1、3. 1.4 空間向量的直角坐標運算【學習目標】1.了解空間向量坐標的定義2掌握空間向量運算的坐標表示3能夠利用坐標運算來求空間向量的長度與夾角.IT問題導學-知識點一空間向量的坐標表示 思考 平面向量的坐標是如何表示的?梳理空間直角坐標系及空間向量的坐標(1)建立空間直角坐標系Oxyz分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i,j,k,這三 個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底i,j,k,這個基底叫做 _.單位向量i,j,k者E叫做.空間向量的坐標在空間直角坐標系中，已知任一向量a,根據空間向量分解定理，存在唯一實數組(a,a2,a3)，使a=aii+a2j+ask,aii,a2j,a

2、sk分別為向量a在i,j,k方向上的分向量，有序實 數組(ai,a2,as)叫做向量a在此直角坐標系中的_.上式可簡記作a=知識點二空間向量的坐標運算思考 設m=(xi,yi),n=(X2,y2)，那么n,m- n,入m,m- n如何運算?梳理 空間向量a,b，其坐標形式為a= (ai,a2,as) ,b= (bi,b2,b).向量運算向量表示坐標表小加法a+b減法a-b數乘入a數量積ab知識點三空間向量的平行、垂直及模、夾角設a=(ai,a2,as),b= (bi,b2,bs)，貝U名稱滿足條件2向量表示形式坐標表示形式a/ba=入b（入 R）ai入bi,a2入b2,a3入b3（入R）a丄b

3、ab= 0模|a| =夾角abaibi+azb2+asthcos a,b，|a|b|COSa，bJ 222J2 . 2 . 2yja + a2+ap bi+b+b題型探究類型一 空間向量的坐標表示與運算命題角度 1 空間向量的坐標表示例 1 如圖，在棱長為 1 的正方體ABCdA B C D中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點，以AB AD A 為基底，求下列向量的坐標.AE AG AF；EF,EG DG引申探究本例中，若以DA DCDD為基底，試寫出AE AG EF的坐標.反思與感悟用坐標表示空間向量的步驟3跟蹤訓練 1 已知空間四邊形OAB(中,OA a,0B=b,0C=c,點M在

4、OAh,且OM=2MA N為BC的中點，貝 U M 在基底a,b,c下的坐標為 _ .命題角度 2 空間向量的坐標運算例 2 已知a= (1 , - 2, 1) ,ab= ( 1, 2, - 1)，貝yb等于()A. (2 , 4, 2)B. ( 2, 4, 2)C. ( 2, 0, 2)D. (2 , 1, 3)反思與感悟關于空間向量坐標運算的兩類問題(1)直接計算問題首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.由條件求向量或點的坐標首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標.跟蹤訓練 2 若向量a= (1 , 1,x),b= (1 , 2, 1)

5、 ,c= (1 , 1, 1),且滿足條件(ca)(2b) =2,貝U x=_.類型二 空間向量平行、垂直的坐標表示例 3 已知空間三點A 2 , 0 , 2),巳1, 1 , 2) ,Q 3 , 0 , 4),設a=AB b=AC(1)若|c| = 3 ,c/BC求c；若ka+b與ka 2b互相垂直，求k.引申探究若將本例 中改為“若kab與ka+ 2b互相垂直”，求k的值.反思與感悟(1)平行與垂直的判斷1應用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線.2判斷兩直線是否垂直，關鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數量積是 否4為 0.(2)平行與垂直的應用1適當

6、引入參數(比如向量a,b平行，可設a=hb)，建立關于參數的方程.2選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.跟蹤訓練 3 在正方體AG中，已知E、F、G H分別是CG、BG CD和AG的中點.證明：(1)AB/GE AB丄EHAG丄平面EFD類型三空間向量的夾角與長度的計算例 4 棱長為 1 的正方體ABCBAiBiGD中，E,F,G分別是DD,BD BB的中點.(1)求證：EF丄CF;求EF與商成角的余弦值；求CE的長.反思與感悟 通過分析幾何體的結構特征， 建立適當的坐標系， 使盡可能多的點落在坐標軸 上，以便寫點的坐標時便捷建立坐標系后， 寫出相關點的坐標， 然后再寫出相應向量的坐 標表示，

7、把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.跟蹤訓練 4 如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為 2 的菱形，/DA& 60,對角線AC與BD相交于點O PO丄平面ABCD PB與平面ABCD所成角為 60.(1)求四棱錐P- ABC啲體積;若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.當堂訓練廠51 已知向量a= (3 , - 2, 1) ,b= ( 2, 4, 0)，則 4a+ 2b等于()A.(16 , 0, 4)B. (8 , 16, 4)C.(8 ,16,4)D. (8 , 0, 4)2若a= (2 , 3, 1),b= (2 , 0 , 3) ,c=

8、 (0 , 2 , 2)，則a(b+c)的值為()A. 4 B . 15 C . 3 D . 73已知a= (2 , 3, 1)，則下列向量中與a平行的是()A.(1 , 1, 1)B. ( 4,6, 2)C.(2 , 3 ,5)D.( 2, 3 , 5)4.已知向量a= (1 , 1 , 0) ,b= ( 1 , 0 , 2),且ka+b與 2ab互相垂直，則k的值是()5已知A(2, 5 , 1) ,B(2 , 2 , 4),C(1 , 4 , 1),則向量屜AC的夾角為 _r規律與方法-1. 在空間直角坐標系中，已知點A(X1,y1,Z1),B(X2,y2,Z2),則AB=(X2X1,y

