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文檔簡介

1、選修1-1 第二章 2.3 雙曲線雙曲線標準方程(焦點在軸)標準方程(焦點在軸)定義第一定義:平面內與兩個定點,的距離的差的絕對值是常數(小于)的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫焦距。PP第二定義:平面內與一個定點和一條定直線的距離的比是常數,當時,動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點,定直線叫做雙曲線的準線,常數()叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍,對稱軸軸 ,軸;實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上,;焦距:頂點坐標(,0) (,0)(0, ,) (0,)離心率1)=準線方程準線垂直于實軸且在兩頂點的內側;兩準線間的距離:頂點到準線的距離頂點

2、()到準線()的距離為頂點()到準線()的距離為焦點到準線的距離焦點()到準線()的距離為焦點()到準線()的距離為漸近線方程 共漸近線的雙曲線系方程()()1. 雙曲線的定義1 當|MF1|MF2|=2a時,則表示點在雙曲線右支上; 當時,則表示點在雙曲線左支上;2 注意定義中的“(小于)”這一限制條件,其根據是“三角形兩邊之和之差小于第三邊”。 若2a=2時,即,當,動點軌跡是以為端點向右延伸的一條射線;當時,動點軌跡是以為端點向左延伸的一條射線;若2a2時,動點軌跡不存在.2. 雙曲線的標準方程判別方法是:如果項的系數是正數,則焦點在x軸上;如果項的系數是正數,則焦點在y軸上.對于雙曲線

3、,a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣,通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.3. 雙曲線的內外部 (1)點在雙曲線的內部. (2)點在雙曲線的外部.4. 形如的方程可化為當,雙曲線的焦點在軸上;當,雙曲線的焦點在軸上;5.求雙曲線的標準方程, 應注意兩個問題: 正確判斷焦點的位置; 設出標準方程后,運用待定系數法求解.6. 離心率與漸近線之間的關系1) 2) 7. 雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1)若雙曲線方程為漸近線方程:.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線,可設為(,焦點在x軸上,焦點在y軸上).(4)與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是(5)與雙曲線共焦

4、點的雙曲線系方程是(6)當離心率兩漸近線互相垂直,分別為y=,此時雙曲線為等軸雙曲線,可設為;8. 雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點處的切線方程是.(2)過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.(3)雙曲線與直線相切的條件是.9. 直線與雙曲線的位置關系直線: 雙曲線C:(0,0) 1) 當,即時,直線與雙曲線的漸進線_平行_,直線與雙曲線C相交于一點;2) 當b2-a2k20,即時,=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)1 時,直線與雙曲線相交,有兩個公共點2 時,直線與雙曲線相切,有且僅有一個公共點3 時,直線與雙曲線相離,無公共點3) 直線與

5、雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線必相切嗎?為什么?(不一定)10. 關于直線與雙曲線的位置關系問題常用處理方法直線: 雙曲線C:(0,0)1 聯立方程法: 設交點坐標為,,則有,以及,還可進一步求出, 在涉及弦長,中點,對稱,面積等問題時,常用此法,比如a. 相交弦AB的弦長 或 b. 中點, , 2 點差法:設交點坐標為,代入雙曲線方程,得 將兩式相減,可得a. 在涉及斜率問題時,b. 在涉及中點軌跡問題時,設線段的中點為, 即,11. 焦點三角形面積公式:。一、雙曲線的定義1、第一定義:(>0)。注意:(1)距離之差的絕對值。(2)2a|F1F2|當|MF1|MF2|=2a時,曲

6、線僅表示焦點F2所對應的一支;當|MF1|MF2|=2a時,曲線僅表示焦點F1所對應的一支;當2a=|F1F2|時,軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線;當2a|F1F2|時,動點軌跡不存在。 當a=0時,軌跡為兩定點連線中垂線。2、第二定義:動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e1)二、雙曲線的標準方程(,其中|=2c,焦點位置看誰的系數為正數)焦點在x軸上:(a0,b0);焦點在y軸上:(a0,b0)焦點不確定時:;與橢圓共焦點的雙曲線系方程為:與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是()與雙曲線共漸進線()的雙曲線系方程是三、特殊雙曲線:等軸雙曲線:(實虛軸相等,即

7、a=b)1、形式:(); 2、離心率; 3、兩漸近線互相垂直,為y=;4、等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。共軛雙曲線:(以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線)1、有共同的漸近線;2、共軛雙曲線的四個焦點共圓; 3、離心率倒數的平方和等于1。四、幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線五、相關性質:1、點與雙曲線的位置關系: 2、中點弦的存在性3、以PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切:P在右支;外切:P在左支)4若在雙曲線(a0,b0)上,則過的切線方程是.若在雙曲線(a0,b0)外 ,則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦

8、P1P2的直線方程是.5、雙曲線(a0,bo)的焦點角形的面積為6、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.7、點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.8、設雙曲線(a0,b0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點,在PF1F2中,記, ,,則有9、已知雙曲線(ba 0),O為坐標原點,P、Q為雙曲線上兩動點,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值為;(3)的最小值是1,F1、F2是=1的焦點,其上一點P到F1的距離等于9則P到焦點F2的距離. 17 2雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是雙曲線的右焦點,則PF2Q

