1、精選優質文檔-傾情為你奉上 第十一章 反常積分習題課一 概念敘述1敘述收斂的定義答：收斂 存在2敘述（是暇點）收斂的定義答：收斂 存在當，有3 敘述收斂的柯西準則答：無窮積分收斂的柯西準則是：任給，存在，只要，便有4 敘述（是暇點）收斂的柯西準則答：瑕積分（瑕點為）收斂的充要條件是：任給，存在，只要，總有二 疑難問題1試問收斂與有無聯系？答：首先，肯定不是收斂的充分條件，例如，但發散那么是否是收斂的必要條件呢？也不是！例如，都收斂，因為前兩個無窮積分經換元得到，=，則，是條件收斂，對于第三個無窮積分，經換元而得=，它也是條件收斂的 從這三個無窮積分的收斂性可以看到，當時被積函數即使不趨于零，甚

2、至是無界的，無窮積分仍有可能收斂注：若，則發散注：1）若收斂,且存在, 則定有；2）若收斂,且在上為單調，則；3）若收斂，且在上一致連續，則；4）若收斂，且收斂，則證：1）設若（不妨設），則由極限保號性，當時滿足于是有 ，于是而這與收斂相矛盾，故2）不妨在上單調增，若在上無上界，則，當時，使類似于1）的證明，推知，矛盾所以在上單調增而有上界，于是由單調有界定理知存在依據已證得的命題1），3）由在上一致連續，則，（設 時，就有又因收斂，故對上述，當時，有現對任何，取，且使此時由便得這就證得 4）因為收斂，則存在，于是存在，由1)得證2收斂，與收斂，收斂的關系？答：1）因為絕對收斂收斂，反之不對，

3、條件收斂的例子都是反例，則收斂 收斂2）收斂 收斂，例 條件收斂，但，發散，發散，則發散例 收斂，但發散3）收斂 收斂，例 ，對，總存在，使當時，都有 故但對于，例 絕對收斂，即收斂，因為絕對收斂，即收斂，而，是暇點，取 ，則，因為收斂因為，收斂，是暇點，取 ，則，因為，則發散例 收斂，但發散3（為瑕點）收斂，與收斂 ，收斂的關系？ 答：1）收斂 收斂因為絕對收斂收斂，反之不對，條件收斂的例子都是反例 2）收斂收斂，收斂收斂反例 收斂，但發散3）若（為瑕點）收斂，則（為瑕點）收斂證 因，則由比較原則，可得收斂，從而收斂3下列說法對嗎？1）因為在沒有定義，則是瑕積分；2）因為在沒有定義，則是的暇

4、點 答：若被積函數在點的近旁是無界的，這時點稱為的瑕點1）錯誤，因為，則在的近旁有界，因此不是瑕點，是定積分若在上連續，（常數），則可看成正常積分，事實上，定義知在上連續，即存在，而，由于在上連續，知變下限函數在上連續，有，即故可看成正常積分。2）錯誤，因為，則在近旁有界，因此不是瑕點注 我們經常通過證（）來判斷為的瑕點例 因為，則是的暇點 4定積分，無窮積分有什么區別？答 1) 在可積 在可積 在可積收斂 收斂 收斂2），但對于不一定具有這個性質，因為此時可能發散3）在可積，則在上有界，但收斂不能保證在上有界，例如，不僅不存在，而且在上無界再如條件收斂，但在上無界5定積分與瑕積分有什么區別？

5、答 收斂（為瑕點） 收斂（為瑕點） 收斂（為瑕點）在可積 在可積 在可積2），但對于（為瑕點）不一定具有這個性質，因為此時可能發散3）在可積，則在上有界，但（為瑕點）收斂不能保證在上有界注 反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達方式，但其含義卻不同，遇到有限區間上積分時，先要檢查是否有瑕點，不能把定積分的性質直接平移到反常積分中5定積分哪些性質可以平移到反常積分中？答：定積分的線性運算，牛頓萊布尼茨公式，換元積分，分部積分，在反常積分中，仍然成立若廣義積分收斂，也有線性運算法則，不等式性質，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運算。例如這里由

