1、專題一集合與簡易邏輯【考點聚焦】考點1：集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素與集合的關系，集合與集合之間的包含關系，集合的交、并、補運算。考點2：絕對值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法。考點3：簡單命題與復合命題的相關概念，真假命題的判斷，四種命題及其關系，反證法的證題思想。考點4：充分必要條件的有關概念及充分條件與必要條件的判斷。【自我檢測】1、_，稱集合A是集合B的子集；2、_，叫做集合U中子集A的補集；3、_，叫做A與B的交集；4、_，叫做A與B的并集；5、如果已知_，那么p是q的充分條件，q是p的必要條件；如果_，那么p是q的充分且必要條件；【重點難點熱點】問題1：集合的相

2、關概念1 解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題 2 注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時應分類討論 例1：設A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結論 思路分析：由集合A與集合B中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、

3、kN,進而可得b、k的值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)<04k24bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b216>0, 即 b2>14x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)<0k22k+8b19<0, 從而8b<20,即 b<2 5 由及bN,得b=2代入由1<0和2<0組成的不等式組，得k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(AB)C= 點評 本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所

4、考查的知識點，進而解決問題 解決此題的關健是將條件(AB)C=轉化為AC=且BC=，這樣難度就降低了 演變1：已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求實數m的取值范圍 點撥與提示：本題考查學生對集合及其符號的分析轉化能力，AB即是兩集合中方程聯立的方程組在0,2上有解。例2：向50名學生調查對A、B兩事件的態度，有如下結果 贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人 問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？思路分析

5、畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯系 解 贊成A的人數為50×=30，贊成B的人數為30+3=33，如右圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B 設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為+1,贊成A而不贊成B的人數為30x，贊成B而不贊成A的人數為33x 依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21 所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人 點評： 在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握 本題主要強化學生的這種能力 解答本題的關健是考生能

6、由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來 演變2：某校先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學807人，物理739人，化學437人；至少參加兩科的：數學與物理593人，數學與化學371人，物理現化學267人；三科都參加的有213人，試計算參加競賽的學生總數.問題2：一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的內在聯系。一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函數圖象三者關系十分密切，三者可以相互轉化：一元二次不等式解集端點即為與之相應的一元二次方程的根，即為與之對應的二次函數圖象與x軸交點的橫坐標，以此為據，很多復雜題目都可以得到解決。例3：p是什么數時，關于x的一元二次方程的兩個

7、不等實根，分別滿足.思路分析：可設f(x)= ，由方程有兩個不等實根，則函數f(x)的圖象與x軸有兩個交點，則只觀察f(0)、f(1)、f(2)的符號即可。yx210解：設f(x)= ，其大致圖象如圖所示，則p必須且只需滿足解得2p1或3p4，即.點評：一般地，若方程有兩個實根，一個根大于m，一個根小于m.演變3：方程在（1,1）上有實根，求k的取值范圍。點撥與提示：本題主要考查二次方程的解與二次函數和x軸交點橫坐標之間的關系，以及考生運用轉化和化歸的思想分析問題、解決問題的能力。問題3：充要條件1.要理解“充分條件”“必要條件”的概念，當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充

8、分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假2.要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“，反之也真”等3.數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質4.從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件5.證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).例4：已知p：|1|2，q：x22x+1m20(m>0)，若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍.思

9、路分析 利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清命題中條件與結論的關系，再去解不等式，找解集間的包含關系，進而使問題解決.解：由題意知，命題若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件p：|1|2212132x10q：:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m>0)解集的子集又m>0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實數m的取值范圍是9，+點評 本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，強調了知識點的靈活性。本題解題的

10、關健是利用等價命題對題目的文字表述方式進行轉化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了演變4：已知數列an的前n項Sn=pn+q(p0,p1),求數列an是等比數列的充要條件.點撥與提示 本題重點考查充要條件的概念及解答充要條件命題時思維的嚴謹性，因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.專題小結1解答集合有關問題，理解集合的意義是關鍵，其次注意集合中元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，此外還要注意轉化與化歸，分類與整合，數形結合等數學思想的運用.2命題真假的判斷，先應分清所給命題是簡單命題還是復合命題，若是復合命題則依據復合命題真值表來判定.3充分不

11、必要條件、必要不充分條件、充要條件、既非充分又非必要條件的判定必須堅持“雙向”考查的原則，也可以轉化為判斷原命題與其等價的逆否命題的真假.【臨陣磨槍】一 選擇題1.設集合Mx|x>2，P=x|x<3,則“xM或xP”是“x”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D非充分也非必要條件2若集合Sy|y=,T=y|y=,則ST是（）ASBTCD有限集 3（06年天津）已知集合，則（）A B CD4 （05年湖南）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件， 則b的取值范圍是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b25方程有兩個不等的實根，則實數m的取值

