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1、南航理學院復變函數與積分變換14 4 原函數與不定積分原函數與不定積分& 1. 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念& 2. 積分計算公式積分計算公式南航理學院復變函數與積分變換1 1. 原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念 由由2基本定理的推論知：設基本定理的推論知：設f (z)在單連通區在單連通區域域B內解析，則對內解析，則對B中任意曲線中任意曲線C, 積分積分c f (z)dz與與路徑無關，只與起點和終點有關。路徑無關，只與起點和終點有關。 當起點固定在當起點固定在z0, 終點終點z在在B內變動內變動,c f (z)dz在在B內就定義了一個變上限的單值函數

2、，記作內就定義了一個變上限的單值函數，記作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 設設f (z)在單連通區域在單連通區域B內解析，則內解析，則F(z)在在B內解析，且內解析，且)()( zfzF 南航理學院復變函數與積分變換1定義定義 若函數若函數 (z) 在區域在區域B內的導數等于內的導數等于f (z)，即，即 ,稱稱 (z)為為f (z)在在B內的原函數內的原函數. )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一個的一個原函數。原函數。設設H (z)與與G(z)是是f (z)的任何兩個原函數，的任何兩個原函數，)(,)()(0)()()( )( )

3、()(為任意常數為任意常數cczHzGzfzfzHzGzHzG 這表明：這表明：f (z)的任何兩個原函數相差一個常數。的任何兩個原函數相差一個常數。( (見第二章見第二章2 2例例3)3)南航理學院復變函數與積分變換1 czFdzzf)()(2. 積分計算公式積分計算公式定義定義 設設F(z)是是f (z)的一個原函數，稱的一個原函數，稱F(z)+c(c為為任意常數任意常數)為為f (z)的不定積分，記作的不定積分，記作定理定理 設設f (z)在單連通區域在單連通區域B內解析，內解析， F(z)是是f (z)的一個原函數，則的一個原函數，則),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式類似于微積分學中的牛頓萊布尼此公式類似于微積分學中的牛頓萊布尼茲公式。茲公式。南航理學院復變函數與積分變換1例例1 計算下列積分：計算下列積分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC終終點點為為起起點點為為為為半半圓圓周周：其其中中 解解1) 321211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在南航理學院復變函數與積分變換1., 1arg1)2的的任任意意曲曲線線終終點點為為起起點點為為內內：為為單單連連通通區區域域其其中中zzDCdzzC

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