1、平面向量、函數(shù)圖象、方程曲線專題復(fù)習(xí)要點(diǎn)趙春祥 河北省特級(jí)教師由于平面向量的坐標(biāo)表示與代數(shù)聯(lián)系十分緊密，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，因而它經(jīng)常與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何綜合在一起命題，這既考查了平面向量的有關(guān)知識(shí)，也考查了其它內(nèi)容，體現(xiàn)了考試大綱中強(qiáng)調(diào)的“在知識(shí)交匯處命題”的原則函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，圖象中有非常多的信息量，比如定義域、值域、最值、奇偶性、單調(diào)性、周期性等圖象信息選擇題可以全面地考查考生的綜合素質(zhì)和能力，這樣的題目解法靈活，是拉開(kāi)分?jǐn)?shù)檔次的一種重要題型，也是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)以基礎(chǔ)層次或中檔難度的試題考查函數(shù)圖象，特別是圖象的平移、對(duì)稱及伸縮

2、變換，通過(guò)對(duì)圖象的識(shí)別來(lái)考查函數(shù)的性質(zhì)，在每年的高考試題中，以中等難度題型設(shè)計(jì)新穎的試題考查函數(shù)的性態(tài)即函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖象的對(duì)稱性等，近幾年，以組合形式一題多角度考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考題正成為新的熱點(diǎn)；“曲線”與“方程”是同一對(duì)象(即點(diǎn)的軌跡)的兩種表現(xiàn)形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數(shù)形式它們?cè)诒憩F(xiàn)和研究軌跡的性質(zhì)時(shí)，各有所長(zhǎng)幾何形式具有直觀形象的優(yōu)點(diǎn)，代數(shù)形式具有便于運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)，因而具有操作程序化的長(zhǎng)處具體解題時(shí)最好將二者結(jié)合起來(lái)，這就是 “數(shù)形結(jié)合”思想所考查的數(shù)學(xué)思想方法除數(shù)形結(jié)合外，函數(shù)與方程、等件轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想；向量法、參數(shù)法、消元法、配

3、方法、待定系數(shù)法、換元法等數(shù)學(xué)方法；以及利用韋達(dá)定理、判別式、曲線系方程、坐標(biāo)法等技巧在考卷中都充分得到體現(xiàn)AOBC例1 (2007年全國(guó)高考陜西卷理科試題)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且| = | = 1，| = 若=(，R)，則的值為解一(坐標(biāo)法1)：由題意，建立以為x軸、為y軸的平面直角坐標(biāo)系，AOBC| = | = 1，| = ，= (，)，= (0，1)，= (，0)，又=，(，0) =，)，1)，= 6解二(坐標(biāo)法2)：由題意，建立以為x軸的平面直角坐標(biāo)系，| = | = 1，| =，= (1，0)，= (，) = (，)，= (，) = (3，)，又=，(

4、3，) =，0)，)，AOBCxy= 6解三(代數(shù)法1)：與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，·= 0，即·() = 0，·= 0，= 0，即=又= 3由、解得，= 4，= 2，= 6解四(代數(shù)法2)：與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，又| = | = 1，·= |·|=，·= |·|= 0，由=兩邊平方得：12 =，由=兩邊平方得：12=，AOBCA B 、聯(lián)立求得= 4，= 2，= 6解五(幾何法)：如左圖，過(guò)C點(diǎn)作兩條直線與直線、平行，分別交、的延長(zhǎng)線于、兩點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，且=，=，=由題意知，=，在Rt中

5、，|= 2，|= 4，| = | = 1，=，=，即= 4，= 2或=4，=2 (不合題意，舍去)，= 6評(píng)析：解法一和解法二展示的是，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將平面向量的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)問(wèn)題，這也是將形化數(shù)的典型實(shí)例解法三和解法四告訴我們，兩向量的數(shù)量積是高考的核心內(nèi)容，即為高考的一個(gè)命題點(diǎn)，填空題、選擇題重點(diǎn)考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律等問(wèn)題，向量的數(shù)量積運(yùn)算常用來(lái)解決有關(guān)角度、摸長(zhǎng)等相關(guān)問(wèn)題在解法五中，通過(guò)深入挖掘平面向量的幾何意義，化數(shù)為形，數(shù)形結(jié)合，也就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找

6、解題思路例2 (2007年全國(guó)高考福建卷理科試題)如圖，已知點(diǎn)，PBQMFOAxy直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值；解：由得：， ，即，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：由已知，得則：過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即例3(2007年全國(guó)高考湖南卷理科試題)函數(shù)=的圖象和函數(shù)=的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A4 B3 C2 D1xy321解：在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出y =與y =的簡(jiǎn)圖，由圖直觀看出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)由個(gè)，故選B評(píng)析：函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”

7、的直觀性，它是探求解題途徑，獲得解題方法的重要工具，通過(guò)借助于圖形的直觀性，以圖助算，就可避免煩瑣的計(jì)算例4(2007年全國(guó)高考卷一理科試題)設(shè)a1，函數(shù)=在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之差為，則a等于( )A B2 ··1-11··1xy C D4解：由a1，則=在區(qū)間a，2a上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為，最小值為= 1，因此有1=，解得a = 4，故選D評(píng)析：在解題時(shí)，一定要注意不同的底，對(duì)數(shù)函數(shù)有不同的單調(diào)性函數(shù)最值是函數(shù)的主要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支及實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是基本初等函數(shù)(二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))的最值問(wèn)題，多年來(lái)一直是?？疾凰サ臒狳c(diǎn)內(nèi)容之一解此類考題要以數(shù)形結(jié)合為切入點(diǎn)，化難為易，讓抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化得直觀明白例5(2007年全國(guó)高考北京卷文科試題)如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上求邊所在直線的方程；求矩形外接圓的方程；若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程解：因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為，即由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為，所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，