1、第六章第六章 電磁感應電磁感應 主主 要要 內內 容容電磁感應定律，自感與互感，能量與力。電磁感應定律，自感與互感，能量與力。1. 電磁感應定律電磁感應定律 由物理學知，穿過閉合線圈中的磁通發生變化時，線由物理學知，穿過閉合線圈中的磁通發生變化時，線圈中產生的感應電動勢圈中產生的感應電動勢 e e 為為 tedd式中電動勢式中電動勢 e e 的正方向規定為與磁通方向構成右旋關系。的正方向規定為與磁通方向構成右旋關系。 因此，當磁通增加時，感應電動勢的實際方向與磁通方向構成因此，當磁通增加時，感應電動勢的實際方向與磁通方向構成左旋關系；反之，當磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構左旋關系；反

2、之，當磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構成右旋關系。成右旋關系。 感應電流產生的感應磁通方向總是阻感應電流產生的感應磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應磁通又稱為礙原有磁通的變化，所以感應磁通又稱為反磁通。反磁通。 感應電流產生意味著導線中存在電場，這種電場稱為感應電場，感應電流產生意味著導線中存在電場，這種電場稱為感應電場，以以E E 表示。感應電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應表示。感應電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應電動勢，即電動勢，即 telddd lE又知又知 ，得，得SSB dSSBlEdd tl上式稱為電磁感應定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時

3、，導線中產上式稱為電磁感應定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時，導線中產生感應電場。它表明，時變磁場可以產生時變電場。生感應電場。它表明，時變磁場可以產生時變電場。 eI（書中負號丟失！）（書中負號丟失！）根據斯托克斯定理，由上式得根據斯托克斯定理，由上式得 0d)( SBESt 由于該式對于任一回路面積由于該式對于任一回路面積 S S 均成立，因此，其被積函數均成立，因此，其被積函數一定為零，即一定為零，即t BE此式為電磁感應定律的微分形式。它表明某點磁感應強度的時間此式為電磁感應定律的微分形式。它表明某點磁感應強度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。變化率負值等于該點時變電場強度的

4、旋度。 電磁感應定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下一章將電磁感應定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。 2. 自感與互感自感與互感 在線性媒質中，在線性媒質中， 單個閉合回路電流產生的磁感應強度與回路電單個閉合回路電流產生的磁感應強度與回路電流流 I 成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流 I 成正比。成正比。IL式中式中L 稱為回路的電感，單位為稱為回路的電感，單位為H （亨利）。由該定義可見，電感又（亨利）。由該定義可見，電感又可理解為

5、與單位電流交鏈的磁通鏈。可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。 單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關，與回路中電流無關。單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關，與回路中電流無關。 與回路電流與回路電流 I 交鏈的磁通稱為回路電流交鏈的磁通稱為回路電流 I 的磁通鏈，以的磁通鏈，以 表示，表示，令令 與與 I 的比值為的比值為L，即，即應注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。應注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。 若交鏈若交鏈 N 次，則磁通鏈增加次，則磁通鏈增加N 倍；若部分交鏈，則必須給予適當倍；若部分交鏈，則必須給予適當的折扣。因此，與的折扣。因此，與N 匝回

6、路電流匝回路電流 I 交鏈的磁通鏈為交鏈的磁通鏈為 = N 。那么，。那么，由由 N 匝回路組成的線圈的電感為匝回路組成的線圈的電感為 INIL 與回路電流與回路電流 I1交鏈的磁通鏈是由交鏈的磁通鏈是由兩部分磁通形成的，其一是兩部分磁通形成的，其一是 I1本身產本身產生的磁通形成的磁通鏈生的磁通形成的磁通鏈 11 ，另一，另一是電流是電流 I2 在回路在回路 l1 中產生的磁通中產生的磁通形成的磁通鏈形成的磁通鏈 12 。 d l10zyxd l2l2l1I2I1r2 - r1r2r1那么，與電流那么，與電流 l1 交鏈的磁通鏈交鏈的磁通鏈1為為12111同理，與回路電流同理，與回路電流 I

