1、學習直線射線與線段的一般數(shù)學方法和技巧一、把握幾何概念與圖形的內(nèi)在聯(lián)系形的概念起源于現(xiàn)實世界人類生活在豐富多采，千變?nèi)f化的大千世界中，在我們的周圍存在著大小不一、形狀各異的各種物體，小至紙、筆、針、線，大至日、月、星辰，它們都具有一定的形狀、大小，并在空間占有一定的位置如果我們不管它們的其它性質，而只注意它們的形狀、大小、位置，就抽象出幾何圖形，分析這些圖形的特征，形成相應的概念，并用文字、符號把概念表述出來在幾何的入門階段，以圖形作基本依托，把握幾何概念所反映的幾何圖形的本質屬性，成為最基本的數(shù)學方法，這樣，在運用數(shù)學概念進行思維或者在口頭上，書面上表述的時候，頭腦中就可以呈現(xiàn)出相應的圖形，

2、以及這個圖形的本質特征，而不是形式上地記住定義的字句例1 判斷下列說法是否正確，并說明理由(1)延長直線AB；(2)延長射線AB到C；(3)延長線段AB到C分析：直線、射線、線段是最基本的幾何圖形之一直線、射線、線段三者之間的聯(lián)系表現(xiàn)為線段可以是射線和直線的一部分，射線可以是直線的一部分；它們的區(qū)別表現(xiàn)為三者的端點個數(shù)不同，端點的個數(shù)和位置就使三者具有不同的各向延伸性由于直線都是可以向兩方無限延伸的，所以延長直線AB是多余的，而“射線AB”就表示A為端點，向B的方向可以無限延伸，因而說法(2)也是錯誤的而只有線段有兩個端點，可以任意向任意一方延伸，所以(3)是正確的在初學平面幾何時，一定要注意

3、用文字、符號表達的概念與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系例2 回答下列問題，并說明理由：(1)如圖1(甲)所示，直線AC和直線CA是不是同一條直線？射線AC和射線CA是不是同一條射線？射線BA和射線BC？射線AB和射線AC呢？(2)如圖1(乙)，線段MN的延長線是什么？線段NM的延長線呢？線段NM的反向延長線呢？分析：射線和線段都是用直線被點分成的部分來定義的，定義是對圖形的分析、比較得出的，解答此類問題的主要方法仍然是抓住幾何概念所反映的幾何圖形的本質屬性解：(1)直線AC和直線CA都是經(jīng)過AC兩點的直線，根據(jù)過兩點有且只有一條直線可知，它們是同一條直線射線AC是直線AD上點A右邊的部分，而射線CA是直線

4、AD上點C左邊的部分，這兩條射線的端點不同，延伸的方向也不同，根據(jù)射線的定義可知，它們不是同一條射線射線BA和射線BC雖然具有相同的端點，但是BA和BC字母的排列與圖形反映的相應點的位置揭示它們具有不同的延伸方向，根據(jù)射線的定義，它們也不是同一條射線射線AB和射線AC，具有相同的端點，又都有相同的伸展方向，都表示直線AD上點A右邊的部分，所以，它們是相同的射線(2)根據(jù)線段的延長線的定義可知，線段MN的延長線是射線MP；線段NM的延長線是射線NO；線段NM的反向延長線就是把線段NM向著它相反的方向延伸所得到的射線，實際上就是線段MN的延長線，即射線MP例3 如圖2所示，4種情況下的直線、射線或

5、線段可能相交的是哪幾個解：圖2(1)中，AB是直線，它可以向兩個方向無限伸展，從圖中的位置來看，直線AB與CD一定相交在圖2(2)，(3)中，AB是線段，而DC，CD都是射線，但是延伸的方向不同，圖2(2)中射線DC向左延伸一定和AB相交，而圖2(3)中的射線CD向右延伸與線段AB不能相交圖2(4)中的直線CD雖然可以向兩個方向延伸，但是圖中所處的位置決定它與不能向任何方向延伸的線段AB沒有交點與圖形相關的概念、性質以及圖中各種圖形的相關位置是判斷的主要依據(jù)例4 判下列說法是否正確，并說明理由：(1)在所有連結兩點的線中，直線最短；(2)兩點之間，線段最短；(3)畫出A、B兩點間的距離；(4)

6、連結兩點的線段叫做兩點間的距離解：(1)不正確，因為直線是一個圖形，它可以向兩方無限延伸，它沒有長度，同時“連結”一詞專用在連成線段，用于兩點之間各種形狀的線，應用“聯(lián)接”(2)正確，所有聯(lián)接兩點的線中，線段最短，也可簡單說成：兩點之間，線段最短(3)不正確，根據(jù)兩點間的距離的定義可知，兩點間的距離是一個數(shù)量，它不是圖形，不能把它畫出來(4)不正確，連結兩點的線段的長度才是兩點間的距離線段和它的長度，一個是圖形，一個是數(shù)量，在初學幾何時，一定要注意到“幾何語言”的正確性二、幾何概念與對應圖形的相互轉換認識幾何圖形與概念教學是密不可分的從各種不同的角度強化圖形與概念之間的相互轉換是十分重要的在平

