1、2013年高考理科數學試題解析(課標I )1至2頁，第n卷3本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷 至4頁。全卷滿分150分。考試時間120分鐘。注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷 1至3頁，第n卷3至5頁。2 .答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。4 .考試結束，將本試題和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。1、已知集合 A= x2-2x>0, B= x| #vxv3

2、，則 ()A、AAB=B、AU B=R C B? AD、A? B【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運算及集合間關系，是容易題.【解析】A=(- ,0)U(2,+ 工.AUB=R)選 B.2、若復數z滿足(34i)z=|4+3i| ,則z的虛部為(),、4-、4A、一 4(B) -(C) 4(D)-5 5【命題意圖】本題主要考查復數的概念、運算及復數模的計算，是容易題【解析】由題知z = |4 3i|=A43 (3 4i) =3 4i故z的虛部為4 ,故選D.3 4i (3 4i)(3 4i)5 553、為了解某地區的中小學生視力情況，擬從該地區的中小學生中抽取部分學生進行調查，事

3、 先已了解到該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力 情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A、簡單隨機抽樣B、按性別分層抽樣C、按學段分層抽樣D、系統抽樣【命題意圖】本題主要考查分層抽樣方法，是容易題【解析】因該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣 方法是按學段分層抽樣，故選 C.224、已知雙曲線C ： I 4a b1 (a 0,b 0)的離心率為1A. y x B . y41-x 3C.yD.y【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質，是簡單題【解析】由題知,C的漸近線方c . 55 c2a2b2b2 1 b

4、1a 萬，即丁/.丁4' ;二25、運行如下程序框圖，如果輸入的 t 1,3,則輸出s屬于A.-3,4 B .-5,2 C .-4,3 D .-2,5【命題意圖】本題主要考查程序框圖及分段函數值域求法，是簡單題【解析】有題意知，當t 1,1)時，s 3t 3,3),當t 1,3時，s4t t2 3,4,，輸出s屬于-3,4,故選A.6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為A、甯cm33B、咪cm331372 兀 3C、一-cm33D、2048 兀8cm,7【命題意圖】本題

5、主要考查球的截面圓性質、球的體積公式，是容易題.【解析】設球的半徑為R,則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4,球心到截面圓的距離為R-2,則R2 (R2)2 42,解得R=5, 球的體積為500兀3 注工一cm ,故選A.37、設等差數列an的前n項和為Sn, Sm12, Sm =0,Sm 1=3,貝U m=()A、3【命題意圖】B、4C、5D、6本題主要考查等差數列的前n項和公式及通項公式， 考查方程思想，是容易題.【解析】有題意知 Sm = m(a1 am)=0,a1=_ am = _ ( Sm-Sm1) =-2,2am 1一Sm1-Sm =3，公差 d = am 1m=5,故選 C.8

6、、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.16 8 B .8 8C.16 16 D.8 16【命題意圖】本題主要考查簡單組合體的三視圖及簡單組合體體積公式，是中檔題.【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4,上邊放一個長為 4寬為2高為2長方體，故其體積為12-22 4 4 2 2 =16 8 ,故選 A.9、設m為正整數，(x y)2 m展開式的二項式系數的最大值為a ,(x y)2m 1展開式的二項式F(3,0),過點F的直線交橢圓于 A、B兩點。若 AB()x2 y2c X2 y2 ”c、27+w=1D、w+9 = 1是中檔題 【解析】設A(xh y) Bd

7、, y2),貝U X1 x2 =2 , yi y2 =-2,2222過江1至在12222a ba b得(Xi X2)(Xi %) (y1 丫2)(必 y2) a2b20,yX1yl =X2b2(x1x2)b2°0112!2L 二 又 k 二 =_2 / = 2，人 kAB = ) = c，a (My?)a312/=；,又 9=c2=a2222X得b =9, a =18, 橢圓萬程為 一182y- 1 ,故選D. 9x 2x,x11、已知函數f (x) =ln(x 1),x0 ,若| f (x) | > ax ,則a的取值范圍是0系數的最大值為b ,若13 a =7b ,則m =

