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1、全國高中數學聯賽數論歷年真題精選(2014.09.01)（2013年全國高中數學聯賽試題）2、 （本題滿分40分）給定正整數.數列定義如下：，對整數， 記（）.證明：數列中有無窮多項是完全平方數.提示：由對稱性和和諧性，求，發現和之間的遞推關系，為了拉近和間的關系，最好是某個數列的相鄰兩項，于是想到，故考慮令，就有了的通項公式.于是令參考答案沒有給出思維過程，需要大家深入思考，去領悟問題的本質，做二試題一定要達到看答案覺得那是自然的解答過程才算理解了。（2012年全國高中數學聯賽試題）下面給出（2）的幾種證法.證法一:令消去得由于這方程必有整數解;其中為方程的特解.把最小的正整數解記為則,故使

2、是的倍數40分證法二:由于由中國剩余定理知,同余方程組在區間上有解即存在使是的倍數40分證法三:由于總存在使取使則存在使此時因而是的倍數40分（2012年全國高中數學聯賽試題）四、（本題滿分分）設，是正整數證明：對滿足的任意實數，數列中有無窮多項屬于這里，表示不超過實數的最大整數【解析】證法一:(1)對任意,有證法二:(1) （2011年全國高中數學聯賽試題）二、（本題滿分40分）證明：對任意整數，存在一個次多項式具有如下性質：（1）均為正整數；（2）對任意正整數，及任意個互不相同的正整數，均有【解析】令， 將的右邊展開即知是一個首項系數為1的正整數系數的次多項式下面證明滿足性質（2）對任意整

3、數，由于，故連續的個整數中必有一個為4的倍數，從而由知 因此，對任意個正整數，有 但對任意正整數，有，故，從而所以符合題設要求 （2010年全國高中數學聯賽試題）2（40分）設k是給定的正整數，記，證明：存在正整數m，使得為一個整數這里，表示不小于實數x的最小整數，例如：，（2009年全國高中數學聯賽試題）三（本題滿分分）設，是給定的兩個正整數證明：有無窮多個正整數，使得與互素【解析】 證法一：對任意正整數，令我們證明設是的任一素因子，只要證明：p（2008年全國高中數學聯賽試題）二、（本題滿分50分）設是周期函數，和1是的周期且證明：（1）若為有理數，則存在素數，使是的周期；（2）若為無理數，則存在各項均為無理數的數列滿足 ，且每個都是的周期二 .【解析】（1）若是有理數，則存在正整數使得且，從而存在整數，使得 于是是的周期又因，從而設是的素因子，則，從而 是的周期 （2）若是無理數，令 ，則，且是無理數，令 ， ， 由數學歸納法易知均為無理數且又，故， 即因此是遞減數列最后

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