9、的周長是 .3過點(2,2)且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是=14已知是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 5過點A(0,2)可以作_4_條直線與雙曲線x21有且只有一個公共點6過點P(4,4)且與雙曲線1只有一個交點的直線有3條7若上點P滿足(),求8動點與兩定點連線斜率之積為正常數時,動點的軌跡為?9若是三角形ABC的頂點,且,求頂點A的軌跡10圓M與圓外切,與圓內切,求M軌跡11已知雙曲線的漸近線方程是,焦點在坐標軸上且焦距是10,則此雙曲線的方程為 12求與有公共焦點的雙曲線,使它們交點為頂點的四邊形面積最

10、大為 13求與有公共焦點,且漸近線為的雙曲線為 14左支一點P到左準線l距離為d,若d, 成等比,求e范圍15C:右頂點為A,x軸上一點Q(2a,0),若C上一點P使,求e范圍16. 漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為或16. 已知雙曲線的右頂點為E,雙曲線的左準線與該雙曲線的兩漸近線的交點分別為A、B兩點,若AEB=60°,則該雙曲線的離心率e=217. 設,分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率,為兩曲線的一個公共點,且滿足,則的值為218已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0)(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線:ykxm(k0,m0)與雙曲線C交于不

11、同的兩點M、N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,1),求實數m的取值范圍解析: (1)設雙曲線方程為1(a0,b0)雙曲線C的方程為y21.(2)聯立整理得(13k2)x26kmx3m230.直線與雙曲線有兩個不同的交點,可得m23k21且k2 設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點為B(x0,y0)則x1x2,x0,y0kx0m.由題意,ABMN,kAB(k0,m0) 整理得3k24m1 將代入,得m24m0,m0或m4.又3k24m10(k0),即m. m的取值范圍是(4,)19已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線與雙曲線C

12、恒有兩個不同的交點A和B,且(其中O為原點). 求k的取值范圍. 19直線:與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A、B。()求實數的取值范圍;()是否存在實數,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出的值。若不存在,說明理由。解:()將直線 依直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故()設A、B兩點的坐標分別為、,則由式得 假設存在實數k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0). 則由FAFB得:整理得把式及代入式化簡得解得可知使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點.20.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E,直線kx1與曲線E交于A、B兩點。()求的取

13、值范圍; ()如果且曲線E上存在點C,使求。()由雙曲線的定義可知,曲線是以為焦點的雙曲線的左支,且,易知, 故曲線的方程為 設,由題意建立方程組 消去,得,又已知直線與雙曲線左支交于兩點,有 解得 =整理后得 或,但 故直線的方程為設,由已知,得,又,點,將點代入的方程,得得,但當時,所得的點在雙曲線的右支上,不合題意,點的坐標為到的距離為 的面積拋物線焦點弦性質總結30條基礎回顧1. 以AB為直徑的圓與準線相切;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. A、O、三點共線;9. B、O、三點共線;10. ;11. (定值);12. ;13. 垂直平分;14. 垂直平分;15. ;

14、16. ;17. ;18. ;19. ;20. ;21. .22. 切線方程 高考資源網性質深究一)焦點弦與切線1、 過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線,兩切線交點位置有何特殊之處?結論1:交點在準線上先猜后證:當弦軸時,則點P的坐標為在準線上證明: 從略結論2 切線交點與弦中點連線平行于對稱軸結論3 弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時,切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸2、上述命題的逆命題是否成立?結論4 過拋物線準線上任一點作拋物線的切線,則過兩切點的弦必過焦點先猜后證:過準線與x軸的交點作拋物線的切線,則過兩切點AB的弦必過焦點結論5過準線上任一點作拋物線的切線,過兩切點的弦最短

15、時,即為通徑3、AB是拋物線(p0)焦點弦,Q是AB的中點,l是拋物線的準線,過A,B的切線相交于P,PQ與拋物線交于點M則有結論6PAPB結論7PFAB結論8 M平分PQ結論9 PA平分A1AB,PB平分B1BA結論10結論11二)非焦點弦與切線思考:當弦AB不過焦點,切線交于P點時,也有與上述結論類似結果:結論12 ,結論13 PA平分A1AB,同理PB平分B1BA結論14 結論15 點M平分PQ結論16 相關考題1、已知拋物線的焦點為F,A,B是拋物線上的兩動點,且(0),過A,B兩點分別作拋物線的切線,設其交點為M,(1)證明:的值;(2)設的面積為S,寫出的表達式,并求S的最小值2、

