1、西安理工大學碩士學位論文不確定線性系統優化控制算法研究姓名：余加霞申請學位級別：碩士專業：控制理論與控制工程指導教師：錢富才20070301摘要不確定線性系統優化控制算法研究學科：控制理論與控制工程研究生：余加霞（簽名：金盔旦簋）導師：錢富才教授（簽名：魚襄謝）摘要在對實際控制系統的分析過程中，總有一些未知因素存在，諸如未建模動態、參數不確定性、工作環境的變化、降階及線性化近似等，也包括外部干擾的不確定性。因而，對于大多數實際控制系統，建立精確的數學模型是相當困難的。這必然導致，完全依賴于精確模型的現代控制理論不能被廣泛地應用。基于魯棒控制思想優化控制的出現使得現代控制理論和方法獲得了生機，它

2、架起了現代控制理論與工程應用之間的橋梁。因此，系統的魯棒穩定性分析和最優控制器的設計成為目前控制理論研究的主要課題。同時工程系統的運行通常具有明確的邊界，控制能量一般也有嚴格的限制。因此，約束控制問題便應運而生。當約束條件成為系統實際工作過程中不可忽略的因素時，在其毆計階段必須對系統約束條件做出妥善處理，否則將不可能達到預定目標，甚至引發嚴重的災難。因此本文在介紹線性約束系統和線性不確定性系統優化控制問題的基礎上，系統地研究了具有一般形式的線性約束不確定性系統的鎮定和優化控制問題。線性矩陣不等式（）作為一類特殊的凸多面體集，可以和系統約束條件建立聯系，在約束系統控制器設計中起重要作用，考慮具有

3、初始狀態約束、過程狀態約束和控制約束的線性不確定性系統，將系統約束條件轉化為線性矩陣不等式形式，同時利用保性能控制原理，設計狀態反饋控制器，使系統從給定初始狀態出發，在不違背約束條件下漸近穩定，并且具有約束條件下的最優性能指標。首先，提出線性狀態反饋控制律的存在性條件，利用和魯棒控制理論將控制問題轉化為目標函數為線性二次型函數的優化問題；其次，通過求解該優化問題，可獲得線性狀態反饋律的控制增益，最后，通過測量的系統狀態，以該狀態重新作為初始狀態，再用方法求解新的優化問題，得到下一時刻的控制增益，依次類推，滾動優化，所求出的控制增益隨著時間的變化而不同，從而降低了控制器的保守性，同時很好地解決了

4、外界不確定干擾時系統的魯棒性問題。另外，針對一類具有凸多面體不確定的高速采樣系統，利用參數依賴的泛函，導出了系統具有給定日。性能指標的充分條件，將系統具有最優。性能指標的控制問題轉化為一個具有線性矩陣不等式約束的凸優化問題，這對高速采樣系統的研究具有重要意義。關鍵詞：約束系統，不確定系統，保性能控制，線性矩陣不等式（），滾動優化，優化控制：（：匕。丘§漁壘（：）：，¨：，。？：，：，（，（），。、，：；（）；獨創性聲明秉承祖國優良道德傳統和學校的嚴謹學風鄭重申明：本人所呈交的學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除特別加以標注和致謝的地方外，論文

5、中不包含其他人的研究成果。與我一同工作的同志對本文所論述的工作和成果的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并已致謝。本論文及其相關資料若有不實之處，由本人承擔一切相關責任論文作者簽名：鑫曲里氧卿年月日學位論文使用授權聲明本人名酗砼強在導師的指導下創作完成畢業論文。本人已通過論文的答辯，并已經在西安理工大學申請博士碩士學位。本人作為學位論文著作權擁有者，同意授權西安理工大學擁有學位論文的部分使用權，即：）已獲學位的研究生按學校規定提交印刷版和電子版學位論文，學校可以采用影印、縮印或其他復制手段保存研究生上交的學位論文，可以將學位論文的全部或部分內容編人有關數據庫進行檢索；）為教學和科研目的，學校可

6、以將公開的學位論文或解密后的學位論文作為資料在圖書館、資料室等場所或在校園網上供校內師生閱讀、瀏覽。本人學位論文全部或部分內容的公布（包括刊登）授權西安理工大學研究生部辦理。（保密的學位論文在解密后，適用本授權說明）論文作者簽名：赴盈導師簽名：龜奎型唧年弓月日緒論緒論引言線性系統是控制理論中最簡單和最常用的一類動態系統，是線性系統理論研究的主要對象，也是工程中應用最廣泛的類系統，因為在非線性程度不嚴重的情況下，通過線性化方法，可用線性系統近似非線性系統。線性系統的經典理論形成于二十世紀三、四十年代，到五十年代中期，線性系統控制理論已經發展成熟和完備，并在大量的武器自動控制和工業過程與裝置的自動

