1、 高階導數的概念高階導數的概念 高階導數的求法舉例高階導數的求法舉例第三節第三節 高階導數高階導數2222,( ),(),.d yddyd fyfxdxdx dxdx 3333,( ),d yd fyfxdxdx 同理二階導數的導數稱為三階導數同理二階導數的導數稱為三階導數. . 記為記為 函數函數 y =(x) 的導數的導數 仍仍 x 是的函數是的函數. 若若 在點在點 x 處仍可導處仍可導, 則稱則稱 在在 x 處的導數為函數處的導數為函數 y =(x) 在在 x 處處的二階導數的二階導數 . 記為記為( )fx( )fx( )fx一、高階導數的概念一、高階導數的概念三階導數的導數稱為四階

2、導數三階導數的導數稱為四階導數. .記為記為44(4)(4)44,( ),d yd fyfxdxdx0()( ) ( )limxfxxfxfxx 即即(1)(1)( )0()( )( )limnnnxfxxfxfxx ()(1)nnyy 定義定義1 一般地一般地,如果函數如果函數 y =(x)的的n-1 階導數仍可導時階導數仍可導時, 則函數則函數 y =(x)的的 n 1階導數的導數稱為函數階導數的導數稱為函數 y =(x)的的n 階階導數導數, 即即( )( ) ,( ),.nnnnnnd y d fyfxdxdx并記為并記為(0)( )( )f xfx 注注1 二階和二階以上的導數為高階

3、導數二階和二階以上的導數為高階導數. .為了方便為了方便, , 記記注注2 求高階導數就是逐階求導數求高階導數就是逐階求導數, 一般可通過從低階導數一般可通過從低階導數找規律找規律, 得到函數的得到函數的n 階導數階導數.二、高階導數求法舉例二、高階導數求法舉例1.1.直接法直接法: :由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導數的定義逐步求高階導數.2 9102, yxx 解解1810yx ( )0(4)nyn 例例1 求函數求函數323526yxxx 的各階導數：的各階導數：18,y 例例2 求函數求函數(ln)yfx 的二階導數：的二階導數：(ln ) (ln ) yfxx 解解(ln )f

4、xx 2 (ln )(ln )( )x fxfx xyx 12 (1) (), ()(1 , ),xxxx 解解( )()(1)(1)nnxnx 例例3 求下列函數的求下列函數的 n 階導數階導數：(1)() (2)(01)xyxryaa (3)ln(1)yx (4) sinyx ( )(1)( )! , ( )0nnnnxnx 特別地特別地2(ln ) (ln )(ln )x fxxfxx 2(ln )(ln )fxfxx 2(2) ()ln , ()ln,xxxxaaaaaa21,(1)yx 1 1yx ，(3)32!,(1)yx (4)43!,(1)yx ( )()lnxnxnaaa (

5、 )1(1)!( )( 1)(1)nnnnyx ( )()xnxee 特別地特別地( )1(1)!(ln )( 1)nnnnxx 特別地特別地(4) (sin)cossin()2xxx (sin)sin(3),2xx (sin)sin()2xx ( )(sin )sin()2nxxn cos()sin(2)22xx ( )(cos )cos()2nxxn 同理可得同理可得【分析】注意對于抽象函數求高階導數【分析】注意對于抽象函數求高階導數, 往采用遞推法往采用遞推法.2( ) ( )fxf x 解解22( ) ( ) ( ) ( )fxf xf xfx24( )2 3 ( )( )3! ( )

6、 ,fxf xfxf x( )1 ( )! ( ) nnfxnf x 故故32 ( )f x2( ) ( )fxf x 例例5 (x)具有任意階導數具有任意階導數, 且且 , 則當則當n 是是( )( ). nfx大于大于2的正整數時的正整數時, 求求(x)的的n 階導數階導數抽象函數求高階導數抽象函數求高階導數 ( )( )dyfxdxf x 解解2222( )( )( )( )d yfx f xfxdxfx 已知已知( ) ( )0, ln ( ), fxf xyf x 存存在在，且且22 .d ydx求求( )( )f xfxe 解解 2( )( )( )( )f xf xfxefxe

7、2( )3( )( )2( )2f xf xfxefxe( )1( ) ( )( 1)(1)!nnnf xfxne 故故( )( ),(0)1f xfxef 設設(x)具有任意階導數具有任意階導數, 且且 , 則求則求( )(0). nf(4)3( )4( )( )3 2( )3 2,.,f xf xfxefxe 所以所以( )1 (0)( 1)(1)!nnnfne 2( ) ( ) ( )2( ),( ).nyf xfxfxfx 足足求求2 ( )2( ),fxfx 解解223( )2( )2 2 ( )( )2 2( )fxfxf x fxfx 2322( )2 2( )2 23( )(

8、)fxfxfx fx342 3!( )fx ( )1:( )2!( ).nnnfxn fx 猜想猜想(1)1121() ,1( )2!( ) 2!(1)( )( ) 2(1)!( ) nnnnnnnnnnfxn fxn nfx fxnfx 時時成成立立 條條件件 ；假假設設 成成立立 對對有有成成立立. .2. 高階導數的運算法則高階導數的運算法則設設 u = u(x), v = v(x)都都 n 階可導階可導, 則則()()()()nnnuvuv (1)()()()(nncucuc (2) 為常數為常數 )(0)(0)(1)(1),.!knn nnkuu vv ck()()()0()nnkn

9、kknkuvc uv (3)其中其中 上述的乘積公式稱為上述的乘積公式稱為萊布尼茲公式萊布尼茲公式.( )sin()2nuxn ( )2,2 ,0(3)nvxvvn 例例6 設設 , , 求求 . .2sinyxx (10)y 解解令令 , 則則2sin,ux vx 由萊布尼茲公式由萊布尼茲公式(10)0(10)(0)1(9)2(8)101010yc uvc u vc u v 210 9sin(10) 10 2 sin(9)2sin(8)2222xxxxx 2sin20cos90sinxxxx 2 2(20,. xyx ey ）設設求求解解 設設22,xuevx則則( )22kkxue 2,v

10、x 2 ,v ( )0kv 代入萊布尼茲公式代入萊布尼茲公式 , 得得(20)202219218220 19220 22222!xxxyexexe 20222(2095)xexx(1, 2 , 20 )k (3 , 20)k 3. .間接法間接法: :利用已知的高階導數公式利用已知的高階導數公式, , 通過四則運算通過四則運算, , 變量代換等變量代換等方法方法, , 求出求出n 階導數階導數. . 常用高階導數公式常用高階導數公式:( )(1)()=ln( 0)xnxnaaaa( )()=xnxee( )(2)(sin)=sin(+)2nnkxkkxn( )(3)(cos)=cos(+)2nnkxkkxn( )(4)()= ( -1)( - +1)nnxnx ( )-1(1)!(5)(ln )=(-1)nnnnxx ( )11!( )=(-1)nnnnxx 21.1ynx 求求函函數數的的 階階導導數數例例721111()2 111yxxx 因因為為 解解( )11!1( 1)( )(0,1,2,)2 (1)(1)nnnnnynxx 得得 ( )-1(1)!(6)(