8、()A、5B、6C、7D、8【命題意圖】本題主要考查二項式系數最大值及組合數公式，考查方程思想，是容易題【解析】由題知 a=C2mm, b=C2m11,13C2im=7Cmm11,即13 (2m),=7 (2m 1),m!m! (m 1)!m!解得m=6,故選B.x2 y210、已知橢圓 1+b2= 1(a>b>0)的右焦點為的中點坐標為(1, 1),則E的方程為A、余。1B、親=145 3636 27【命題意圖】本題主要考查橢圓中點弦的問題,A.(,0 B.(,1 C.-2,1 D .-2,0【命題意圖】本題主要考查函數不等式恒成立求參數范圍問題的解法，是難題。【解析】| f(x

9、)|=x2 2x, x ln(x 1),x0，由 | f (x) | > ax 得, 0x 0X2 2x且axx 0ln(x 1) ax,x 0_由 2可得a x 2 ,則a >-2,排除A, B ,x 2x ax當a=1時，易證ln(x 1) x對x 0恒成立，故a=1不適合，排除 C,故選D.12、設 AnBnCn的三邊長分別為 an,bn,Cn, AnBnCn的面積為 Sn , n=1,2,3，右 b1 >C1, b1+c1 = 2a1, an+1 = an, bn+1 =Cn + anbn+ an2, ci+1 =2，則()A、&為遞減數列B、&為遞增

10、數列C、S2n-1為遞增數列，Sn為遞減數列D、&n-1為遞減數列，&n為遞增數列【命題意圖】【解析】B第II卷本卷包括必考題和選考題兩個部分。第(13)題-第(21)題為必考題，每個考生都必須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據要求作答。二.填空題：本大題共四小題，每小題5分。13、已知兩個單位向量 a, b的夾角為60°, c= ta+(1t)b,若bc=0,則t=.【命題意圖】本題主要考查平面向量的數量積，是容易題2 11. 一【解析】bgc=b?ta (1 t)b=ta?b (1 t)b2=-t 1 t=1 1=0,解得 t = 2.222 11

11、4、若數列an的前n項和為Sn= - an -,則數列an的通項公式是an=.3 3【命題意圖】 本題主要考查等比數列定義、通項公式及數列第 n項與其前n項和的關系，是容易題.2 1【斛析】當n=1時，a1 = S1 =-a1 一，解得a1=1,3 3八 212122-當 n>2 時，瑪=&Sn1=；7 an-(-an 1")=_ an鼻an 1 ,即 an =2an1 ,333333，an是首項為1,公比為一2的等比數列，an=( 2)n1.15、設當x=0時，函數f(x)=sinx 2cosx取得最大值，則 cos 0 =【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、

12、誘導公式、及簡單三角函數的最值問題, 是難題.【解析】: f(x) = sinx 2cosx=2,5、sin x cosx)5令cos2.5貝U f (x) =、5(sin xcossin cosx) = . 5sin(x),=2k, k z,即 x =2k 一22,k z時，f (x)取最大值，此時-)=sin =全 25=2k ,k z, cos =cos(2k22216、若函數f (x)=(1 x )(x ax b)的圖像關于直線 x=2對稱，則f(x)的最大值是【命題意圖】本題主要考查函數的對稱性及利用導數求函數最值，是難題【解析】由f(x)圖像關于直線x = 2對稱，則0=f( 1)

13、 f( 3)=1 ( 3)2( 3)2 3a b,0=f(1) f( 5)=1 ( 5)2( 5)2 5a b,解得 a=8, b=15,f(x) = (1 x2)(x2 8x 15),2232 f (x)= 2x(x 8x 15) (1 x )(2 x 8)= 4(x 6x 7x 2)=4(x 2)( x 2.5)(x 2 J5)當 xe(8, 2 75)U( 2,2 8)時，f (x) >0,當 xC( 2 75, -2) U( 2 痣,+ 8)時，f (x)<0, f(x)在(8,2 J5)單調遞增，在(2 J5,2)單調遞減，在(2, 2 J5)單調遞增，在(2 J5, +