7、控制領域中得到了成功的應用。經典線性系統理論的主要研究對象是單輸入單輸出線性確定性系統，具有物理概念清晰，研究思路直觀，方法簡單實用，易于被工程技術人員所掌握和采用等特點。但是，經典的線性系統理論一般難于有效地處理不確定性或受約束的系統，對于系統內部的結構也無法精確描述。二次世界大戰以后，在蓬勃興起的航天技術需求推動下，線性系統理論在二十世紀六十年代開始了從經典理論到現代理論的過渡，卡爾曼把在分析力學中廣為采用的狀態空間描述引入到線性系統控制理論中來，在狀態空間法的基礎上，線性系統理論不論是在研究內容還是研究方法上，又出現了一系列新發展。可以說，線性系統理論是系統與控制理論中研究最為充分，發展

8、最為成熟和應用最為廣泛的一個組成分支。系統與控制理論的其他分支，如最優控制理論、最優估計理論、隨機控制理論、非線性系統理論、大系統理論、魯棒控制理論，都不同程度的受到線性系統理論的概念、方法和結果的影響和推動。以狀態空間法為基礎的現代控制理論自從年代后期創立以來，已得到了迅速的發展，特別是在航空、航天領域取得了令人矚目的成就，并且對自動控制系統的發展起到了積極的推動作用。但隨著科學技術的不斷進步和工作生產的迅速發展，對大型、復雜和不確定性系統實行自動控制的要求不斷提高，使得現代控制理論的局限性日益明顯，這是因為：（）現代控制理論過分依賴被控對象的精確數學模型，而在實際工業對象中，往往很難建立精

9、確的數學模型，即使一些被控對象能夠建立起精確的數學模型，但因其結構過于復雜而難于設計和實現有效的控制，使得在控制器設計階段不得不進行簡化。（）由于生產環境的改變和外部擾動的影響，實際工業過程經常伴隨著非線性、時變性和不確定性。在這種情況下，按理想模型設計的所謂最優控制系統只不過是數學意義上的最優罷了，而對實際工業過程而言失去了最優性，更有甚者會導致控制品質嚴重下降而無法正常生產。（）在現代化復雜工業過程中，為了取得良好的經濟效益和優良的調節品質，往往要求在多變量、多目標和有約束的情況下設計相應的控制系統，而以狀態空間法為基礎的最優控制難以滿足這要求。西安理工大學碩士學位論文在控制問題的解決過程

10、中，對于精確的數學模型或存在精確數學模型的對象或實際過程，人們總是能夠基于相應的控制理論找到理想的控制器或解決方案，尤其是隨著計算理論以及技術的飛速發展，使得上述基于線性理論的控制方案得以驗證和實施。但在實際工業控制領域中，各種工業生產過程、生產設備、運輸系統以及其它眾多的被控對象，它們的動態特性一般都難以用精確的數學模型進行描述，有時即使能獲得被控對象的精確數學模型，但由于過于復雜，利用現有的控制系統設計手段也無法實現，因而不得不迸行簡化：此外，隨著生產過程中工作條件環境變化，控制系統中元器件老化或損壞，被控對象本身的特性也會隨之發生變化，眾多因素導致所建立的數學模型和實際的被控對象不可避免

11、的存在誤差及不確定性。自然地，人們期望有一種控制系統分析和設計方法，能按照已掌握的被控對象的數學模型及關于模型不確定性的某些信息來指導控制系統的分析和設計，使得閉環系統穩定或滿足某種性能指標。這些來自工業實際的因素和要求，使得現代控制理論無法在工業過程中得到有效地應用其結果是在工業過程領域，應用現代控制理論設計的過程控制器的控制效果，往往還不如按經典控制理論設計的調節器好。因此，到目前為止，在工業過程控制中，占統治地位的仍然是調節器。復雜工業過程存在著難于建模、關聯復雜、對象結構與參數時變、干擾與環境不確定、要求與約束多樣性等特點，傳統的優化控制基于對象的精確數學模型，它在工業研：境中并不適用

