1、處的導數。在練習：求函數1xxyxxxyxy1111解：21111lim0 xx211xy111x下面來看導數的幾何意義: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如圖如圖,曲線曲線c是函數是函數y=f(x)的圖象的圖象,p(x0,y0)是曲線是曲線c上的上的任意一點任意一點,q(x0+x,y0+y)為為p鄰近一點鄰近一點,pq為為c的割線的割線,pm/x軸軸,qm/y軸軸,為為pq的的傾斜角傾斜角.tan,: xyymqxmp則則yx請問：是割線pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請看當點請看當點q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點p接近時接近時,割線割

2、線pq繞著繞著點點p逐漸轉動的情況逐漸轉動的情況. 我們發現我們發現,當點當點q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點p即即x0時時,割線割線pq有一個極限位置有一個極限位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切線切線. 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為,那么當那么當x0時時,割線割線pq的斜率的斜率,稱稱為曲線在點為曲線在點p處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質切線斜率的本質函

3、數在函數在x=x0處的導數處的導數.初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。叫做切點。割線趨近于確定的位置的直線定義為割線趨近于確定的位置的直線定義為切線切線.曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點。曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點。l2l1ab0 xy 問題問題: :研究導數的幾何意義有什么作用？研究導數的幾何意義有什么作用？ 結論：結論：以直代曲是微積分中的重要的思想方法，即以以直代曲是微積分中的重要的思

4、想方法，即以簡單的對象（切線）來刻畫復雜的對象（曲線）。大簡單的對象（切線）來刻畫復雜的對象（曲線）。大多數的曲線就一小范圍來看，大致可看成直線，所以，多數的曲線就一小范圍來看，大致可看成直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即以某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即以直代曲。直代曲。ppp例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1

5、),即即y=2x.（1）求出函數在點）求出函數在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 歸納歸納:求切線方程的步驟求切線方程的步驟練習練習:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點p處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點p處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313pxy上上一一點點 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limli

6、m,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點p處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 練習練習 已知導函數已知導函數 的下列信息：的下列信息： ( )fx14,( )04,1,( )04,1,( )0.( )xfxxxfxxxfxf x當時；當或時；當或時試畫出函數圖象的大致形狀 幾何法幾何法 設計意圖設計意圖: :與函數概念相類比與函數概念相類比,很自然地提出導函數很自然地提出導函數概念概念,為以后的學習做準備為以后的學習做準備.探究探究: :導函數的定義導函數的定義在研究曲線上某點的導數和經過該點的切線斜率的關系這在研究曲線上某點的導數和經過該點的切線斜率的關系這個過程中，可以看到當個過程中，可以看到當 時，時， 是一個確定的數，是一個確定的數，當當 變化時，變化時， 是是 的一個函數，我們