12、范圍是（）ABCD6若aR，且對于一切實數x都有，那么a的取值范圍是（）ABC（D7下列四個命題：“若,則實數x,y均為零”的逆命題；“相似三角形的面積相等”的否命題；“若，則B”的逆命題；“末位數不為零的數可被3整除”的逆否命題.其中真命題有（）ABCD8給出命題：p:,q:在R上是連續函數，則在下列三個復合命題“p且q”,“p或q”，“非p”中，真命題的個數為（）A0個B1個C2個D3個9（06年江蘇）若A、B、C為三個集合，則一定有（）ABC（D）10設A、B是集合，A非空，已知“A的元素都是B的元素”是假命題，則下列命題中，可能成立的是（）A的元素都不是B的元素；存在A的元素不是B的元

13、素；存在A的元素是B的元素；不是B的元素都不是A的元素。ABCD二 填充題11設U是全集，非空集合P，Q滿足PQU，若含P，Q的一個集合運算表達式，使運算結果為空集Æ，則這個運算表達式是（只要寫出一個表達式）。12設集合Ax|x=，By|y=，則A與B的關系是13關于x的方程至少有一個非負實根的充要條件是14已知命題p：函數的值域為R，命題q：函數 是減函數.若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數a的取值范圍是三 計算題15.已知集合A（x，y）|ax+y=1,B=(x,y)|x+ay=1,C=(x,y)|,試問：（1）當a取何值時，為含有兩個元素的集合？（2）當a取何值時，為含有

14、三個元素的集合？16.已知三個集合，同時滿足的實數a和b是否存在？若存在，求出a,b所有值的集合；若不存在，請說明理由.17.集合，求a的值使Æ，且Æ同時成立。18.已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根、，證明：|<2且|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件答案與提示：1.B提示：2.A提示：3.A 提示：集合，4.D提示：由題意得：A：-1<x<1,B:b-a<x<a+b，由”a=1”是“”的充分條件.則A：-1<x<1與B: b-1<x<1+b交集不為空，所以-2<

15、b<2，檢驗知:能使.5.D提示：當m0時，；當m=0時，不可能有兩個不相等的實根6.B提示：a=0時30恒成立；當a>0時，由0得a>0或a<4，所以a>0；當a<0時不可能。故a0.7.C提示：即“實數x,y均為零，則”命題成立；即“兩個三角形不相似，則面積不相等”不成立；原命題成立，則逆命題也成立；原命題不成立，逆命題也不成立.8.B提示：只有“p或q”是真命題9.A提示：由知，選（A）10.D提示：因為“A的元素都是B的元素”是假命題，即A中元素不全是B中元素，故、正確。11.CU（QP）提示：根據真子集的定義即可寫出CU（QP）.12.BA提示：注

16、意a,b都是正整數，A2,5，10,17,26，B10,17,26， 13.提示：當有一個負實根時，即；當有兩個負根時， 即即，綜合得14.1<a<2提示：命題p為真時，即真數部分能夠取到大于零的所有實數，故二次函數的判別式，從而；命題q為真時，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題.若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結果為1<a<2，；15.由于(AB)C=(AC)(AB),而AC為方程組（）的解集；BC為方程組（）的解集。方程組（）的解集為（0,1），（）的解集為（1,0），（1）若中恰有兩個元素，只有兩種可能：或

17、解得a=0或a=1.(2) 若恰有三個元素，只有，a=16.E1,2，F1，a1，由FE，得a11,2,所以a2,3.由GÍE，得或或，解得或b=3.17 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是關于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是關于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 當a=5時，得A=2，3，AC=2，這與AC=不符合，所以a=5(舍去)；當a=2時，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 18.證明： (1）（充分性)由韋達定理，得|b|=|

18、·|=|·|2×2=4設f(x)=x2+ax+b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線又|2,|2,f(±2)>0即有4+b>2a>(4+b)又|b|44+b>02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內或無實根，是方程f(x)=0的實根，同在(2，2）內，即|2且|2【挑戰自我】已知數列和滿足，求證：是等差數列的充要條件是是等差數列。證明：（必要性）設an成等差數列，公差為d,an成等差數列 從而bn+1bn=a1+n·

19、;da1(n1) d=d為常數 故bn是等差數列，公差為d（充分性）設bn是等差數列，公差為d,則bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得nan=bn1從而得an+1an=d為常數，故an是等差數列綜上所述，數列an成等差數列的充要條件是數列bn也是等差數列 【答案及點撥】演變1： 由得x2+(m1)x+1=0AB方程在區間0，2上至少有一個實數解 首先，由=(m1)240,得m3或m1,當m3時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=1>0知，方程只有負根，不符合要求 CBA當m1時，由x1+x2=(m1)>0及x1x2=1>0知，方程只有正根，且必有一根在區間(0，1內，從而方程至少有一個根在區間0，2內 故所求m的取值范圍是m1 演變2：設A，B，C分別表示