7、2 交鏈的磁通鏈為交鏈的磁通鏈為22212 在線性媒質中，比值在線性媒質中，比值 ， ， 及及 均為常數。均為常數。111I212I222I121I式中式中L11稱為回路稱為回路 l1的自感，的自感，M12稱為回路稱為回路 l2 對對 l1 的互的互感。感。同理定義同理定義22222IL12121IM式中式中L22 稱為回路稱為回路 l2的自感，的自感，M21稱為回路稱為回路 l1對對 l2的互的互感。感。 11111IL21212IM令令將上述參數將上述參數 L11，L22，M12 及及 M21 代入前式，代入前式，得得 2121111IMIL2221212ILIM可以證明，在線性均勻媒質中

8、可以證明，在線性均勻媒質中 2112MM因為可以導出任意兩個回路之間的互感公式為因為可以導出任意兩個回路之間的互感公式為 21 122121dd4llMrrll 12 211212dd4llMrrll考慮到考慮到 ，所以由上兩式可見，所以由上兩式可見，21121221,ddddrrrrllll2112MM 21 122121dd4llMrrll 12 211212dd4llMrrll假設假設 dl1與與 dl2處處保持垂直，則互感處處保持垂直，則互感 。02112 MM 因此，在電子電路中，如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應因此，在電子電路中，如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應彼此平行放置；若

9、要避免兩個線圈相互耦合，則應相互垂直。彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應相互垂直。 互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應為正值。始終應為正值。若處處保持平行，則互感若處處保持平行，則互感 M 值達到最大。值達到最大。 若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應為正若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負值。為負值。例一例一 計算無限長直導線與矩形線圈之間的互感。設線圈

10、與導線平行，計算無限長直導線與矩形線圈之間的互感。設線圈與導線平行，周圍媒質為真空，如圖示。周圍媒質為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解解 建立圓柱坐標系，令建立圓柱坐標系，令 z 軸方向與電流軸方向與電流 I1一一致，那么致，那么 I1 產生的磁感應強度為產生的磁感應強度為 eBrI 2101與線圈電流與線圈電流 I2 I2 交鏈的磁通鏈交鏈的磁通鏈 21 21 為為 2d121SSB 若線框電流如圖所示的順時針方向，則若線框電流如圖所示的順時針方向，則dS 與與B1方向相同。那么方向相同。那么bDDDbDaIrraI 101021ln2d12求得求得0ln2012121DbDaI

11、M 若線圈電流為逆時針方向時，則若線圈電流為逆時針方向時，則B1與與dS 反向，反向， M21 為負。為負。例例2 2 計算載有直流電流的同軸線單位計算載有直流電流的同軸線單位長度內的電感。長度內的電感。 解解 設同軸線內導體的半徑為設同軸線內導體的半徑為b，外半徑，外半徑為為c，如圖示。，如圖示。bcaOabdrrD0I1I2zS2但在任何線性媒質中，但在任何線性媒質中， M21 = M12 。 在同軸線中取出單位長度，沿長度在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路。方向形成一個矩形回路。 內導體中電流歸并為矩形回路的內內導體中電流歸并為矩形回路的內邊電流，外導體中電流歸并為外邊電

12、流。邊電流，外導體中電流歸并為外邊電流。 同軸線單位長度的電感定義為同軸線單位長度的電感定義為 IL1式中式中I 為同軸線中的電流，為同軸線中的電流， 是單位是單位長度內與電流長度內與電流 I 交鏈的磁通鏈。交鏈的磁通鏈。 該磁通鏈由三部分磁通形成：外導體中的磁通，內外導體之間該磁通鏈由三部分磁通形成：外導體中的磁通，內外導體之間的磁通以及內導體中的磁通。的磁通以及內導體中的磁通。由于外導體通常很簿，穿過其內的磁通可以忽略。由于外導體通常很簿，穿過其內的磁通可以忽略。aIObcrcbaOdrIIe已知內外導體之間的磁感應強度已知內外導體之間的磁感應強度 Bo 為為 eBrI20o該磁場形成的磁