12、，這已為工業過程的實踐所證實，但是基于優化的控制顯然優于單純調節，問題在于如何以合適的方式將優化結合到動態控制中，形成適應于復雜工業過程的優化控制模式，預測控制的產生正適應了這一要求，因而它很快就在工業過程控制領域內得到了重視和應用。在復雜工業環境下控制中的優化問題與傳統的優化理論并不一致，它的主要特征如下：（）優化問題的性能指標和約束在傳統控制理論中是界限分明的，但在工業環境中，用戶對兩者的區別已經淡化。性能指標的最小化可以理解為小于某個給定值的“軟約束”，而各種約束反過來也可以看作控制必須滿足或盡可能滿足的目標。廣義地說，它們都可看作是優化問題的要求，因此，這類優化問題本質上是多目標的。（

13、）所有要求并不是同樣重要的，它們可以分為以下三類：由于執行機構物理性質和出于安全性考慮的要求，對控制變量存在著各種硬約束，這些約束在整個控制過程中必須得到滿足，否則是不能實現或不允許。為了保證產品質量所提出的要求，如滿足被控對象設定點要求，應盡量得到滿足，可以允許存在著一定的彈性，例如允許其控制在某一范圍內，但超出了一定范圍，這種“軟約束”就轉化為“硬約束”，破壞這一約束就會影響產品質量。出于經濟性要求所附加的性能指標和對操作變量的期望值，只有在滿足以上條件時才能進一步考慮，是一種“更軟的約束”。后文中將會介紹本文所考慮的不確定性饃型以及控制約束。緒論也就是說，在工業控制刈象中，幾乎所有的控制

14、系，覓都存在不確定性和約束祭隨著現代生產對產品質量和產違要求的不斷提高以及對經濟效益的不斷追求，使得系統舊工作點在滿足不確定范圍內越束越接近允許操作范圍的邊緣。這時，很難再忽略不確定和約束的存在而采用成熟的線性控制理論分析與設計控制系統。因而，線性有約束不確定系統優化控制問題研究就具有很重要的實際意義。研究現狀和主要方法有約束的線性不確定系統控制問題主要研究線性不確定系統在約束條件下，設計控制器使系統在滿足所給不確定范圍內的某種性能指標最優，即有約束的線性不確定系統最優控制問題。和在年通過先求解無約束的問題，然后飽和這個解，使其滿足對應的約束系統，提出了一種約束控制方法。這種方法雖然保證了系統

15、的穩定性，但是由于控制律的非線性，導致閉環系統也是非線性。和在年提出用正不變集特性和拉格朗日乘子法解決有初始狀態約束的線性約束系統控制問題“。在年，等人提出用人工神經網絡方法解決線性約束離散系統狀態反饋控制問題“。在年提出了用凸集合理論解決具有狀態和控制約束的線性離散系統控制問題“。等在年提出用滾動優化策略實現約束系統的控制問題，二次型導致的非線性困難可以通過滾動優化來克服“，但是這種方法具有較重的計算負擔。眾所周知，傳統控制律都是基于系統的數學模型建立的，控制系統的性能好壞在很大程度上取決于模型的精確性，這正是傳統控制的本質。現代控制理論可以解決多輸入、多輸出（）控制系統的分析和控制設計問題

16、，但其分析與綜合方法也都是在取得控制對象數學模型基礎上進行的，而數學模型的精確程度對控制系統性能的影響很大，往往由于某種原因，對象參數發生變化使數學模型不能準確地反映對象特性，從而無法達到期望的控制指標。為解決這個問題，自適應控制、魯棒控制的研究便成為控制理論的研究熱點。世紀年代由加拿大學者等人創始的控制理論是魯棒控制理論的重要發展。一般地，系統的數學模型與實際系統存在著參數或結構等方面的差異，而我們設計的控制律大多都是基于系統的數學模型，為了保證實際系統對外界干擾、系統的不確定性等有盡可能小的敏感性，促進了研究系統魯棒控制問題，現在系統日。范數和二次型已成為系統的重要性能指標。如何有效利用過

17、程信息來降低系統的不確定性，是魯棒控制研究的重要內容。由于許多控制問題可歸結為線性矩陣不等式（）的研究，年代中期出現了關于的控制軟件工具。由上述可知經典的反饋控制系統設計需要已知被控對象的精確數學模型（包括模型的結構和其中所含的參數），但這在工程實際中往往是很難辦到的。由于被控對象的復雜性，常常要用低階的線性定常的參數模型來代替高階的非線性時變分布參數系統。這樣，也勢必要引入系統模型的不確定性。因此，在控制系統的設計過程中一個不可回避的問題是：西安理工大學碩士學位論文如何設計控制律，使得當一定范圍的參數不確定性及一定的外界非線性攝動存在時，閉環系統仍能保持穩定性并保證一定的動態性能品質，往往要

