1、橢圓練習題1A組基礎過關、選擇題（每小題5分，共25分）1. （2012廈門,K擬）已知橢圓的長軸長是短軸長的 色倍,則橢圓的離心率等于().C. 2a= 2c? e=-2.A.2解析 由題意得 2a=272b? a=72b,又 a2 = b2+c2? b = c?答案 B2. （2012長沙調研）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是22AA.81 72 122x yB.西十上1). 22c x , y /C.8i+45= 1x2 _y2 D.81+36=1解析依題意知:1、，2a=18, . . a= 9,2c=.x 2a, . c= 3,3

2、22b2 = a2c2= 81 9 = 72, ,橢圓方程為 焉'十七8 1 72=1.答案 A3. （2012長春模擬）橢圓x2+4y2= 1的離心率為（)B.4D.fx2 y2解析 先將x2+ 4y2= 1化為標準萬程彳+：= 1，則4a= 1, b=；, c=a2-b2 =號.*、* c 十離心率e= a= 2 .答案 A4. （2012佛山月考）設F1、F2分別是橢圓x4+y2=1的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，且PFPF2,則點P的橫坐標為（）.A. 1B.3C. 2啦D智x2 y2 . AW1x2 y2BW+4=1喙+（=1D.9+36x2解析 由題意知，點P即

3、為圓x2 + y2 = 3與橢圓彳+ y2 = 1在第一象限的交點，解x2 + y2=3,廣方程組x 2 得點p的橫坐標為呼.彳+y2=i,3答案 D5. （2011惠州模擬）已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為岑,)且橢圓G上一點到其兩個焦點的距離之和為 12,則橢圓G的方程為（二122解析依題意設橢圓G的方程為|2+ > 1（a> b> 0），:橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12,；2a= 12, ；a=6,，,橢圓的離心率為,3. ,a2b23，嗯五常解得b2 = 9，22橢圓G的方程為：2+ '=1.36 9答案 C二、填空題（每小題4分，共

4、12分）x2 y26. 若橢圓25 + 16= 1上一點P到焦點F1的距離為6,則點P到另一個焦點F2 的距離是.解析 由橢圓的定義可知，|PF1| 十 |PF2|=2a,所以點P到其另一個焦點F2的距 離為 |PF2|= 2a |PF1|= 10 6 = 4.答案47. （2011皖南八校聯考）已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|=2|PF2|, /PF1F2 = 30°,則橢圓的離心率為 .解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得一 九sin/PF2F1=1,即/PF2F1=2,設|PF2|=1,則 |PF1|=2, |F2F1|=5,上、- 2c

5、3.離心率ej=-= .2a 3答案V22i8. （2011江西）若橢圓|2 +3=1的焦點在x軸上，過點1, 1作圓x2 + y2=1的切線，切點分別為A, B,直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方 程是.1解析由題可設斜率存在的切線的萬程為y2= k（x 1）（k為切線的斜率）,即 2kx-2y-2k+1=0,"2k 1|3由病丁 =1'解行k= -4，所以圓x2 + y2=1的一條切線方程為3x+ 4y5 = 0,3 4求行切點a 5, 5 ,易知另一切點B（1,0）,則直線AB的方程為y= -2x+ 2.令y=0得右焦點為（1,0）,令 x=0得上頂點為（0

6、,2）. .a2=b2+c2=5,22故得所求橢圓方程為5+y4=1.22-x y答案 5+；二1三、解答題（共23分）229. （11分）已知點P（3,4）是橢圓x2+=1（a>b>0）上的一點，Fi, F2是橢圓的兩 a b焦點，若PFi±PF2.試求：（1）橢圓的方程；（2）zPFiF2的面積.9 16解 （1）: P點在橢圓上，.1+ b2=1.一44 c 又 PFi，PF2, -=1,得：c2 = 25,3+ c 3 c又 a2=b2+ c2,由得a2=45, b2=20.22橢圓方程為七+ y= 1.45 20 1 （2）S4 PFiF2 = FiF2|X4

7、= 5X4 = 20.10. （12分）（2011陜西）如圖，設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影,M為PD上當P在圓上運動時，求點 M的軌跡C的方程;求過點(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長度.5解(1)設M的坐標為(x, y), P的坐標為(xp, yp),xp=x,由已知得 5yp=4y,p在圓上，x2+ 5y2=25,即C的方程為親十七=1.425 16一、.44過點(3,0)且斜率為士的直線萬程為y= -(x-3), 55設直線與C的交點為A(x1, y1), B(x2, y2),4.、一將直線萬程y=4(x3)代入C的萬程，得5x2x- 3 2_25+

8、25 =1,即 x23x 8 = 0.3 V413+兩 x1 =2? x =2線段 AB 的長度為 |AB| = 4 x x2 2+ yI y2 2 =, , 1621十五 x1-x2 2 =414125x 41=UB級提高題、選擇題（每小題5分，共10分）221. （2012麗水模擬）若P是以Fi, F2為焦點的橢圓/ylQb>。）上的一點,1且PFi PF2=0, tan/PFF2=2,則此橢圓的離心率為（）.A.B.半C.3D.2，、一一2c 5解析在 RtzPFF2 中，設 |PF2|=1,則 |PF2| = 2.|F1F2|=乖，. .e=2a =號.答案 A222. （201