9、2y1,Z2Z1).個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去 它的起點坐標.2.兩點間的距離公式：若A(X1,屮,z,B(X2,y2,Z2),則 IAB= |AB| =X2X12+y2y12+Z2Z12.3. 空間向量的數量積和夾角有關，經常以空間向量數量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關的問題，把空間兩條直線所成角的問題轉化為兩條直線對應向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應向量的夾角的取值范圍.提醒：完成作業第三章 3.1.4合案精析問題導學知識點一思考 在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底， 對于平面內的一個

10、向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x,y,使a=xi+yj，這樣，平面內的任一向量a都可由x,y唯一確定，我們把有序實數對（x,y）叫做向量a的坐標，記作a= （x,y），其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.A.1 B.1C.3D.556設OA匕xi+yj，則向量 6；啲坐標（x,y）就是點A的坐標，即若6A匕（x,y），則A點坐標為（x,y），反之亦成立（0是坐標原點）.梳理（1）單位正交基底坐標向量（2）坐標（ai,a2,a3）知識點二思考n= （xi+X2,yi+y2）,m- n= （xiX2,yiy2）,入m=（入xi,入yj,nrn=X1X2+yiy2.

11、梳理(ai+bi,a2+b2,a3+b3)(aibi,a2b2,a3b3)(入ai,入a2,入a3)aibi+a?b2+a3b3知識點三aibi+a2b2+a3b3= 0a-a|a|= ai+a2+a3題型探究例 i 解(i)AE=AD+ DE= AD+= AD+*AA= ,i,2 j,AG=AB+BG= AB+iAb=i, 20,；F=AA+A，D+b F=AA+Ab+1AB=?, i, i .EF=AFAE= (AA+AD+ AB (AD+護、=?AA+ ?AE= $, 0, ?,7JG=AG-XD=XB+空尬XD=AB-2AD=(I, -2,o).引申探究1解AE=ADDE=-DA2 元

12、i=(i,0,2)，A A A A1AAG= AB+ BG= DO(qDA1AA1 =一2DADC=(一 2，1，0),跟蹤訓練b=a ( 1, 2, 1) =a+ (1 , 2, 1) = 2(1 , 2, 1) = (2 , 4,2)跟蹤訓練(1)因為BC=( 2, 1, 2),且c/BC所以設c=入BC=( 2 入，一入，2 入)，得|c| = , 2 入2+ -入2+2 入2=3| 入 | = 3,解得 入= 1.即c= ( 2, 1, 2)或c= (2 , 1, 2).因為a=AB=(1 , 1, 0),b=AC=( 1, 0 , 2),所以ka+b= (k 1,k ,2),ka 2

13、b= (k+ 2 ,k, 4).又因為(ka+b)丄(ka 2b), 所以(ka+b)(ka 2b) = 0.即 (k 1 ,k ,2)(k+ 2 ,k, 4) =2k2+k 10= 0.AF=2 元依題意， 得+(0,285解得k= 2 或k=2引申探究 解由題意知kab= (k+ 1,k, 2),ka+ 2b= (k 2,k, 4),(kab)丄(ka+ 2b),( kab)(ka+ 2b) = 0,2即(k+ 1)(k 2) +k 8 = 0,5解得k= 2 或k= ,5故所求k的值為2 或2跟蹤訓練 3 證明1,則A(0 , 0, 0),旳,0 , 0) ,C(1 , 1, 0) ,

14、QO, 1, 0) , A(0, 0 , 1),/AB= 2&EAB EH=1X 1+0+1X2=0,AB/ &E AB丄EH即AB/GE AB丄EHT卩)(2) AG=, 1, 1 ,T1DF= 1, 2 , 0 ,設正方體棱長為如圖，以A為原點建立空間直角坐標系,D(0, 1 , 1),由中點性質得B(1 , 0 , 1),C(1 , 1 , 1),12,29矗!l,0，1AiG DF=+0=0,T T11AGDE= 2+0-2=0，.AG DF, AG! DE又DFADE= D,.AG丄平面EFD111(1)證明 因為EF-CF=2x2+2X所以EF SF,即EF丄CFi

15、 i1111 1(2)因為EF-CG=；x1 +；x0+ ( )x=-,222 2 4EFCGiEFiCG(3)1CE= |CE解0, 2，C(0，Q0,0),E0,1, 0),1 1F2，2,G1,11,2 .所以EF=1 12，2，1，iF= 2，2, 0 ,CG=1,0,2,CE=0,-1,2 .2 +-2x0=0，,15右.所以 cosEF,CG1410跟蹤訓練 4 解T四邊形ABCD是邊長為 2 的菱形，且/DAB=60,OA= OC=3,BO= OD=1 ,S菱形 ABCD=22X2 寸寸 3=23.在 RtPOB中/PB= 60,PO= OB-tan 60 =富 31VP- ABC= S菱形 ABCDPO3