18、求在滿足一定條件下獲得最佳方案，尋求最佳方案的過程就是對問題的優化。因此，不確定線性約束系統控制問題，本質上是一個優化問題。優化本身是一門學科，自二十世紀六十年代以來，由于計算機技術的突飛猛進，促進了此學科的迅猛發展。解決優化問題的方法就是優化方法，優化方法已經成為設計領域中的重要方法。應用優化設計，不僅可以大大縮短設計周期，顯著地提高設計質量，而且還可以解決傳統設計方法無法解決的問題，如對控制狀態和初始狀態都有約束的不確定系統的最優控制。解決最優控制問題的主要數學工具是變分法，動態規劃以及極大值原理“”。動態規劃是貝爾曼二十世紀五十年代中期為解決多階段決策過程而提出的。這個方法的關鍵是以最優

19、性原理為基礎，這個原理歸結為用一組基本的遞推關系式使過程連續的最優轉移。動態規劃可以求這樣的最優解，這些最優解是以計算每個決策的后果并對今后的決策制定最優決策為基礎的，但在求最優解時要按倒過來的順序進行，即從最終狀態開始到初始狀態為止。龐特里雅金于二十世紀六十年代創立的最大值原理是經典最優控制理論的重要組成部分和控制理論發展史上的一個里程碑。極大值原理是解決最優控制問題的一種最普遍的有效方法。由于它放寬了求解問題的前提條件，使得許多古典變分法和動態規劃無法解決的工程技術問題得到了解決。最優控制計算方法的主要內容是把變分法、極大值原理和求解非線性規劃問題的一些數值方法的理論和技術加以移植拓展得到

20、的，這些方法都有其局限性，比動態規劃的維數災難問題、非線性規劃容易陷入局部最優等“。模型預測控制也稱滾動時域控制，是二十世紀七十年代末從工業控制應用中發展起來的一種新型控制方法，其最大的優點是能夠優化并且可以顯式地處理被控系統的約束條件，并使之動態滿足“”但它與通常的離散最優控制算法不同，不是采用一個不變的全局優化目標，而是采用滾動式的有限時域優化策略。這意味著優化過程不是次離線進彳亍，而是反復在線進行的。這種有限優化目標的局部性使其在理想情況下只能得到全局的次優解，但其滾動實施，卻能顧及由于模型失配、時變、干擾等引起的不確定性，及時進行彌補，始終把新的優化建立在實際的基礎之上，使控制保持實際

21、上的最優。這種啟發式的滾動優化策略，兼顧了對未來充分長時間內的理想優化和實際存在的不確定性的影響，在復雜的工業環境中，這比建立在理想條件下的最優控制更加實際有效。對于系統的不確定性，在系統分析中，用影射集合代替系統的不確定部分，集合的引進可以為以下兩個相關但不同的目的服務：（）提供一種簡化模型的方法（）用于模型和解釋不確定的動態行為對于這一類模型描述的系統分析和綜合問題稱為參數不確定系統的魯棒性能分析和綜合問題，它是近年來國際自動控制界最活躍的研究領域之一，吸引了大量研究人員對其進行研究，提出了一系列諸如玩控制、方法等新的研究結果和方法，開拓了許多新緒論的研究分支，一籮研究結果在許多工業控制領

22、域得到了成功的應用。在間域中研究參數不確定系統的魯棒分析和綜合問題的主要理論基礎是穩定性理論，通過尋找一個函數使得系統漸近穩定。早期的一種主要方法是方程處理方法，它是通過將系統的魯棒分析和綜合問題轉化為一個型矩陣方程的可解性問題，進而應用求解方程的方法給出系統具有給定魯棒性能的條件和魯棒控制器的設計方法。盡管方程處理方法可以給出控制器的結構形式，便于進行一些理論分析，但是在實施這一方法之前，往往需要設計者事先確定一些待定參數，這些參數的選擇不僅影響到結論的好壞，而且還會影響到問題的可解性。但在現有的方程處理方法中，還缺乏尋找這些參數最佳值的方法，參數的這種人為確定方法給分析和綜合結果帶來了很大

23、的保守性。另一方面，型矩陣方程本身的求解也還存在一定的問題。目前存在很多求解型矩陣方程的方法，但是多為迭代方法，這些方法的收斂性并不能得到保證。世紀年代初，隨著求解凸優化問題的內點發的提出，線性矩陣不等式（再一次受到控制界的關注，并被應用到系統和控制的各個領域中。許多控制問題可以轉化為一個線性矩陣不等式系統的可行性問題，或者是一個具有線性矩陣不等式約束的優化問題。由于有了求解凸優化問題的內點法，使得這些問題可以得到有效的解決。年，推出了求解線性矩陣不等式問題的工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地來處理、求解線性矩陣不等式系統，進一步推動了線性矩陣不等式方法在系統和控制領域中的應用。線性矩陣