13、通稱為外磁通，以該磁場形成的磁通稱為外磁通，以 表示，則單位長度內的外磁通表示，則單位長度內的外磁通為為oabIrBbabaSmln2ddd0 o o ooreBSB該外磁通與電流該外磁通與電流 I 完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。 又知內導體中的磁感應強度又知內導體中的磁感應強度 Bi 為為20i2 aIrB這部分磁場形成的磁通稱為內磁通，以這部分磁場形成的磁通稱為內磁通，以 表示。那么穿過寬度為表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內磁通的單位長度截面的內磁通 d 為為iiraIrd2d20i 該部分磁通僅與內導體中自內導體該部分磁通僅與內導體中自內導體軸

14、線位置軸線位置 0 至至 r 之間部分電流之間部分電流 I 交鏈，交鏈，不是與總電流不是與總電流 I 交鏈。因此，對于總電交鏈。因此，對于總電流流 I 來說，這部分磁通折合成與總電流來說，這部分磁通折合成與總電流 I形成的磁通鏈應為形成的磁通鏈應為raIrIId2dd430ii由此求得內導體中的磁場對總電流由此求得內導體中的磁場對總電流 I 提供的磁通鏈提供的磁通鏈 i 為為aI 0 0ii8daIObcrcbaOdrIIeraIrd2d20i那么，與總電流那么，與總電流 I 交鏈的總磁通鏈為（交鏈的總磁通鏈為（o + i） 。因此，同軸線。因此，同軸線的單位長度內電感為的單位長度內電感為8l

15、n200io1abIL式中第一項稱為外電感，第二項稱為內電感。式中第一項稱為外電感，第二項稱為內電感。 當同軸線傳輸電磁波時，內外導體中的磁通皆可忽略，同軸線單當同軸線傳輸電磁波時，內外導體中的磁通皆可忽略，同軸線單位長度內的電感等于外電感，即位長度內的電感等于外電感，即 abLln2013. 磁場的能量磁場的能量 若在回路中加入外源，回路中產生電流。在電流建立過程中，若在回路中加入外源，回路中產生電流。在電流建立過程中，回路中產生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產生反回路中產生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產生反電動勢，外源必須作功。電動勢，外源必須作功。 由此可見，磁場具

16、有能量。由此可見，磁場具有能量。 若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。根據外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。根據外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。 設單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值設單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值 I，因而回，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值 。tUdd若時刻若時刻 t 回路中的電流為回路中的電流為 i(t) ，則此時刻回路中的瞬時功率為，則此時刻回路

17、中的瞬時功率為 ttiUtitPdd)()()(在在dt dt 時間內外源作的功為時間內外源作的功為 d)(d)(dtittPWtedd 已知反電動勢為已知反電動勢為 為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產生的電壓為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產生的電壓 U = -e ，即即 已知單個回路的磁通鏈與回路電流的關系為已知單個回路的磁通鏈與回路電流的關系為 )()(tLit )()(tLit 那么，在線性媒質中，由于回路電感那么，在線性媒質中，由于回路電感 L 與電流與電流 i無關，求得無關，求得 d t 時間時間內外源作的功為內外源作的功為 itLiWd)(d當回路電流增至最終值當回路

18、電流增至最終值 I 時，外源作的總功時，外源作的總功 W 為為ILIitLiW 0 221d)( 這個總功在回路中建立的電流為這個總功在回路中建立的電流為 I ，在其周圍建立磁場。因電，在其周圍建立磁場。因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉變為周圍磁場的流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉變為周圍磁場的能量。能量。單個回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此單個回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此 若以若以 Wm 表示磁場能量，那么表示磁場能量，那么2m21LIW2m2IWL 此式又可改寫為此式又可改寫為由此可見，若已知回路電流及其磁場能量，那么利用上式計算電感十由

