1、捕魚業持續收獲的效益問題天津師范大學數學科學學1142807404 朱保軍摘要為了保護人類賴以生存的自然環境，可再生資源（漁業）的開發必須適度。而在社會經濟生活中,我們要使商業活動在一段時期內達到最大收益,因此我們要合理的開發資源，這時,我們不僅要考慮商業活動的當前經濟效益,還要考慮生態效益及由此產生的對整體經濟效益的影響。本文就是對漁業這類可再生資源的開發問題進行研究，利用相關的數學軟件matlab進行求解。針對問題一，建立產量模型，在該模型中建立捕撈情況下魚場魚量方程和捕撈方程，對方程和討論其平衡點和穩定性如下： ， 針對問題二，對產量模型進行延伸可求出最大的持續產量情況下的穩定平衡點，最

2、大持續產量和保持漁場魚量穩定在的捕撈率。再建立效益模型，可求出利潤,最大捕強度，最大利潤下的漁場穩定魚量及單位時間的持續產量。最后，建立捕撈過度模型，可求出盲目捕撈下的漁場穩定魚量為。 穩定平衡點持續產量捕撈強度產量模型效益模型捕撈過度關鍵字：產量模型 效益模型 捕撈過度 matlab 一、問題提出為了保護人類賴以生存的自然環境，可再生資源（漁業）的開發必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現可持續收獲的前提下，追求最大產量或最佳效益。設漁場魚量方程為：其中表示時刻魚塘中的魚數，表示魚的自然增長率，為魚塘中最大可容納的魚量， 為捕撈率。問題一，建立關于的方程，求，的平衡點并討論其穩定性。問題二

3、，將所得結果與捕撈的效益模型與過度模型進行比較。綜上所訴，本文要建立在捕撈情況下漁場魚量遵從的方程，分析魚量穩定的條件，并且在穩定的前提下討論如何控制捕撈使持續產量或經濟效益達到最大。最后研究所謂捕撈過度問題。二、模型假設1. 這種魚在一年內的任何時間都會發生自然死亡，即死亡是一個連續的過程；2. 捕撈也是一個連續的過程，不是在某一時刻突然發生；3. 魚群的死亡率已考慮種群的相互競爭及環境等因素；三、字符說明：時刻時，漁場中的魚量：魚的固有增長率：環境容許的最大魚量：單位時間的增長量：單位時間的捕撈量：、：為方程的解：穩定平衡點：最大持續產量：保持漁場魚量穩定在的捕撈率：魚的銷售單價：單位捕撈

4、率的費用：單位時間的收人：單位時間的支出：單位時間的利潤：最大捕強度：最大利潤下的漁場穩定魚量：單位時間的持續產量:的解：盲目捕撈情況下的漁場穩定魚量四、問題分析問題一分析：主要是列出、的方程，可知是一階微分方程的平衡點及穩定性分析，當時，為方程的穩定點，若，則對于方程是穩定的；若，則對于方程是不穩定的。同理對于的方程。問題二分析：列出產量模型主方程，分析出最大的持續產量情況下的穩定平衡點，最大持續產量和保持漁場魚量穩定在的捕撈率；再列出效益模型,分析出利潤,最大捕強度，最大利潤下的漁場穩定魚量及單位時間的持續產量；最后，列出捕撈過度模型,分析出盲目捕撈下的漁場穩定魚量為及其和時的情況。五、模

5、型建立問題一：產量模型：在無捕撈條件下的增長服從logistic規律即 （1）單位時間的捕撈量與漁場魚量成正比，比例常數表示單位時間捕撈率，即。 （2）根據以上并記得到捕撈情況下漁場魚量滿足的方程 （3） 我們不需要解方程（3）以得到的動態變化，只希望知道漁場的穩定魚量和保持穩定的條件，并由此來確定最大持續產量。為此可以直接求方程（3）的平衡點并分析其穩定性。令得到兩個平衡點 ， （4） 不難算出所以若 （5）有，故點穩定，點不穩定; ，則結果正好相反。又因為，故同的平衡點及穩定性。問題二：產量模型的延伸：進一步討論漁場魚量穩定在的前提下，如何控制捕撈強度使持續產量最大的問題。用圖解法非常簡單

