1、2020屆江蘇省高三年級第二次階段性質量檢測數學試題一、填空題1.設集合 A 1,x , B 2,3,4，若 A B 4 ,則 x 【答案】4【解析】由A B 4 ,所以4 A,即可求解，得到答案.【詳解】由題意，集合A 1,x , B 2,3,4 ,因為A B 4 ,所以4 A,故x 4.故答案為4.【點睛】本題主要考查了利用集合的運算求解參數問題，其中解答中熟記集合交集的概念，得到4 A是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于容易題1 3i -，一,2 ,已知復數 Z ,則復數 z的虛部為 .1 i【答案】21 3i【解析】 先由復數的除法運算，化簡 z ,再由共軻復數的概念

2、，即可得出結果1 i【詳解】因為z1 3i1 i1 3i 1 i 1 4i 31 i 1 i 2所以其共軻復數為z 1 2i，因此其虛部為：2故答案為：2本題主要考查求復數的共軻復數，熟記共軻復數的概念，以及復數的除法運算法則即可, 屬于基礎題型.f x3 .函數°0gl x1的7E義域TE .:21【答案】0,2【解析】 根據函數解析式，列出不等式求解，即可得出結果【詳解】由題意，可得:log 1 x 12x 0log 1 x 1即函數f10gl x 1的定義域為10，2故答案為:0，2【點睛】本題主要考查求具體函數的定義域,只需求出使解析式有意義的自變量的范圍即可,于基礎題型.a

3、4 .設a R,則 a 2”是直線y ax 2與直線y -x 1垂直”的 條件.4【答案】充分不必要條件【解析】先由兩直線垂直求出 a 2 ,再根據充分條件與必要條件的概念，即可判斷出結果.【詳解】若直線y ax 2與直線y ax 1垂直，4a則a 1 ,解得：a 2 ；4所以由a 2”能推出直線y ax 2與直線y 旦x 1垂直”，4a .由直線y ax 2與直線y ax 1垂直”不能推出a 2”；4a即a 2是直線y ax 2與直線y x 1垂直”的充分不必要條件.4故答案為：充分不必要條件【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可

4、，屬于?？碱}型.25 .在平面直角坐標系 xOy中，拋物線x 2py(p 0)上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3,則焦點到準線的距離為 【答案】4【解析】試題分析：因為，拋物線 x2 2py(p 0)上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3,即1+=3,所以，y=2,焦點到準線的距離為 p=4.【考點】拋物線的定義，拋物線的幾何性質。點評：簡單題，對于拋物線 x2 2py(p 0)上的點(x, v),其到焦點的距離為x+-p.6 .設曲線f(x) ax lnx的圖象在點(i, f(1)處的切線斜率為2,則實數a的值為【答案】3【解析】首先對函數求導，根據函數圖象在某個點處的切線的斜率就是函數在該點處

5、的導數，從而將相應的量代入，求得結果.【詳解】1 函數 f(x) ax lnx,可得 f'(x) a -,x所以切線的斜率為k f'(1) a 1 2,解得a 3,故答案是3.【點睛】該題考查的是有關函數圖象在某個點處的切線的斜率問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，根據題意，得到參數所滿足的等量關系，求得結果，屬于簡單題目x 2y 4 07,已知實數x,y滿足條件 3x y 3 0 ,則z 2x y的最大值為.x 0【答案】7【解析】 先由約束條件作出可行域，化目標函數z 2x y為y 2x z,則目標函數表示直線y 2x z在y軸截距，結合圖像，即可得出結果 .【詳解】x

6、2y 4 0由約束條件 3x y 3 0作出可行域如下，x 0目標函數z 2x y可化為y 2x z,因此目標函數z表示直線y 2x z在y軸截距，由圖像可得：當直線 y 2x z過點a時，在y軸截距最大，即z取得最大值x2y40x 2由 , 得 ，即A 2,3 ,3x y 3 0y 3因此 Zmax 2 2 3 7.故答案為：7第10頁共19頁【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃問題，只需由約束條件作出可行域，根據目標函數的幾何意義，結合圖像即可求解，屬于?？碱}型.228 .在平面直角坐標系 xOy中，已知焦距為 4的雙曲線 三、1a 0,b 0的右a b準線與它的兩條漸近線分別相交于點P,Q

