1、 放縮思想在高考數學中的應用高中階段，在數列那一章節的學習中，我們曾接觸過放縮思想。其實在高考函數中，尤其是導數大題中，放縮思想起著舉足輕重的作用。例如，讓我們證明x2-2x+10，這個題目對大家來說根本算不上問題。但是如果讓我們證明x2-3x+ex0。這個式子我們看起來非常陌生，我們對ex并不熟悉，我們不喜歡ex或者lnx,因此，我們可以把他們轉化為x的形式。這道題目，我們可以先證明exx+1，這里構造輔助函數f(x)=ex-x-1即可證明，證明后，我們可以得到x2-3x+exx2-2x+10當x=1時兩等號成立。在此，我給出以下4個常考的輔助函數供大家參考。 exx+1當x=0時等號成立

2、lnxx-1當x=1時等號成立 sinxx當x=0時等號成立 cosxx+1當x=0時等號成立接下來我們不妨來試一道高考題，2012年山東高考壓軸題。22(本小題滿分13分)已知函數f(x) = （k為常數，e=2.71828是自然對數的底數），曲線y= f(x)在點（1，f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；（）求f(x)的單調區間；（）設g(x)=(x2+x) ,其中為f(x)的導函數，證明：對任意x0，。上面本題的標準答案，前兩問在此不做解釋。在第三問中，我們可以看出關鍵步驟就是把g(x)分成1+x/ex和1-x-xlnx兩部分，但是我們如何想到這一步呢？為什么他要把函數分成這兩部

3、分呢？看完上面的文章，我想各位讀者已經有了初步的思考，下面，讓我們再重新看一遍第三問。g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/ex看到這個函數，我們的第一反應應該是：這個函數不好做，ex和lnx太煩了，我們把它放縮一下。把lnx換成x-1,把ex換成x+1。原式g(x)1-x-xlnx 式1-x2 看到式，很多人就會認為，呀！這么簡單就做出來了？細心的朋友可能會發現，其實式的推導存在著一定的問題。已知lnxx-1 那么-lnx應當1-x所以式1-x2 如果我把x放縮成lnx-1行不行？利用-(x)-(lnx+1)把式化為1-x(lnx+1)1-（lnx+1）2 但我們來仔細推敲一下，我們已

4、知的是-x-(lnx+1)那么我們能不能通過式得到-x(lnx+1)-(lnx+1)(lnx+1)呢？顯然這是不行的，因為lnx+1的符號未知。當lnx+10時是成立的而當lnx+10時-x(lnx+1)-(lnx+1)(lnx+1)接下來我們回歸這道題目。第一步把ex放縮為x+1之后g(x)1-x-xlnx構造輔助函數h(x)=1-x-lnx即可，并不需要上述那些復雜的討論，那些討論，是為了方便大家了解在放縮應用的過程中容易出現的問題。其實，我所列出的輔助函數，只不過是高考中最常見的4種函數的放縮方式，能解決大部分的問題，例如2014年新課標1卷，最后一問讓我們證明f(x)=exlnx+2e

5、x-1/x1 標準答案所給的思路是將式移項，得到xlnxxe-x-2/e 證明式左端函數最小值右端函數最大值。這顯然不是我們正常的思路，按照我們先前的思路，把ex換成x+1可以得到f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex 把函數分成三個部分，2/e,xlnx,lnx+2/ex分別求導，可以輕松得到f(x)1/e+ln2 我們知道2.7<e<2.8所以1/e1/3 接下來我們只需要證明ln22/3，即23=8e2 又因為e22.82=7.768 所以原式得證。此外，除了上述4種函數，還有很多其他類型的輔助函數等著大家去發現，在這里我只舉一個簡單的例子exx2+1是成立的但exxn+1呢請大家自行思索。解決這類f(x)某定值a的問題的關鍵就是構造合適的輔助函數進行放縮，我們平常做的那些參考資料所給出的答案，往往只是一種過度格式化的答案，答案給出的解題過程并非我們思考的正常順序。例如，我們看到它構造一個輔助函數exx+1，但他為什么要構造這個函數呢？構造其他的輔助函