1、1 1、函數(shù)的凹凸性定義、函數(shù)的凹凸性定義問題問題: :如何研討曲線的彎曲方向如何研討曲線的彎曲方向? ?xyo)(xfy xyo)(xfy xyoABC第五節(jié)第五節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)問題問題: :如何表示曲線的彎曲方向如何表示曲線的彎曲方向? ?xyo1x2x)(xfy 圖形上恣意弧段位圖形上恣意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上恣意弧段位圖形上恣意弧段位 于所張弦的下方于所張弦的下方xyoABC221xx 221xx 2)()(21xfxf2)()(21xfxf )2(21xxf )2(21xxf )(1xf)(1xf)(2xf)(2xf

2、定義定義2的（或凸弧）上的圖形是（向上）凸在那末稱如果恒有的（或凹弧）上的圖形是（向上）凹在那末稱恒有點(diǎn)上任意兩如果對(duì)上連續(xù)在區(qū)間設(shè)IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121xyo)(xfyxyo)(xfy abAB遞增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理2 2.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的圖形是凸的在則上的圖形是凹的在則內(nèi)若在一階和二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有在上連續(xù)在如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線

3、xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)留意到留意到, ,例例2 2的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間求曲線14334xxy解解),( : D,121223xxy , 0 y令令.32, 021 xx得得 x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32()32(3624362 xxxxy).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間

4、為為例例3 3.3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy .)()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 留意留意: :x),(0),(41041),(41y y不存在不存在曲線曲線拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫2垂直漸近線

5、垂直漸近線 作函數(shù)圖形的普通步驟例例1 1.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對(duì)稱性且無對(duì)稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn), 2 2)1(4lim)(lim2 xxxfxx; 2 y得得水水平平漸漸近近線線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得鉛直漸近線得鉛直漸近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, ,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn): :x)3,( ), 0( )2, 3(

6、 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)延延續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( :補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn));0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC練習(xí)練習(xí): :.21)(22的圖形作函數(shù)xex偶函數(shù)偶函數(shù), ,圖形關(guān)于圖形關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱. ., 0)( x令令, 0 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)解解),(: D. 4 . 021)(0: xW,2)(22xexx .2)1)(1()(22xexxx 2221lim

7、)(limxxxex , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值 21)21, 1(e 列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, ,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn): :0拐點(diǎn)拐點(diǎn))21, 1(e 1xyo1 21例例3 3.1)(23的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù) xxxxf解解),(: D無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0)( xf令令.31 x得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn):補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn)),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, , 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)與拐點(diǎn): :x)3