16、已知拋物線C的方程為,焦點為F,準線為l,直線m交拋物線于兩點A,B;(1)過點A的拋物線C的切線與y軸交于點D,求證:;(2)若直線m過焦點F,分別過點A,B的兩條切線相交于點M,求證:AMBM,且點M在直線l上3、對每個正整數n,是拋物線上的點,過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點, (1)試證:(n1)(2)取,并Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點,求證:(n1)拋物線的一個優美性質幾何圖形常常給人們帶來直觀的美學形象,我們在研究幾何圖形時也會很自然地想得到有關這個幾何圖形的美妙的性質,作為幾何中的圓錐曲線的研究,正是這方面的一個典型代表,作為高中數學中的必修內容,對于

17、培養學生對于數學美的認識,起著相當重要的作用。因此,在研究圓錐曲線的過程中,有意識地得到一些有關圓錐曲線的幾何性質并且加以歸納,并在教學中與學生一起進行一些可行的研究,一方面,作為高考命題也會往這個方向上嘗試,另一方面,作為新課程的一個理念,讓學生進行一些學有余力的研究,提高學生學習數學的興趣,提高學生自己研究問題的能力也很有幫助。本人從一個在教學中學生遇到的習題結合該知識點有關的一些性質,并結合高考的熱點題對這一性質作了一些研究。題:拋物線y2=2px(p>0)的準線與x軸交于Q點,過點Q作斜率為k的直線L。則“直線L與拋物線有且只有一個交點”是“k=±1”的_條件。本題設計

18、意圖是考查學生對于直線與拋物線有且只有一個交點的問題的了解,要求學生掌握直線與拋物線相切時是只有一個交點,還有當直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線也只有一個交點,因此,經過簡單的驗證可知道上題的答案是必要不充分條件。結合拋物線的下面的性質及上題的圖形,我們發現了一些共同點。ABP1FOxyA1B1PABFOxyQ圖1圖2性質1:已知AB是經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦,則以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。證明:由圖2可知,BF=BB1,AF=AA1,2PP1=AA1+BB1。所以2PP1=AB。其中圖1是圖2的一個特例,即當焦點弦是通徑時,圖2即變成了圖1。這就引導

19、我們思考在圖2中的兩條直線P1A、P1B是否也是拋物線的兩條切線,這樣我們得出了拋物線的一個性質:性質2:已知AB是經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦,則以A、B為切點的兩條切線的交點P落在其準線上。證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)點A在拋物線上:y12=2px1 (1)點B在拋物線上:y22=2px2(2)過點A的切線方程:yy1=p(x+x1)(3)過點B的切線方程:yy2=p(x+x2)(4)直線AB經過點F:(5)將(1)式與(2)式分別代入(3)、(4)、(5)式,得到yy1=p(x+)(3)yy2=p(x+)(4)y1y2=-p2(5)因為點

20、P(x,y)的坐標滿足(3)、(4),所以y1、y2可視為是方程yt=p(x+)的兩根,因此由韋達定理可得y1y2=-p2=2px。即x=。所以點P的軌跡為拋物線的準線。從上面的證明中我們可以看出,當A、B兩點的坐標滿足某種條件時,則以A、B為切點的兩條切線的交點一定落在某條固定的直線上。因此,我們更進一步地得出了更好的性質:性質3:已知AB是經過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸(即x軸)上一定點P(m,0)(m>0)的弦,則以A、B為切點的兩條切線的交點Q的軌跡是一條直線x=-m。證明:略。對于上述性質的得出,我們使用了拋物線上已知切點坐標的切線方程的寫法,但如果換一個角度看

21、這個問題,我們也可以得出另一種形式的性質:性質3:動點P在直線x=-m上運動,過點P作拋物線的兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,連結AB,得到弦AB,那么弦AB過定點(m,0)。證明:略。根據上面的討論,我們得到了關于拋物線的一個性質,特別是對于拋物線的切線以及拋物線中動弦中的定值問題的結合,在高考題的命題中也常有涉及。xyABPQO例1:(2007江蘇高考第19題)如圖,過C(0,c)(c>0)作直線與拋物線y=x2相交于A、B兩點,一條垂直于x軸的直線,分別與線段AB和直線y+c=0交于P、Q。(1)若=2,求c的值;(2)若P為線段AB的中點,求證:AQ為拋物線的切線;(3)試

22、問(2)的逆命題是否成立。解:(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,c)點A在拋物線上:y1=x12 (1)點B在拋物線上:y2=x22(2)直線AB經過點C:(3)將(1)式與(2)式分別代入(3)式,得到x1x2=-c,y1y2=c2由= x1x2+y1y2=2,得c=2。(2)P為線段AB的中點,得點Q的坐標為(,-c)由AQ的斜率k1=,過點A的切線的斜率為k2=2x1。所以直線AQ是拋物線的切線。(3)過點A的切線方程為y-y1=2 x1(x-x1)與直線y=-c相交于點Q,將y=-c代入y-y1=2 x1(x-x1),可得-c-x12=2 x1(x-x1)即x1x2-x12=2 x1(x-x1)所以點Q的橫坐標為,即點P為線段AB的中點。(2)的逆命題成立。該題的命題思路就是借助于性質3而編制的一道中等難度的題。其中主要運用了切線的斜率,切線

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