14、8)單調遞減，故當x= 2 J5和x= 2 J5時取極大值，f( 2.5) = f( 25)=16.三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17、(本小題滿分12分)如圖，在 ABC, / ABC= 90°, AB=/3 , BC=1, 曲 AB®一點，/ BPC= 90°.1若PB=£,求PA；(2)若/APB= 150 °,求 tan/PBA【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角和與差公式，是容易 題.【解析】(I)由已知得， / PBC=60o ,PBA=3CO,在 PBA中，由余弦定理得01-1 c 7

15、_7PA2 = 3 - 2 V3 cos30o =,，PA=-；4242(n )設/ pba= ,由已知得，pb= sin ，在 pba中，由正弦定理得，, 3sin150o一嗎，化簡得，73 cossin(30 )4sin18、tan =3 ,tan PBA=344(本小題滿分12分)如圖，三棱柱 ABC-ABiCi 中，CA=CB AB=A Ai , /BAAi =60°.(I )證明 ABXAiC；（n）若平面 ABC，平面AAiBiB, AB=CB=2求直線 【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質及線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題 .【

16、解析】（I ）取A即點E,連結CE A1B , A1E ,. AB=AA,BAA,=60°,BAA,是正三角形，AiC與平面BBiCiC所成角的正弦值。l A1E XAB, CA=CBCE±AB,. CE A1E=E,AEJ±面 CEA1, -AB± AC ；(n)由(I )知 EC!AB, EA1 1AB,又面 ABCL面 ABB1A，面 AB6 面 ABB1A =AB)EC±面 ABB1A1 , EC± EA1,urnuuuEA, EC, EA兩兩相互垂直，以 E為坐標原點,EA的方向為x軸正方向，|EA|為單位長度，建立如圖所示

17、空間直角坐標系O xyz,有題設知 A(1,0,0),Ai (0,V3 ,0),C(0,0,uuiuV3 ),B( 1,0,0), 則 BC = ( 1,0 ,6）,能=款=（-1,0, 73）,uuirAC=(0, J3, V3),設n=（x, y,z）是平面CBB1C1的法向量,uiurn?BC 0 H x . 3z 0則 uuur ，即,可取 n = (y3 ,1,-1n?BB1 0 x V3y 0uuur cos n, ACuuir一n?AC V10uuur,|n|AC| 5，直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為,10512分19、（本小題滿分12分）一批產品需要進行質量檢驗，

18、檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢3這4件產品中優質品的件數記為 no如果n=3,再從這批產品中任取 4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n=4,再從這批產品中任取 1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗。假設這批產品的優質品率為 50%,即取出的產品是優質品的概率都為，且各件產品是否 為優質品相互獨立(1)求這批產品通過檢驗的概率；(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需白費用記為 X(單位：元)，求X的分布列及數學期望。【命題意圖】【解析】設第一次取出的 4件產品中恰有3件優質品為事

19、件 A,第一次取出的4件產品中全 為優質品為事件 B,第二次取出的4件產品都是優質品為事件 C,第二次取出的1件產品是優質 品為事件D,這批產品通過檢驗為事件 E,根據題意有E=(AB)U(CD)且AB與CD互斥，3.6分641 1一=，2 43 1 211 41 4 1 .P(E)=P(AB)+P(CD尸P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)C；(q)2 - (-)4 + (-)4 -(n) X的可能取值為 400,500,800 ,并且3, 1 x 3 11 x 4 1113/1、3P(X=400)=1-C4 () () = , P(X=500)= , P(X=800)=C4 ()X的

20、分布列為X 400500800P1116J1(1)410分EX=400X 11+500 X +800X 1 =506.2512 分16164(20)(本小題滿分12分)已知圓M : (x 1)2 y2 1,圓N:(x 1)2 y2 9 ,動圓P與M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.(I )求C的方程；(n) l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A, B兩點，當圓P的 半徑最長時，求|AB|.【命題意圖】【解析】由已知得圓 M的圓心為M (-1 , 0),半徑n=1,圓N的圓心為N (1,0),半徑r2 =3.設動圓P的圓心為P (x, y),半徑為R.(I) 圓 P 與圓