6、在連續必有原函數，設的原函數為。于是（為瑕點）；（為瑕點）6總結對無窮積分(或瑕積分)收斂判別的一般步驟：1）首先用比較法則及其推論來判別是否絕對收斂,當判得(或)收斂時, (或)絕對收斂；2) 當判得(或)發散時，還需依賴其它方法（如狄利克雷判別法、阿貝爾（Abel）判別法，或者直接使用收斂定義或柯西收斂準則）來判別(或)是否條件收斂注意：1）看到有限區間上的積分，一定要觀察有無瑕點，有瑕點的是瑕積分，沒有暇點的是定積分，定積分是一個數，總認為是收斂的2）假如一個積分中既有無窮積分又有瑕積分，首先利用，使變成兩個積分的和，使其中一個積分是無窮積分，另一個是瑕積分3）假如積分中有兩個暇點，利用

7、，使變成兩個積分的和，一個積分中只有1個瑕點 4）假如積分中既有，又有，先利用7 在確定反常積分類型時有哪些值得注意的地方？答 （1）有時，無窮積分與瑕積分存在于同一個反常積分中，例如這個形式上的無窮積分，其實還含有瑕點(當)這時需要先把它拆成幾個單純形式的反常積分：當且僅當這四個反常積分都收斂時，原來的反常積分才是收斂的顯然，其中的瑕積分都是發散的，故原來的反常積分亦為發散（2）不要把瑕積分混淆為定積分，例如其實它是一個以為瑕點的瑕積分，必須先化為而后討論等號右邊的兩個瑕積分，當且僅當它們都收斂時，等號左邊的瑕積分才是收斂的顯然，這里兩個瑕積分（等號右邊）都是發散的，故原來的瑕積分亦為發散需

8、要注意的是，不要誤將這個瑕積分當作是定積分，并利用奇函數在-1,1上的積分值為0，輕率地得出這樣一個錯誤的結論8. 兩個發散的無窮積分的代數和是否必為發散？答 不一定如果，則有 發散；至于是否收斂，則無肯定結論 三 重要例題1重要結論：1）當時, 反常積分收斂；時反常積分發散 2），當時, 反常積分收斂；時反常積分發散3）與當時絕對收斂，當時條件收斂，當時發散2計算下列反常積分：1）； 2）；3）（）解1）2） 3）法1：為去根號，令，則，于是 法2：為去根號，還可以令，則，于是 3判斷下列無窮積分的斂散性： 1）； 2）； 3）；1）分析 ，根據定理3，是比高階的無窮大量，即不論是何值，而根

9、據柯西判別法，只能判定收斂，因此我們取為任何一個大于的數解 取為任何一個大于的數，不妨取，因為，因此根據柯西判別法知，對任何，無窮積分都收斂2）取使中分子分母最高次數相同，則取因為，因此根據柯西判別法知，是發散的3）解 ，根據定理3，是比的高階的無窮大量，當，而根據柯西判別法，只能判定收斂，因此需要取，即當時，收斂；當時，而根據柯西判別法，只能判定發散，因此需要取，即當時，發散小結：的取法：取法1 若或或，則的選取方法是讓中分子分母的最高次數相同，其中 以說明為例，由定理1、2有取，則，根據柯西判別法，若，則收斂，若，則發散取法2 若中含有或，則要借助于下面定理來取定理 對任意的正數和任意常數

10、，當，函數是比的高階的無窮大量，函數是比高階的無窮大量4 判別下列瑕積分的收斂性：1）； 2）；3）； 4）；5）解 五個瑕積分的被積函數在各自的積分區間上分別保持同號上恒為負，在上恒為正，等所以它們的瑕積分收斂與絕對收斂是同一回事1）此瑕積分的瑕點為分析 ，當時，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個數取時，有，所以瑕積分1）收斂2）此瑕積分的瑕點為分析 ，當，分子分母為無窮小量，考慮等價無窮小替換，取，則取時，由=1，推知該瑕積分發散小結：取法：取法1：先找等價無窮小量，讓分子分母中無窮小量次數相同，即當，讓的次數相同當，讓的次數相同取法2：利用，而極限等于0只能判收

11、斂，取3）此瑕積分的瑕點為， ，當時，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個數取時，有，所以瑕積分3）收斂4）此瑕積分的瑕點為，當時，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個數取時，有，所以瑕積分4）收斂5）此瑕積分的瑕點為，對于，此瑕積分的瑕點為， 取時，則，瑕積分發散，因此發散 5討論下列積分的收斂性1）； 2）1）分析: 被積函數在上為非負函數,為參數 時,0點為瑕點； 時, 1為瑕點； 時為正常積分解: 時原積分為正常積分； 時, 瑕點為 此時 ,故收斂； 時, 瑕點為 當時, ,故原積分在時收斂, 在時發散綜上, 時, 收斂, 時發散2)當，是正常積分，當時，當時, , 故時, 收斂, 時, 發散；(由于只要,極限便為零