24、不等式處理方法可以克服方程處理方法中存在的許多不足。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個凸約束條件，因此，可以應用求解凸優化問題的有效方法來進行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設計時，得到的不僅僅是一個滿足設計要求的控制器，面是從凸約束的任意一個可行解都可以得到一含控制器，即可以得到滿足設計要求的一組控制器。因此，本文利用線性矩陣不等式這一數學工具。研究的主要目的和內容對于一個有約束的不確定性系統，穩定性問題始終是控制這類系統的最基本問題，因為一切能夠正常運行的控制系統必要的前提是穩定。所謂的穩定就是在一個意義下非漸近穩定的系統通過引入狀態反饋，以實現在意義下漸近穩定的問題。在實際應用

25、過程中，如航空、航天器控制，電力系統控制和過程系統控制，都提出了確保受控系統穩定性的要求，更是有大量的文獻對系統魯棒性研究做出重要貢獻。在控制系統設計中，設計控制器的一個目的就是控制系統使之穩定運行，但另一個比較實惠的目的就是使系統獲得更好的性能，即在滿足穩定的前提下，如何設計一個優化控制器。因此，線性有約束不確定系統的優化控制問題是一個具有重要意義的問題。線性矩陣不等式（）理論及方法因其顯著優點而被廣泛地應用于控制系統的理論西安理工大學碩士學位論文分析和設計中，許多系統控制的分析和設計可以轉化為一個線性矩陣不等式的解，即所謂的凸優化問題。線性矩陣不等式方法克服了方程處理方法的很多不足。尤其是

26、年公司推出的的工具箱，極大地方便了人們求解線性矩陣不等式，進一步推動了線性矩陣不等式在控制理論中的應用、推動了魯棒控制理論的發展和深入。本文主要利用狀態反饋法和線性矩陣不等式，研究了線性有約束不確定系統的優化問題。針對這一問題，本文在對已有工作進行了解和學習的情況下，首先研究了不確定系統的優化控制問題，其次研究了約束系統的優化控制問題，最后研究了線性有約束不確定系統的優化控制問題，在線性矩陣不等式框架下，利用穩定性和預測控制滾動優化原理，設計出具有狀態反饋形式的控制律，在該控制律的作用下，使線性不確定系統在不違背約束的條件下，能滿足一定的性能指標要求，并使閉環系統漸近穩定。綜上所述，本文結構安

27、排如下：第二章主要介紹了本文所要用到的一些數學基礎和預備知識。比較詳細地介紹了本文中用到的數學符號意義、線性矩陣不等式的基本概念、有關線性矩陣不等式求解的函數以及其相應的本文中引用比較頻繁的一些引理。第三章對線性約束控制系統進行了討論。首先介紹了線性約束系統，然后研究了線性約束系統的優化控制算法以及相應優化控制器的設計，最后進行仿真分析和小結。第四章對線性不確定性系統進行了研究。首先介紹了不確定性存在原因，其次介紹了本文用到的一些不確定模型，最后介紹了不確定性系統的研究現狀以及存在的一些問題。第五章研究了一類不確定離散系統在控制量約束時的控制算法和控制器的設計。在線性矩陣不等式（）凸優化框架下

28、，對這類不確定離散系統實施保性能控制，融合預測控制滾動優化思想，提出一種基于滾動優化的保性能控制律，通過在線求解線性矩陣不等式得到控制策略，使得閉環系統在滿足控制約束的條件下穩定。第六章研究了一類高速采樣不確定系統的優化控制問題。分析了具有凸多面體不確定系統的。性能，利用參數依賴的泛函，導出了系統具有給定性能指標的控制方法，并據此通過建立和求解凸優化問題，給出了具有凸多面體不確定系統最優髟。性能指標的優化控制器設計方法。本文針對以上問題進行了認真研究，力爭尋求一種具有一定廣泛、實用性、簡單的閉環反饋控制律，使系統鎮定并具有相對的優化性。尋求最優控制律是一個永無止境的過程，很多有意義的工作仍在繼