7、,其焦點為Fi,F2,則四邊形PFQF2的面積的最大值為【解析】先由焦距為4,得c 2,由雙曲線方程，得到漸近線方程為y bx,右準a線方程為x2,不妨設P為右準線與漸近線2by x的交點，根據萬程求出點 p a坐標，同理，得到 Q點坐標，再由題意得到四邊形PFQF2的面積為S 2S pff2 ,根2L 1 a ab0,b 0 焦距為 4,即 2c 4, c 2 ,據三角形面積公式，以及基本不等式，即可求出結果2因為雙曲線今a又雙曲線2 y_ b21 a 0,b 0的漸近線方程為y右準線方程為: 不妨設P為右準線與漸近線 y bx的交點，aby - x22, aa aba at由 2解得：P，

8、同理Q,一a22 222x2因此四邊形PFQF2的面積為11ab999S 2SpF1F22 - IF1F2I yp2 - 4 -2-2ab a2b2c24,當且僅當a -時，等號成立.故答案為：4【點睛】本題主要考查求雙曲線中四邊形面積的最值問題,熟記雙曲線的簡單性質即可,屬于常AB ,則3 為,所以應考題型.039 .在直角三角形ABC中， C 90 , AB 2, AC 1 ,右AD 一2CD CB .【答案】9 .2【解 析】 試 題 分 析： 住CD CB (CB BD) CB CB BD CB 3 1 .3 cos300 3 -2 2填9.2【考點】1、平面向量的數量積的應用;10

9、.若點P cos ,sin在直線y 2x上，則cos 2 一 的值為3【答案0 210【解析】 先由題意，得到sin 2cos ，即tan = - 2 ,再由cos 2 cos 2 cos sin 2 sin,根據二倍角公式，以及同角三角函數333基本關系，通過弦化切，即可求出結果.【詳解】因為點P cos ,sin 在直線y 2x上，所以 sin 2cos ,因此 tan = - 2 ,所以cos 2一 cos2cossin 22cos sin.2 sin,.3 sin cos33322 cos.2 sin,3sincos1 tan2,3 tan14 2.33 4.32 sin22 cos.

10、2 sin2 cos2(tan21)tan2110510故答案為：10【點睛】本題主要考查三角恒等變換求值的問題,熟記同角三角函數基本關系，以及二倍角公式,兩角和的余弦公式等即可，屬于?？碱}型11 .已知an , bn均為等比數列，其前n項和分別為 S,Tn,若對任意的n N*,總Sn32n 1生b4Tn【解析】設等比數列an , bn的公比分別為p,q,根據題意，得到a1S1b1T1a2b1b2S2T2aa2a3S3T3a bp 2 ,進而可得出結果q 4設等比數列an , bn的公比分別為p,q,貝U anaipn 1, bnhqn 1,因為Sn，Tn分別為anbn的前n項和，且STna1

11、Si.一 一1biTiaibiaia2s23 日0ai(1p) 3 ，即一b1132T256(iq)52ai a?a3s3iai(ipp )b1b2b3T33b,(iqq2)ai h，即 5 5P 3 3q2,23 3p 3p i q qia b3解得：p 2 ,所以a4曳t-81b4hq3 64 8q 4- - i故答案為：-8【點睛】本題主考查等比數列的基本量的運算,熟記等比數列的通項公式與求和公式即可,屬于?？碱}型.C3-3x x , x 0ii2.已知函數f x 1Vl,若函數y f x a f x a 有52M,x 02個零點，則實數 a的取值范圍是 .3【答案】i a V或a 2.

12、2【解析】 先用導數的方法，判斷出函數 f x在0,的單調性，求出極值，在根據 指數單調性判斷 x 0時，函數f x的單調性；作出函數大致圖像；將函數iy f x a f(x) - a的零點個數問題，轉化為 y f x與y a或i ，、一，一，人一，y，4r 一，一，Eya-的交點個數來處理，結合函數圖像，即可得出結果 2【詳解】_3_3x x ,x 0因為f x |,2x|,x 03一一 2當 x 0時，f x 3x x ,則 f x 3 3x ,第7頁共i9頁2由 f x 3 3x22x 1 ；由 f x 3 3x所以函數f x3x0,1上單調遞增，在1,上單調遞減;此時有極大值2;當x