19、此可見，若已知回路電流及其磁場能量，那么利用上式計算電感十分方便。分方便。 考慮到考慮到 ，則單個回路電流周圍的磁場能量又可表示為，則單個回路電流周圍的磁場能量又可表示為ILIW21m式中式中 為與電流為與電流 I 交鏈的磁通鏈。交鏈的磁通鏈。 對對 N 個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢地增加到最終值。根據能量守恒原理，最終的總能量與建立過程無地增加到最終值。根據能量守恒原理，最終的總能量與建立過程無關，因此這樣的假定是允許的。關，因此這樣的假定是允許的。NjNjjjjjjIMILIMIM2211 設第設第j個回路在某一時刻個

20、回路在某一時刻 t 的電流的電流 ，式中，式中Ij 為電流最為電流最終值，終值， 為比例系數，其范圍為為比例系數，其范圍為 。那么，在。那么，在 dt 時間內，時間內，外源在外源在 N 個回路中作的功為個回路中作的功為jjItti)()(10NjjjNjjjIttiW11d)(d)(d 已知各回路磁通鏈與各個回路電流之間的關系是線性的，第已知各回路磁通鏈與各個回路電流之間的關系是線性的，第j 個個回路的磁通鏈回路的磁通鏈 j 為為當各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功當各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功 W 為為WWd那么，具有最終值電流的那么，具有最終值電流的 N 個回路產生的磁場

21、能量為個回路產生的磁場能量為 1 0 1mdNjjjIWNjjjIW1m21即即 若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產生的磁場能量。生的磁場能量。 已知回路磁通可用矢量磁位已知回路磁通可用矢量磁位 A 表示為表示為 ，因此第，因此第 j 個回路個回路的磁通鏈也可用矢量磁位的磁通鏈也可用矢量磁位 A 表示為表示為 l dlAj d ljlA NjljjIW1 md21jlA那么，那么，N 個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為式中式中A 為周圍回路電流在第為周圍回路電流在第 j

22、個回路所在處產生的合成矢量磁位。個回路所在處產生的合成矢量磁位。 若電流分布在體積若電流分布在體積 V 中，電流密度為中，電流密度為 J ，知，知 ，則上式變，則上式變為體積分，此時磁場能量可以表示為為體積分，此時磁場能量可以表示為VIddJl VVW md21JA式中式中V V 為體分布的電流密度為體分布的電流密度 J J 所占據的體積。所占據的體積。 若電流分布在表面若電流分布在表面 S 上，則產生的磁場能量為上，則產生的磁場能量為 SSW md21SJA式中式中S 為面分布的電流密度所在的面積。為面分布的電流密度所在的面積。 磁場能量的分布密度磁場能量的分布密度知知 ，代入上式，得，代入

23、上式，得 JH VVWd21mHA利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，上式又可寫為，上式又可寫為AHHAAH)(VVWVVd21d )(21 mAHAH式中式中 V 為電流所在的區域。顯然，若將積分區域擴大到無限遠處，為電流所在的區域。顯然，若將積分區域擴大到無限遠處，上式仍然成立。令上式仍然成立。令 S 為半徑無限大的球面，則由高斯定理知，上為半徑無限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項的式第一項的SAHAHd)(21d )(21 SVV 當電流分布在有限區域時，磁場強度與距離平方成反比，矢量磁位當電流分布在有限區域時，磁場強度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此無限遠處的面積分與

24、距離一次方成反比，因此無限遠處的面積分 0d)( SAHS再考慮到再考慮到 ，求得，求得BAVWVd )(21 mBH式中式中V 為磁場所占據的整個空間。可見，上式中的被積函數即是磁場為磁場所占據的整個空間。可見，上式中的被積函數即是磁場能量的分布密度。能量的分布密度。 若以小寫字母若以小寫字母 wm 表示磁場能量密度，那么表示磁場能量密度，那么BH 21mw已知各向同性的線性媒質，已知各向同性的線性媒質， ，因此磁場能量密度又可表示為，因此磁場能量密度又可表示為 HB2m21Hw可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量也不符合疊加原理。可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量也不符合