21、M 外切且與圓 N 內切，|PM|+|PN|= (R r1) (r2 R) = r1 r2 =4,由橢圓的定義可知，曲線C是以M,皿左右焦點，場半軸長為2,短半軸長為73的22橢圓(左頂點除外)，其方程為上 工1(x2).43(n)對于曲線 Ch 任意一點 P (x, y),由于 |PM|-|PN|= 2R 2<2, /. R< 2, 當且僅當圓P的圓心、為(2, 0)時，R=2.當圓P的半徑最長時,其方程為(x 2)2 y2 4,當l的傾斜角為900時，則l與y軸重合，可得|AB|= 273.IQPI R當l的傾斜角不為900時，由產 收口 l不平行x軸，設l與x軸的交點為Q,則

22、1Q'=-,|QM | ri可求得Q (-4, 0) , .設l ： y k(x 4),由l于圓Mf目切得3kL 1,解得k . ,1 k2422當k =時，將y x yF2代入y 1(x2)并整理得7x2 8x 8 0 ,解4443得42 二 4 76正,/. |AB|= 1TIXi 18 x2l=y當k = 2時，由圖形的對稱性可知4|AB|二187綜上，|AB|= 18 或|AB|= 2 3. 7(21)(本小題滿分共12分)已知函數f(x) = x2 ax b , g(x)=ex(cx d),若曲線y f(x)和曲線y g(x)都過點P(0, 2),且在點P處有相同的切線 y

23、4x 2(I)求 a , b, c , d 的值(n)若x> 2時，f (x) < kg(x),求k的取值范圍。【命題意圖】本題主要考查利用導數的幾何意義求曲線的切線、函數單調性與導數的關系、 函數最值，考查運算求解能力及應用意識，是中檔題.【解析】(I)由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4,g (0) 4,而 f (x)=2x b , g (x) = ex(cx d c), . a=4, b=2, c=2, d =2；4 分(n)由(l)知，f (x) x2 4x 2, g(x) 2ex(x 1),設函數 F(x) = kg(x) f(x)=2kex(x 1)

24、x2 4x 2 (x 2),F(x) = 2kex(x 2) 2x 4 = 2(x 2)(kex 1),有題設可得F(0) >0,即k 1 ,(1)若1 k e2 ,則一2Vxi w 0, .當 x令 F (x) =0 得，x1= ink, x2 = -2,(2,x1)時，F(x)v0,當 x (x,)時，F(x)>0,即F(x)在(2,x1)單調遞減，在(x1，)單調遞增，故F(x)在x = x1取最小值F(x1),一 一 一一22一一而 F (%) = 2必2x14x12=x1(x12) >0, .當 x 2 時，F(x) >0,即 f (x) & kg(x

25、)恒成立,22x 2(2)右 k e ,則 F (x) =2e (x 2)(e e ), .當 x 2 時，F (x) >0, F(x)在(一2,+ 8)單調遞增，而 F( 2) =0,當 x>2 時，F(x) > 0,即 f (x) w kg(x)恒成立,若 k e2,貝U F( 2)= 2ke2 2= 2e2(k e2) <0, .當x > 2時，f (x) & kg(x)不可能恒成立,綜上所述，k的取值范圍為1,e2.請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B

26、鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。(22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講 如圖直線AB為圓的切線，切點為 B,點C在圓上，/ ABC的角平4線BE交圓于點 E, DB垂直BE交圓于 D。(I)證明：DB=DQ BCF外接圓的半徑。(n)設圓的半徑為 1, BCV3 ,延長CE交AB于點F,【命題意圖】本題主要考查幾何選講的有關知識，是容易題 【解析】(I)連結DE,交BCI點G.由弦切角定理得，/ ABF=Z BCE ',/ ABE=Z CBE ，/ CBE4 BCE, BE=CE又 DB, BE,D既直徑，/ DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC.3(n)由(I)知，/ CDE之 BDE, BD=DQ 故 DG> BC勺中垂線，BG=一2設D計點為 O,連結 BO,貝U/ BOG=60o , / ABE=Z BCE=Z CBE=30o ,.