13、0時,2Hx顯然單調遞減;f(x)a 0 得 fx a 或 fx0,則第13頁共19頁因為函數f(x)1，一，一 a有5個零點,2所以y由圖像可得:只需1 ，即1 a 22且或a 22.故答案為:2.本題主要考查由函數零點個數求參數,熟記導數的方法判斷函數單調性,利用轉化與化歸思想，以及數形結合的方法判斷函數零點個數即可，屬于常考題型13.在平面直角坐標系 xOy中，已知點A 2,2 , E、F為圓C : xuuumCP , muuu uiur上的兩動點，且 EF 2V3 ,若圓C上存在點P,使得AE AF m的取值范圍為【答案】2 J,2 1第28頁共19頁【解析】取EF中點為M ，連接AM

14、，得到aEuuurAFuuuu2 AM，由uuir uuur uuuAE AF mCP,muuur0得到m AM ,再由E、F為圓C : x 1上的兩動點，且 EF 2，3,得到CM 1,設M (x, y),求出點m的軌跡，再由點與圓位置關系，求出范圍，即可求出結果取EF中點為M ,連接AM,皿 uur uuur uuur 則 AE AF 2 AM，又圓C : x2uuur uuu uuuy 14上存在點P,使得AE AF mCP,muuuu uuu所以 2AM mCP ，因此uuur2 AMuuu m CPuuur2m ,即 m AM因為E、F為圓C :y 1 2 4上的兩動點，且EF 2向

15、，uuurAM的取值0,則 Jx 1 2y 1 21,即uuuu2所以AM表示圓x 1 y uuur因此 AC 1 AM AC 1 ,所以 |CM| J22 EF 1,設 M(x, y),22x 1 y 11即為動點M的軌跡;211上的點與定點A 2,2之間的距離,_ uuuu _即，2 1 AMV2 1.即 2 1 m 61.故答案為：.2 1,2 1【點睛】本題主要考查平面向量與圓的方程的綜合，熟記平面向量基本定理，點與圓位置關系，會求圓上的點到定點的距離即可，屬于?？碱}型14.已知 ABC的面積為 J2 1,且滿足 二一1 ,則邊AC的最小值為tan A tan B【答案】2.3【解析】

16、 將正切化成正余弦，化簡得出b, c和sinA之間的關系，結合面積公式即可得出b2關于A的函數式，再根據 A的范圍計算b的最小值，即可得 AC的最小值.【詳解】43cos A - cos B- 1, - 4 3 1, 4cosAsinB+3cosBsinA = sinAsinB ,tan A tan Bsin A sin B3cosAsinB+3cosBsinA = sinAsinB cosAsinB ,即 3sin (A+B) = sinB ( sinA cosA),即 3sinC = sinB ( sinA cosA),b(sin A cos A) - 3c= b (sinA cosA),

17、 即 c -3，1 , . “b2(sin A cosA)sin A ABC 的面積 S= 一 bcsinA=26b26(sin2A cosAsinAb212(1 - sin2A - cos2A) = J2 1 ,12(/2 1)b2= 1 sin 2A cos2A12(.2 1)l, ''' 3c= b (sinAcosA) > 0,且 02sin 2A -4v Av Tt,，一 A , 3 2A+ - 9 , 當 2A+ 3即 A = 5-時，b2 取得最小值 44444282 1) = 12,121 b的最小值為2 J3 ,即AC最小值為2J3 .故答案為2

18、J3.本題考查了同角三角函數關系、正弦定理、面積公式、兩角和的正弦公式、以及正弦型 三角函數的性質，屬于中檔題、解答題15.(本小題滿分13分，(I)小問7分，(n)小問6分)已知函數f (x)1=sin2x-(I)求f (x)的最小周期和最小值,(n)將函數f (x)的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數g (x)的圖像.當x時，求g (x)的彳I(域.【答案】(I)貫弟的最小正周期為 凡 最小值為丁，(n)【解析】試題分析：(I)首先用降哥公式將函數 必二個心7%幅工的解析式化為Rx) = AMnk 邙) B的形式，從而就可求出 心X的最小周期和最小值，(n)由題目所

