二BA,連接EF.ZABE=ZFBE, BE=

9、BE,則 ZABE A FBE (SAS), NEFB二NA;AB 平行于 CD,則:NA+ND= 180° ;XZEFB+ZEFC=180°，則NEFOND;乂NFCE=NDCE, CE=CE,故 /FCEg A DCE （AAS）, FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB+CD.7證明：設線段AB, CD所在的直線交于E,（當ADVBCIT寸，E點是射線BA, CD的 交點，當AD>BC時，E點是射線AB, DC的交點）。則：AED是等腰三角形。所以：AE=DE 而 AB二CD 所以：BEXE （等量加等量，或等量減等量） 所以：ABEC是等腰三角形 所以：角B

10、二角C.AC中間，因為AB較短）8作B關于AD的對稱點B S因為AD是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在 因為 PCPB' +B 'C,PC-PB' <B 'C,而 B'OAC-AB'=AC-AB,所以 PC-PB<AC-AB 9作AG/7BD交DE延長線于G AGE全等BDEAOBD 二 5AGFsCDFAF=AG=5 所以 DC=CF=2 10證明: 做BE的延長線，與AP相交于F點, .PA/BCAZPAB+ZCBA=180° ,乂，AE, BE均為NPAB和NCBA的角平分線 r.ZEAB+ZEBA=90

11、° /. ZAEB=90° , EAB 為直角三角形 在三角形ABF中，AE±BF,且AE為NFAB的角平分線 三角形FAB為等腰三角形，AB二AF, BE=EF 在三角形DEF與三角形BEC中， NEBONDFE,且 BE=EF, NDEF=NCEB,三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF二BC ，AB 二 AF = AD+DF = AD+BC11證明：在AB上找點E,使AE=ACVAE=AC, ZEAD=ZCAD, AD二AD二ADE也ADC。DE=CD, ZAED=ZCVAB=AC+CD, Z. DE=CD=AB-AC=AB-AE=BENB 二 NED

12、BNONB+NEDB = 2NB 12證明:VBE II CFAZE=ZCFM, ZEBM=ZFCMVBE=CFAABEMACFMA AM AABC的中線.13證明：因為AB=AC,所以 NEBONDCB因為 BD±AC, CE±AB所以 NBEC二 NCDBBCXB (公共邊)則有 三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD14(1)證明：V ZACB=90° ,(2) A ZACD+ZBCE=90° ,(3)而 ADJ_MN 于 D, BE_LMN 于 E,(4) JNADC二NCEB=90° , NBCE+NCBE=90° ,

13、(5)，NACD二NCBE.(6)在 RtZADC 和 Rt/XCEB 中，NADC=NCEBNACD=NCBEAC=CB,(7) ARtAADCRtACEB (AAS),(8) /.AD=CE, DC=BE,(9)，DE=DC+CE=BE+AD；(2)不成立，證明：在ADC 和ACEB 中，NADC=NCEB=900 NACD=NCBE AC=CB,AAADCACEB (AAS),AAD=CE, DC=BE,/.DE=CE-CD=AD-BE；15(1)證明；因為AE垂直AB(2)所以角EAB二角EAC+角CAB=90度（3）因為AF垂直AC（4）所以角CAF二角CAB+角BAF=90度（5）

14、所以角EAO角BAF（6）因為 AE=AB AF=AC（7）所以三角形EAC和三角形FAB全等（8）所以 EOBF（9）角 ECA二角 F（10）延長FB與EC的延長線交于點G（11）因為角ECA二角F（已證）（12）所以角G二角CAF（13）因為角CAF=90度（14）所以EC垂直BF16在AB上取點N，使得AX=ACZCAE=ZEAN ,AE為公共邊，所以三角形CAE全等三角形EAN 所以 NANE 二 NACE 乂 AC平行BD所以 NACE+NBDE = 180而 NANE+NENB = 180所以 NENB 二 NBDEZNBE=ZEBNBE為公共邊，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD二B所以 AB=AX+BX=AC+BD17證明：作