7、面幾何學習的初始階段，這種轉換的訓練大致有以下兩個方面：其一，“看圖說話”，用文字語言、符號語言說明給出的圖形，根據(jù)圖形進行概念之間的辨析、確定、進行分析，思考；其二：“讀話畫圖”，根據(jù)文字語言，符號語言所表示的命題，句子，畫出相應的圖形例5 平面上有任意3個點A，B，C問：(1)一共可以畫出多少條直線？(2)以一點為端點且經(jīng)過另一點的射線可以得到多少條？(3)可以得到多少條線段？分析：射線、線段都是直線的一部分，因而首先必須考慮可以畫出多少條直線，由于經(jīng)過兩點有且只有一條直線，所以必須知道3點中每兩點組成一組，一共可以組成多少個組另一方面，已知3點的位置是任意的，就是說，這3點的位置是不確定

8、的我們先由其中兩點(如A、B)畫出一條直線AB，那么C點與直線AB的位置關系就只有兩種：點C在直線AB上或點C不在直線AB上，在這兩種情況下，所得到直線的條數(shù)也是不一樣的考慮了直線的條數(shù)，在此基本上就可以得到射線和線段的條數(shù)解：經(jīng)過A、B兩點可以畫一條直線，則點C與直線AB的位置關系有：(1)點C在直線AB上(如圖3)顯然直線CA、CB與直線AB是同一條直線，因此在這種情況下可以畫出一條直線由于A，B，C在同一條直線上，以最左端一點A為端點而經(jīng)過B點、C點的射線有兩條AB、AC，但這兩條射線實際上是同一條射線，同樣以最右端的一點C為端點的射線CB，CA也是同一條射線，只有以中間一點B為端點的兩

9、條射線BA，BC由于延伸方向不同，是不同的兩條射線，所以，可以得到4條射線同樣，根據(jù)線段的定義，如果A，B，C在同一直線上，可以得到3條不同的線段AB，BC，CA(2)點C不在直線AB上，(如圖4)根據(jù)過兩點有且只有一條直線可以畫出3條直線：AB，BC，CA而以A點為端點的射線有4條，其中只有兩條分別經(jīng)過點B，點C，所以，以A為端點的滿足條件的射線有兩條AB，AC同理，以點B，以點C為端點的射線也分別有兩條滿足條件所以一共可以畫6條射線：AB，AC；BA，BC；CA，CB以A、B、C3點為端點的線段仍然有3條綜合上述，給出平面上的任意3點，可以得到一條或3條直線；4條或6條以一點端點而經(jīng)過另一

10、點的射線；不論3點的相互位置如何，總可以得到3條線段例6 已知線段a，b(ab)，用直尺和圓規(guī)畫出線段x，線段y，使：(1)x=a+2b；(2)y=3a-2b分析：“讀話畫圖”，首先要了解畫圖的一些基本方法，在頭腦中形成一個很有條理的程序，這個程序記錄下來就是畫法作“線段的和、差”是最基本的作圖，它有自己的畫法程序及作圖語言，以(1)為例，畫圖步驟為：畫射線AE；用圓規(guī)在射線AE上順次截取AB=a，BC=CD=b(圖5)線段AD就是所求的線段x為什么采取這樣的畫圖程序呢？因為要作一條線段，主要是決定線段的位置以及線段的兩個端點的位置，在畫法的第一步“畫射線AE”就是確定了所求線段的位置，線段x

11、在射線AE上，并且決定了第1個端點A的位置，但是第2個第3個第4個端點就不能任意取了，必須保證最后得到的線段總長度是a+2b，所以第二步的畫法是“在射線AE上順次截取AB=a，BC=CD=b”，“順次”一詞，就表示線段是一個挨著一個地截取同樣第(2)題的畫法為(如圖6)：畫射線EQ；在射線EQ上順次截取EFFGGHa；在線段HE上順次截取HI=IP=b線段EP就是所要畫的線段y三、借助數(shù)量進行圖形的度量和比較比較兩條線段的長短，可以把它們移到同一條直線上，并使兩條線段從同一個端點出發(fā)，根據(jù)另一端點的位置進行比較，這是幾何的本身特點在給出線段的度量方法后，線段的比較及和差倍的計算又可以借助數(shù)量來

12、進行，兩者的一致性，使數(shù)和形緊密地結合在一起例7 已知線段AB=5cm，延長AB到C，使AC=7cm，在AB的反向延長線上取D，使BD=4BC，設線段CD的中點為E問，線段AE是線段CD的幾分之一分析：根據(jù)題意作出示意圖(如圖7)，從圖中可以看到“延長AB到C，使AC=7cm”，所延長的線段就是BC，很顯然BC=AC-AB=2cm，由此，就可以求得BD，DC的長，再根據(jù)E為CD中點，求得AE的長解：AC=ABBC，即7=5BC，BC2(cm)BD=4BC，即BAAD=4BC，5AD=8，AD=3(cm)，CD=ADABBC=352=10E為CD的中點，DE=5，即ADAE=5，即3AE=5，AE2(cm)，解此類問題，一般先按題意畫出示意圖，再根據(jù)圖示的情況確定所求線段和已知線段的關系，從而得出所求線段的長例8 將線段AB延長到C，使BC=2AB，AB的中點為D，E、F是BC上的點，且BEEF=12，EFFC=25，AC=60cm，求DE，DF的長分析：從示意圖(圖8)中，我們得到了D，E，F(xiàn)點的大致位置，它們之間的度量關系卻借助數(shù)量關系的分析在眾多的線段中，發(fā)現(xiàn)BE的長度是最基本的，知道了它的數(shù)量，其余線段的長度都可以求得，因此我們選擇BE作為基本量