1、常系數(shù)齊次線性微分方程兩種級數(shù)解的內(nèi)在關(guān)系林文業(yè)湛江公路工程大隊 郵編:52400 電要: 對于一般常系數(shù)齊次線性微分方程 ,其中為實數(shù),由于對應(yīng)的特征方程一元n次方程,當(dāng)時沒有根式解法,因此也就無法由歐拉(Euler)特征根法得到指數(shù)解,但是可以由關(guān)于高階線性微分方程的一般解法得到多重積分級數(shù)解。而且這兩種解之間也存在內(nèi)在關(guān)系。 關(guān)鍵詞: 歐拉(Euler) 指數(shù)解; 多重積分級數(shù)解；內(nèi)在關(guān)系一. 歐拉(Euler) 指數(shù)解和多重積分級數(shù)解的內(nèi)在關(guān)系對于一般常系數(shù)齊次線性微分方程 , (1)其中為實數(shù),自變量為 對應(yīng)的特征方程為 (2)假設(shè)、為特征方程的單根, 、

2、為它的重根,且分別有、重,那么(1)由歐拉(Euler)特征根法可得到指數(shù)解其中、為任意常數(shù) (3)由關(guān)于高階線性微分方程的一般解法得到(1)的多重積分級數(shù)解 其中為任意常數(shù) (4)簡記為 (5)級數(shù)解(3)和(4)有如下關(guān)系定理1: 對于一般常系數(shù)齊次線性微分方程,其中為實數(shù),若它的特征方程 有個()互不相等的根（包括復(fù)數(shù)根,重根只算一個）, 是它的個線性無關(guān)多重積分級數(shù)解,那么指數(shù)解和多重積分級數(shù)解之間存在如下參數(shù)超越方程關(guān)系 (6) 這方程有且只有個互不相等的常數(shù)根,而且這個根也是對應(yīng)特征方程的根。 證明: 首先證明特征方程(2)和參數(shù)超越方程(6) 有個互不相等的公共根。 由于是微分方

3、程(1)的解,而(5)是它的通解,故有 (7)對(7)求導(dǎo)次(),得 (8)把代入(8),得 (9)把(9)代入(7),得 同理可證 因此特征方程(2)和參數(shù)超越方程(6) 有個互不相等的公共根。現(xiàn)在用反證法再證明參數(shù)超越方程(6) 只有個互不相等的常數(shù)根。假設(shè)(6)除了有個根外,還有一個常數(shù)根滿足參數(shù)超越方程(6) 即 (10) 顯然是微分方程(1)的解,因此也是它的解。把代入(1),得 可見也是特征方程(2)的根,這與特征方程(2)只有個互不相等的常數(shù)根相矛盾,因而原假設(shè)不成立。 綜上所述, 參數(shù)超越方程(6) 有且只有個互不相等的常數(shù)根,而且這個根也恰是特征方程(2)的根。證畢。定理2:

4、 對于一般常系數(shù)齊次線性微分方程,其中為實數(shù), 它的個線性無關(guān)多重積分級數(shù)解與特征方程 的系數(shù)有如下關(guān)系 (11) ,為自然數(shù)。證明: 對參數(shù)超越方程(6)關(guān)于求導(dǎo)一次,得 (12) 把(6)的兩邊乘以(),得 (13) 由于參數(shù)超越方程(6)的常數(shù)根不依賴參數(shù),所以(6)、(12)、(13)除增根外有完全相同的根。 把(12)代入(13),得 因而有 (14) 由定理1,特征方程(2)和參數(shù)超越方程(6) 有完全相同的根,因而(2)和(14)也有完全相同的根且等價,故有 ,為自然數(shù)。證畢。二. 常系數(shù)齊次線性微分方程的通解表達(dá)式由定理2可知若已知常系數(shù)齊次線性微分方程(1)的一個多重積分級數(shù)解,就可以由(11)求出其余n-1個線性無關(guān)多重積分級數(shù)解。其實方程組(11)可變?yōu)?由關(guān)于高階線性微分方程的一般解法得到(1)的一個多重積分級數(shù)解為 (15)由于 一般地假設(shè)那么 因而 同理 因此常系數(shù)齊次線性微分方程(1)的通解為 其中、為任意常數(shù)。參考文獻(xiàn)1. 華北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編常微分方程、劉玉璉、傅沛