6、地得到結果。作出拋物線和直線，如上圖。注意到在原點的切線為，所以在條件（5）下必與有交點，的橫坐標就是平衡點。點的縱坐標為穩定條件下單位時間的持續產量，由圖立刻知道，當與在拋物線頂點相交時可獲得最大的持續產量，此時的穩定平衡點為 （6） 且單位時間的最大持續產量為 （7） 而由（4）式不難算出保持漁場魚量穩定在的捕撈率為 （8） 綜上所述，產量模型的結論是將捕撈率控制在固有增長率的一半，更簡單一些。可以說使漁場魚量保持在最大魚量的一半時，能夠獲得最大的持續產量。效益模型：從經濟角度看不應追求產量最大，而應考慮效益最佳。則 ， （9） 單位時間利潤問 （10） 在穩定條件下，以（4）式代入（10

7、）式，得 (11) 用微分法容易求出使利潤達到最大的捕撈強度為 (12) 將代入（4）式，可得最大利潤下的漁場穩定量及單位時間的持續產量為 （13） （14） 將（12）（14）式與產量模型中的（6）（8）式相比較可以看出，在最大效益原則下捕撈率和持續產量有所減少，而漁場應保持的穩定魚量有所增加，并且減少或增加的部分隨著捕撈成本增長而變大，隨著銷售價格的增長而變小，這結果是符合實際情況的。捕撈過度：上面的效益模型是以計劃捕撈為基礎的。如果漁場向眾多盲目的經營者開放，那么即使只有微薄的利潤，經營者也會蜂擁而去，這種情況稱為盲目捕撈。這種捕撈方式將導致捕撈過度，下面討論這個模型。（11）式給出了利

8、潤與捕撈強度的關系,令的解為，可得 （15） 當時，利潤，盲目的經營者們會加大捕撈強度；若時，利潤，他們當然要減小強度。所以是盲目捕撈的臨界強度。也可由圖解法確定。在下圖中以為橫坐標，按（11）式畫出和，它們交點的橫坐標即為。由（15）式或由圖容易知道，存在的必要條件（即）是 (16) 即售價大于成本。并且由（15）式可知，成本越低，售價越高，則越大。將（15）代入（4）式，得到盲目捕撈下的漁場穩定魚量為 （17） 完全由成本-價格比決定，隨著價格的上升和成本的下降，將迅速減少，出現捕撈過度。比較（12）和（15）式知，,即盲目捕撈強度比最大效益下捕撈強度大一倍。從（15）式和上圖還可以得到，

9、當時，,如圖中,稱經濟學捕撈過度;當時，如圖中，稱生態學捕撈過度。 綜上所訴得穩定平衡點持續產量捕撈強度產量模型效益模型捕撈過度六、模型改進為了研究漁業的產量、效益及捕撈過度的問道，首先在對魚的自然增長和捕撈情況的合理假設下，建立漁場魚量的基本方程（3），并利用平衡點穩定性分析確定了保持漁場魚量穩定的條件。產量、效益和捕撈過度的3個模型在穩定的前提下步步深入，數學推導過程十分簡單，卻得到了在定性關系上與實際情況完全符合的結果。但如果改變對魚的自然增長和人工捕撈的假設，模型及結果將隨之變化。七、參考文獻【1】趙靜，但琦,數學建模與數學實驗（第3版）高等教育出版社【2】姜啟源、謝金星、葉俊,數學模

10、型（第三版）高等教育出版社，2003 【3】劉來福，最優捕魚策略問題答案評述，數學的實踐與認識,1997年1月八、附錄圖一clc;clear;ezplot('y=-x.2+4*x',0, 4,0 ,5)text(3.5,0.4,'y=f(x)')text(4,-0.3,'N')hold onx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'y=rx')hold onx2=0:0.01:3y2=2*x2plot(x2,y2,'b')text(2.1,4.1

11、,'P*')hold onx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,'b')text(3.15,3,'P')text(3.3,3.1,'y=h(x)=Ex')hold onx4=3y4=0:0.05:3plot(x4,y4,'r:')text(3.05,-0.2,'x0')hold onx5=2y5=0:0.05:4plot(x5,y5,'r:')text(2.1,-0.3,'x0*=N/2')hold onx6=0:0.05:3y6=3plot(x6,y

12、6,'r:')text(-0.2,3,'h')hold onx7=0:0.05:2y7=4plot(x7,y7,'r:')text(-0.3,4,'hm')圖二clc;clear;ezplot('y=-x.2+4*x',0, 4,0 ,5)text(4,-0.3,'r')text(3.5,1,'T(E)')hold onx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'pNE')hold onx2=0:0.01:3y2=3*x2plot(x2,y2,'b')text(1.6,4.3,'S(E)=cE')hold onx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,'b')text(3.1,3,'S(E)=cE')hold onx4=3y4=0:0.05:3plot(x4,y4