29、續。相信隨著對這些問題研究和探索的不斷深入，最優控制技術將越來越成熟和實用，也會應用得更加廣泛。現代生活和生產問題都求一個最優、最好的方案，相信最優控制技術將隨著社會的進步而不斷發展。數學基礎與準備知識數學基礎與準備知識基本概念“，（一，），表示整個實數集。表示，維的實空間。（，。），表示正的實數集。表示單位矩陣。表示行甩列的矩陣集合。表示空集。表示矩陣的逆陣。表示矩陣，的轉置。中爿恤刪翻，表示向量的歐幾里德范數。陋¨爿“，表示矩陣的歐幾里德范數。表示矩陣爿的特征值的最大值。表示矩陣爿的特征值的最小值。表示矩陣是對稱且正定的。表示矩陣是對稱且半正定的。印）；，。（爿）七）表示對函數）

30、進行求導運算。出現在矩陣中表示對稱部分。蹭，五，瓦如吲對角線為矩陣置，五，邑的塊對角矩陣。矩陣；嘞）艫“的矩陣跡，即：艦比固線性矩陣不等式線性矩陣不等式簡介一個線性矩陣不等式（）就是具有形式）羅鼉硒（）的一個表達式。其中墨，而，是個實數變量，稱為線性矩陣不等式（）的決策變量，恐，】“是由決策變量構成的向量，稱為決策向量，互。只，一，是給定的對稱矩陣。）表示）是負定的，即對任意非零向量”有不等式）成立或者）的最大特征值小于零。西安理工大學碩士學位論丈如果把）看成是從彤到實對稱矩陣集一：“的一個映射，則可以看出）并不是一個線性函數，而只是一個仿射函數。因此，更確切地說，不等式（）應該稱為一個仿射矩

31、陣不等式，但是由于歷史原因，目前線性矩陣不等式已被廣泛接受與應用。若下式成立：）一羅薯箭則稱為非嚴格線性矩陣不等式。對足”一的任意仿射函數）和），），）也是線性矩陣不等式，因為他們可以等價地寫成一），（）所有滿足線性矩陣不等式（）的的全體構成一個凸集，即滿足下列引理。引理中石：）是一個凸集。證明：對任意的，西和任意的口（，），由于瓴），：）以及）是一個仿射函數，故（置（一口）（工）（一口）（）所以五（一口弘垂，即是凸的。引理說明了線性矩陣不等式（）這個約束條件定義了自變量空間中的一個凸集，因此是自變量的凸約束。正是線性矩陣不等式的這一性質使得可以應用解決凸優化問題的有效方法來求解相關的線性矩陣

32、不等式問題。顯然多個互）（，曼），只（力可用一個表示，等價于，）最）曩）線性矩陣不等式（）是關于變量的一個凸約束，所以集合）是一個凸集，從而線性矩陣不等式的求解可轉化為凸優化問題的求解，內點法、橢球法都是求解線洼矩陣不等式的有效方法。線性矩陣不等式的最大優點就是其計算的簡單性，并且無須參敬調整，目前已經出現了許多求解線性矩陣不等式的優秀軟件工具，最優秀的如中的工具箱“”等，使用方便、簡單。下面簡單的介紹一下有關線性矩陣不等式求解的兩數：可行性問題（）：對給定的線性矩陣不等式），檢驗是否存在，使得）成立的問題稱為一個線性矩陣不等式的可行性問題。如果存在這樣的，則該線性矩陣不等式問題是可行的，否則

33、這個線性矩陣不等式就是不可行的。特征值問題（）：該問題是在一個線性矩陣不等式約束下，求矩陣“）的最大特征值的最小化問題或確定問題的約束是不可行的。它的一般約束是：數學基礎與準備知識），）這樣一個問題電可以轉化為以下的一個等價問題：工（）（）和問題（）的相互轉化是因為，一方面，工（）這正是里的堋工具箱中特征值問題求解器所要處理問題的標準形式。問題）。另一方面，定義王，】，）一缸）一村，日），一，】，則）是耍的一個仿射函數，且問題（）可以寫成：王）一個線性矩陣不等式問題）的可行性問題也可以寫成一個：。曲一九顯然，對任意的，只要選擇足夠大的，）就是上述問題的一個解，因此上述問題一定有定有解。若其最小

34、值臚；，則線性矩陣不等式）是可行的。廣義特征值問題（）：在一個線性矩陣不等式約束下，求兩個仿射矩陣函數的最大廣義特征值的最小化問題。給定同階數的對稱矩陣和，對于標量，如果存在非零向量，使得毋，則稱為矩陣和的廣義特征值。矩陣和的最大廣義特征值的計算問題可以轉化為一個具有線性矩陣不等式約束的優化問題。事實上，假定矩陣是正定的，則對充分大的標量，有。隨著的減小，并在某個適當的值，將變成奇異的。因此，存在非零向量使得。這樣的一個就是矩陣和的廣義特征值。根據這樣的思想，矩陣和的廣義特征值可以通過以下的優化恩題得到：當和的廣義特征值是的一個仿射函數時，在一個線性矩陣不等式約束下，求解矩陣函數）和（）的最大