19、給變換及(I)的化簡結果求出函數鼠x)的表達式，再由* *左三并結合正弦函數的圖象即可求出其值域.試題解析：(1)li x :I - ci、”：、因此日的最小正周期為河，最小值為丁.(2)由條件可知:嚴1" M故/2在區間厲町上的值域是1 2 , 2 J【考點】1.三角恒等變換，2.正弦函數的圖象及性質，3.三角函數圖象變換.1,-3AB 717.求:16.已知 ABC 中，tan A 一，tan B 一45（1）角C的大小;（2） AABC中最小邊的邊長._ 3【答案】（1）c （2）72【解析】（1）由內角和定理，以及誘導公式化簡tanC,將tanA與tanB代入值代入求出tan

20、C的值，即可確定出 C的度數;（2）由tanA與tanB的大小判斷出BC為最小邊,由tanA的值，利用同角三角函數間基本關系求出sinA的值,利用正弦定理求出BC的長.解：tanCtantan AtanA tanB1 tanAtanB1號（2）因為tanA tanB ,所以最小角為一 -1 一又因為tanA 一 ,所以sinA4.17,17c ABsinA sinC '所以ac sinAsinC、萬、.22此題考查了正弦定理,同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵.17.從金山區走出去的陳馳博士，在自然一可持續性雜志上發表的論文中指出：地球正在

21、變綠，中國通過植樹造林和提高農業效率，在其中起到了主導地位.已知某種樹木的高度f t （單位：米）與生長年限t （單位：年，t N）滿足如下的邏輯斯蒂函數:(1)一6；r,其中e為自然對數的底數.設該樹栽下的時刻為 0. ln5 1.61 0.5t 21 e需要經過多少年，該樹的高度才能超過5米？（精確到個位）(2)在第幾年內，該樹長高最快?【答案】(1) 8年(2)第四年內或第五年內【解析】(1)解不等式f (t) >5,即可(2)利用作差法求出f (t) - f (t - 1)的表達式，判斷函數的單調性和最值即可.6解：令f t-e 5,解得t 41 e即需要經過8年，該樹的高度才能

22、超過 5米；21n5 7.2,(2)當 t N 時，f t f t60.5t 2ec 0.5t 20.5/6e e 10.5t 2/0.5t 2.51 e設 e 0.5t2則 u 0,e0.56 e 1 u11 u 1e0.50.5e u0.51 .eu上式當且僅當e0.5u1一時,ug u取得最大值此時，u0.25e ,即0.5te20.25e ，解得t 4.5.由于要求t為正整數，故樹木長高最快的t可能值為4或5,f 463 31 e 0.51 e0.56f 33 677，f 51 e0.5所以，該樹在第四年內或第五年內長高最快.考查學本題主要考查函數的應用問題，利用作差法判斷函數的最值是

23、解決本題的關鍵.生的計算能力.2218.已知橢圓 L 1,過點D( 1,0)的直線l： y k(x 1)與橢圓 交于m 1 mM、N兩點(m點在n點的上方)，與y軸交于點E.(1)當 m1且k 1時，求點M、N的坐標;(2)當 muuuu2時，設EMuuruuruuurDM , ENDN ,求證:為定值，并求出該值;(3)當 m3時，點D和點關于坐標原點對稱，若4MNF的內切圓面積等于1849求直線l的方程.4【答案】(1) M(0, 1), N ( 231、 c鼻)；(2) 3為定值 3(3)l: y (x 1)【解析】(1)代值聯立方程組.解得即可求出,(2)聯立方程，利用韋達定理，以及向

24、量的知識可得從而Xix11X2X2一,化 1簡整理即可證明,(3)假設存在直線l: y=k (x+1)滿足題意，則 AMNF的內切圓的半徑為據韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，即可求出k的值解：(1)當m=k= 1時，聯立3, 13rr4即 M(0, 1), N ( 313)；2x(2)當m=2時聯立 3y2y2k xy 得：3k26k2x3k2M(x1,y1), N (x2, y2),uuuv EMuuuv DM，uuiv ENx2x1x2=26k23k2 2x1x2xx26k23k2 23k2 63k2 2uuuvDN ,且點E的橫坐標為0,x2 1.從而Xix1 1X2X2 1=2x