25、疊加原理。 例例 計算同軸線中單位長度內的磁場能量。設同軸線中通過的恒定電流計算同軸線中單位長度內的磁場能量。設同軸線中通過的恒定電流為為 I ，內導體的半徑為，內導體的半徑為a ，外導體的厚度可以忽略，其半徑為，外導體的厚度可以忽略，其半徑為 b ，內外，內外導體之間為真空。導體之間為真空。 解解 已知同軸線單位長度內的電感為已知同軸線單位長度內的電感為abLln2800因此，單位長度內同軸線中磁場能量為因此，單位長度內同軸線中磁場能量為 abIILIWln41621202021m 我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內導體中的我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內導

26、體中的磁場強度為磁場強度為 20ii2 aIrBH因此內導體中單位長度內的磁場能量為因此內導體中單位長度內的磁場能量為16d2221d2120 0 2202imIrraIrVHWaV又知內外導體之間的磁場強度又知內外導體之間的磁場強度 Ho 為為rIBH20oo所以內外導體之間單位長度內的磁場能量為所以內外導體之間單位長度內的磁場能量為 abIrrHWbaln4d22120 2o0mo單位長度內同軸線的磁場能量應為單位長度內同軸線的磁場能量應為 ，此結果與前式完全相同。，此結果與前式完全相同。 )(momiWW知知 ，可見，通過磁場能量也可計算電感。，可見，通過磁場能量也可計算電感。2m2IW

27、L 4. 磁場力磁場力 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r 2 - r1r2r1 知知BlF dI12221ddBlF I式中磁感應強度式中磁感應強度B1為為1 312121101)(d4)(lIrrrrlrB因此，因此， B1 對于整個回路對于整個回路 l2 的作用力的作用力F21 為為 1 2 312121122021)(dd4llIIrrrrllF那么，由回路電流那么，由回路電流 I1 產生的磁場產生的磁場 B1對于電流元對于電流元 I2dl 的作用力的作用力 dF21為為 同理，回路電流同理，回路電流 I2 產生的磁場產生的磁場 B2 對于整個回路對于整個回路 l1 的作用力的作用

28、力F12 為為 1 2 321212211012)(dd4llIIrrrrllF上述兩式稱為安培定律。上述兩式稱為安培定律。 根據牛頓定律得知，應該根據牛頓定律得知，應該 。這個結論也可直接由上式。這個結論也可直接由上式獲得證明。獲得證明。1221FF 如果回路形狀復雜，上述積分計算是很困難的，甚至無法求得嚴如果回路形狀復雜，上述積分計算是很困難的，甚至無法求得嚴格的解析表達式。格的解析表達式。 為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關系可以獲得計算磁場力的簡便方式。利用能量關系可以獲得計算磁場力的簡便方式。 下

29、面直接利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導出計算磁場力的下面直接利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導出計算磁場力的一般公式。一般公式。 設在電流設在電流 I1產生的磁場廣義力產生的磁場廣義力 F 的作用下，使得回路的作用下，使得回路 l2的某一廣的某一廣義坐標變化的增量為義坐標變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為，同時磁場能量的增量為 dWm 。lFWWdddm下面分為兩種情況：下面分為兩種情況： 第一，若電流第一，若電流 I1 I1 和和 I2 I2 不變，這種情況稱為常電流系統，則磁不變，這種情況稱為常電流系統，則磁場能量的增量為場能量的增量為 2211md21d21dIIW兩個回路中外源作

30、的功分別為兩個回路中外源作的功分別為 111ddIW 222ddIW 兩個回路中的外源作的總功兩個回路中的外源作的總功dW應該等于磁場廣義力作的功與磁應該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即場能量的增量之和，即m21d2dddWWWW由此可見，兩個回路中的外源作的總功由此可見，兩個回路中的外源作的總功 dW 為為求得常電流系統中的廣義力求得常電流系統中的廣義力F 為為 lFWWdd2dmm即即常數IlWFm 第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統。由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不磁通系統。由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不會產生新的電動勢，因而外源作的功為零，即會產生新的電動勢，因而外源作的功為零，即lFWdd0m那么，求得常磁通系統中廣義力為那么，求得常磁通系統中廣義力為常數lWFm 留意，廣義力的方向規定為廣義坐標的增加方向。留意，廣義力的方向規定為廣義坐標的增加方向。 磁場力的應用比電場力更為廣泛，而且力量更強。例如，