35、廣義特征值的最小化問題的一般形式如下：（）；（）（）日（）西安理工大學碩士學位論無上述問題中的約束條件關和并不是同時是線性的，該問題框架由于：）有充分的數值方法可解，如近幾十年發展起來用于求解凸優化問題的內點方法是多項式時間的全局最優化方法；）非常適合處理不確定性；適合處理設計過程的不同目標，如目標折中、性能限制和可能性分析等：具有較廣的應用范圍，不僅應用于控制與辨識。還廣泛的應用于經濟領域問題分析；）使用方便，在中有直接調用的工具箱，吸引越來越多的學者研究。線性矩陣不等式在控制中的應用在大多數的控制應用中，不會直接具有式（）的標準形式，而經常是如下的仿線性形式（墨，邑）（墨，以）其中（）和（

36、）是矩陣變量墨，以的仿線性函數。許多控制問題具有形式，其中包括型控制分析和設計，優化控制、日。控制、方差控制、估計與辨識等。世紀年代初，首先將線性二次型最優控制問題轉化為線性矩陣不等式求解，并且建立了線性矩陣不等式與矩陣方程之間的關系。世紀年代，魯棒控制問題的提出和研究，更加促進了線性矩陣不等式的研究和發展，特別是近些年來發展起來的內點算法、射影算法等，使得具有了極為廣泛的實用價值，利用凸優化技術得到滿足不同性能指標最優的各個解，即得到一個解集【。線性不確定系統的分析和設計中，是一個強有力的工具，也正是由于的引入，使得過去不太容易做到的事，利用則較容易實現。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一

37、個凸約束條件，因此，可以應用求解凸優化問題的有效方法來進行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設計時，得到的不僅僅是一個滿足設計方法的控制器，而是從凸約束條件的任息一個可行解都可以得到的一個控制器，即可以得到滿足設計要求的一組控制器。在年，公司推出的的工具箱，極大地方便了人們求解線性矩陣不等式，進一步推動了線性矩陣不等式在控制理論中的應用、推動了優化控制理論的開展和深入。，基本引理參考文獻，下面不加證明的給出本文可能用到的關于的一些引理引理：假設和是具有適當維數的向量，則下列不等式成立：±王工￥一其中是任意具有適當維數的正定矩陣。數學基礎與準備知識引理：假設、和為適當維數的實矩陣，

38、且具有礦（），那么對任意的標量，于是有下式成立：引理：給定適當維數的矩陣、和，其中是對稱的，則對所有滿足，的矩陣成立，當且僅當存在一個常數，使得一引理：（補引理）：對給定的對稱矩陣。降最：以下三個條件是等價的：（）（），一五昭墨（）墨丟醍定理：設是任一方陣，則存在矩陣，使得當且僅當存在矩陣。，使得瞄麓西安理工大學碩士學位論丈線性有約束系統的優化控制問題約束系統在工業生產和社會生活中，由于裝置的物理特性所限及出于對系統安全和環保法規、經濟效益等方面的考慮，實際系統不可避免地會受到這樣或那樣的約束，有的是對輸入的，有的是對狀態的，有的是對控制機構的。例如，對能量、幅值、變化速率、加速度等的約束，有

39、約束系統與無約束系統的能控性、能觀性、控制器設計、閉環系統的性能分析等許多方面都有本質的區別。特別是對線性系統而言，約束的存在有時不僅使系統變成了非光滑的非線性系統，而且破壞了系統的能控性。例如，單輸入單輸出的連續系統圣其中和分別是系統的狀態和控制輸入，當沒有控制輸入約束時是完全能控的，即對任意給定的初值（）和任意給定的時刻，都能設計出優化控制使得石（）。實際上，可以利用優化控制原理設計得：“）。（一一），【，）【但是當輸入受到約束時，比如輸入約束為；時，系統就不能有效控制了，當系統初值為荊一時，對任意時刻總有（）之，很顯然所得系統是指數發散的。也就是說，經典的線性系統理論并不能很好的解決有約