25、1x22x1 x2 x1 x2 13k2 63k2 26k2 3k2為定值3；(3)當m=3時,橢圓642 3,21，假設存在直線l : y k x 13滿足題意，則 MNF的內切圓的半徑為 3Y2,又D 1,0、F 1,0為橢圓 的焦點，故4MNF7的周長為8,從而SMNF13.28 27消去 y,得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12貝U S MNF2DFl|yiy k xiX2故 k x x24x1x228849由(2),得k22228k24k2122882424k2 34k2349化簡，得17k4k2 18故存在直線l : y x 1滿足題意.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其

26、性質、直線與橢圓相交弦長問題、韋達定理、三角形面積計算公式、考查了推理能力與計算能力，屬于難題.19.設函數 f (x) 2ex kx 2 .(1)討論f(x)的單調性；(2)若存在正數a,使得當0 x a時，|f(x)| 2x,求實數k的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)(,0 U(4,)【解析】分析：函數求導得f x2ex k,討論k,由導數的正負求單調區間即可；(2)若k 2,分析函數可知f x 0, f x 2x即2ex k 2x 2 0,設xxg x 2e k 2 x 2 , g x 2e k 2 ,討論 0 k 2 和 k 0 兩種情況，知k 0成立，0 k 2時不成立，k 2

27、時，存在x0,使得當x 0,x0時，f x 0, xf x2x可化為 f x 2x,即 2e k 2 x 2 0,設h x2ex k 2 x 2,分析2 k 4和k 4求解即可.詳解：(1) f x 2ex k.當k 0時，f x 0, f x上 ,單調遞增.kk當k 0時，右f x 0,則x ln-,右f x 0,則x ln ;所以f x在 22k .kln,單調遞增，在,ln - 上單調遞減.22(2)若k 2, f x在0,內單調遞增，當x 0時，f x f 00,所以_一xf xf x , f x 2x即 2ek 2x2 0.設 g x2ex k 2 x 2 , g x 2ex k 2

28、 .若k0,x0時，gx g 00,gx在0,單調遞增所以當x 0時,g x g 00,故存在正數a ,使得當0 xa時,2x.k 2k 2右0 k 2,當0 x In時，g x 0, g x在0,ln單倜遞減，因22為g 00,所以g x 0.故不存在正數a ,使得當0 x a時，f x 2x.k右k 2, f x在0,ln -單倜遞減，因為f 00,所以存在x0,使得當x 0,%2時，f x 0, f x 2x可化為 f x 2x,即 2exk 2 x 2 0.設 hx2exk 2 x 2, h x 2ex k 2 .若2 k 4,則x0時，hx 0,hx在0,單調遞增，又h 00 ,所以

29、x 0時，h x0.故不存在正數a,使得當0 x a時，f x 2x.當k 4時，當0 x In k_2時，h x 0 , h x在0,ln -2單調遞減，又 22k 2 一h 00,所以h x0.故存在a min x0,ln,使得當0 x a時，2f x 2x.綜上，實數k的取值范圍為,04,點睛：點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題:(1)根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題;(2)若o f(x) 0就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值,最終轉化為 f(x)min 0f(：t)EE 。，若 f (x) 0r(2 (0 恒成立O V Q f (x)max 0 ；(3)若

30、 f (x) g(x)恒成立，可轉化為f(x)min g(x)max (需在同一處*N恒成立，Sn為其刖n項的和,取得最值).20.數列an滿足an 1 2an an 1對任意的n 2,n且 a44 , S836.bnai3 2n 1 2an ,(1)求數列an的通項an ；(2)數列 bn 滿足 bia2n 1b2a2n 3bka2n 1 2k其中k 1,2,*,n, n N .證明：數列 bn為等比數列；八"am 3ap*求集合m, p - ,m, p N .bmbp【答案】()an n,n N ； (2)過程見詳解；6,8【解析】(1)先由題意，得到數列an是等差數列，設公差為d ,根據題中條件，求出首項與公差，進而可求出通項公式;bna13 2n 1 2an 化為(2)根據(1)的結果，將 b1a2n 1 b2a2n 3bk a2 n 1 2kb 2n 1b2(2n 3)bn 3 2n 1 2n ,得到b(2n 3) b2 2n 5n 14bn 13 21 * 2n 2 ( n 2,n N ),兩式作差整理，得到bnbn 13 2n 2,進而可求出bn 2n ;判斷出結果;先由am 3aL得到2pm 3p ,即Cn an ,判斷出Cn Cn 1，得到m p ,設 bmbpmbn3tt p m(m, p,t