40、束系統的優化問題，當約束條件成為系統實際工作過程中不可忽略的重要因素時，在其設計階段必須能夠對系統的約束條餌二做出妥善處理，否則將不可能達到預定的控制目標，嚴重對甚至可能弓發災難。因此，幾乎所有的控制系統都有約束條件，隨著現代生產對產品質量和產量要求的不斷提高以及對經濟效益的不斷追求，使得系統的工作點越來越接近允許操作范圍的邊緣。這時，很難再忽略約束的存在而采用成熟的線性控制理論分析與設計控制系統。因而，線性約束系統控制問題研究就具有很重要的實際意義，越來越多的控制理論學者開始研究有約束線性系統的優化控制問題，對有約束系統的控制研究可以追述十世紀五十年代，近十多年來得到突飛猛進的發展。主要研究

41、內容有約束系統能控性、能控能達域、鎮定控制、最速控制、最優控制、輸出調節、干擾抑制、珂。控制、動態輸出反饋補償器設計等。約束系統問題描述線性連續約束系統狀態表達式線性時不變連續系統戈（）（）（）（）線性有約束系統的優化控制問題其中，為系統的狀態量，”為控制向量，【，）為時間變量，和為具有適當維數的矩陣。在多數實際控制問題中，為滿足所設計的要求，必須將控制變量和狀態變量限制在一定的范圍內，其數學描述可以用適當的控制向量陣和系統狀態向量陣分別滿足的不等式來表示，即“），（）或者陋（），（）盧末表示，其中一，和，“，蘆彤是具有非負元素的向量。初始狀態。滿足如下不等式（）其中，”、為具有非負元素的向量

42、，為考慮本文控制對象算法的收斂性，本文一律要求的初始狀態滿足。工；。線性離散約束系統狀態表達式線性時不變離散系統（七）一（）（尼）其中，為系統的狀態向量，（）“為控制向量，一，為系統采樣時刻，和為具有適當維數的矩陣。在多數實際控制問題中，為滿足所設計的要求，必須將控制變量和狀態變量限制在一定的范圍內，其數學描述可以用適當的控制向量陣和系統狀態向量陣分別滿足的不等式來表示，即），）（）其中參數要求同有約束連續系統狀態表達式，本文主要針對離散系統設計優化控制。線性約束系統優化控制器設計線性約束系統的研究現狀由于工業裝置的物理特性所限及出于對系統安全和環保法規、經濟效益等方面的考慮，實際工業系統不可

43、避免地受到種種約束，因此在最優控制器的設計階段必須能夠同時對系統的約束條件及外界不可知干擾（即不確定性）做出妥善處理，否則將不能達到預期的控制目地，嚴重時會引起系統不穩定甚至災難。另外實際系統運行時如果出現不可預料的大幅值干擾（例如出現尖峰干擾）就有可能使執行器飽和，這時我們期望控制系統能夠保證不至于使執行器損壞，仍然能夠具有適度的控制性能并能夠確保控制系統穩定運行。隨著現代工業生產的發展，特別是狀態空間技術的發展，對自動控制所提出的要求也越來越高，控制系統越復雜，幾乎所有的工業控制都有約束條件，但隨著現代生產對產西安理工大學碩士學位論文品質量和產量要求的不斷提高以及對經濟效益的不斷追求，使得

44、系統的工作點越來越接近允許操作范圍的邊緣“。這時，很難再忽略約束的存在而采用成熟的線性控制理論（如線性最優控制）分析與設計控制系統。于是基于無約束的經典控制理論也日益暴露出它的局限性，為了針對約束系統實現某種意義上的優化控制，地等人在無約束優化控制的方法線性二次型最優控制（）的基礎上提出了有約束的線性二次型控帝“”，專門解決帶有限制的一類線性規劃問題。但是，目前國內外工程應用研究者主要采用預測控制方法（即把控制問題描述為一個在線滾動求解的約束優化問題），模型預測控制也稱滾動時域控制“”捌，是年代末從工業控制應用中發展起來的一種新型控制方法，其最大的優點是能優化且顯式地處理被控系統的約束條件，并使之動態滿足，并取得了顯著效果。預測控制簡介預測控制是近幾十年來發展起來的一類新型的計算機控制算法。由于它采用多步測試、滾動優化和反饋校正等控制策略，因而控制效果好，適用于控制不易建立精確數字模型且比較復雜的工業生產過程，同時對系統的約束條件都做出了好的處理，所以它一出現就受到國內外工程界的重視，并已在石油、化工、電力、冶金、機械等工業部門的控制系統得到了成功的應用。工業生產的過程是復雜的，我們建立起來的模型也是不完善的。就是理論非常復雜的現代控制理論，其控制的效果也往往不盡人意，甚至在一些方面還不及傳統的控制。年代，人們除了加強對生產過程的建模、系統辨識、