9、1汕頭一模）已知橢圓、+ y2=1上有一點P, F1, F2是橢圓的左、右焦點,若4 552為直角三角形，則這樣的點P有（）.A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 8個解析 當/PF1F2為直角時，根據橢圓的對稱性知，這樣的點 P有2個；同理當 /PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當P點為橢圓的短軸端點時，/ F1PF2 最大，且為直角，此時這樣的點 P有2個.故符合要求的點P有6個.答案 C二、填空題（每小題4分，共8分）223. （2011鎮江調研）已知F1（-c,0）, F2（c,0）為橢圓x2 + y2=1（a>b>0）的兩個焦點, a bP為橢圓上一點且PF1 P

10、F2=C2,則此橢圓離心率的取值范圍是.解析 設 P(x, y),則 PF1 PF2=( cx, y) (c x, _y) = x2_c2+y2 = c2222_ 2 2將y2=b2一十代入式解得x2=,又 x2C0, a2, .2c2wa2w3c2, . .eMcC 書,平 a 32答案，24. （2011浙江）設F1, F2分別為橢圓x；+y2=1的左，右焦點，點A, B在橢圓上,3若F 1A=5F2B,則點A的坐標是解析 根據題意設A點坐標為（m, n）, B點坐標為（c, d）. Fi、F2分別為橢圓的左、右焦點，其坐標分別為（-取,0）、（V2, 0）,可得F=（m+42, n）,

11、f1b=（c 42, d）, , ,FiA=5F2B,叫土?應，d=1.,點 A、B 都在橢圓上，. .7 + 553m+6,2 2n2=1, + n2=1mm=0, n=蟲，故點 A坐標為(0,士).35答案 （0,由）三、解答題（共22分）225. （10分）（2011大連年K擬）設A, B分別為橢圓會+，1但*>0）的左，右頂點,31, 2為橢圓上一點，橢圓長半軸的長等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）設P（4, x）（xw0）,若直線AP, BP分別與橢圓相交異于 A, B的點M, N,求 證：/MBN為鈍角.解（1）依題意，得 a=2c, b2= a2 c2=3c2,設橢圓方程

12、為4C2+31=1,將1,3代入，得，=1,故橢圓方程為x2+y2=1.(2)證明由(1),知 A( 2,0), B(2,0),39設 M(x0, yo),則一2<X0<2, y0=4(4 x0),由巳A，M三點共線，得x=空，BM = (xo-2, y。)，BP= 2, x，BM BP=2x0_4 + 6y0 = 5(2-x0)>0, x0 + 2 2'7'即/MBP為銳角，則/ MBN為鈍角.6. （）（12分）（2011西安五校一模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的、.1 3離心率為2且經過點M 1, 2 .（1）求橢圓C的方程;（2）是否存在過點

13、P（2,1）的直線11與橢圓C相交于不同的兩點A,B,滿足PA PB= PM2?若存在，求出直線11的方程；若不存在，請說明理由.解（1）設橢圓C的方程為多+看=項>40）,由題意得c 1一二a 2'a2=b2 + c2,解得a2=4, b2 = 3.22故橢圓C的方程為+t=1.43（2）假設存在直線11且由題意得斜率存在，設滿足條件的方程為 v= k1（x-2）+1, 代入橢圓 C 的方程得，（3 + 4k2）x28k1（2k1 1）x+16k216k1 8 = 0.因為直線 11 與橢圓C相交于不同的兩點A, B,設A, B兩點的坐標分別為（X1, y），（x2, y2）,

14、 所以 A= -8k1（2k1-1）2-4（3+ 4k2）（16k216k1 8） = 32（6kI+3）>0,所以 k1>12.又 x1 + x2 =8k1 2k113+4k2x1x2 =16k216k1 83+ 4k2'因為承PB=PM2,5即(x1 2)(x2 2)+ (y1一 1)(y21) = 4,所以(x1 2) (x2 2)(1 + k2) = |PM|2=55.5即x1x22(x1 + x2)+ 4(1 + k1) =4.所以16k216ki 88ki 2k1 121 4k+32C1432+4(1 + 附=3=4,解得 kl = 5.1 ,1因為k1>

15、 2，所以k1 = 2. 1于是存在直線11滿足條件，其方程為v= 2x.【點評】解決解析幾何中的探索性問題的一般步驟為：，第一步：假設結論成立., 第二步：以存在為條件，進行推理求解.，第三步：明確規范結論，若能推出合理結果，經驗證成立即可肯定正確.若推出矛盾，即否定假設.，第四步：回顧檢驗本 題若忽略A>0這一隱含條件，結果會造成兩解.橢圓練習題2一、填空題1 .橢圓2x2 3y2y-1所截得的弦的中點坐標是2 匕 1的弦被點（4, 2）平分，則這條弦所在的直線方程是 9 6的焦距為。2 .如果方程x2 my2 2表示焦點在y軸的橢圓，則 m的取值范圍是 。533.若橢圓的兩焦點為（

16、一 2, 0）和（2, 0）,且橢圓過點（萬，-）,則橢圓萬程是 c224 .橢圓 人 匕 1的焦距是2,則m的值是。m 45 .若橢圓長軸的長等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為 。22 x y6.P是橢圓 1上的一點，Fi和F2是焦點，若/FiPF2=30。，則AF1PF2的面積54等于。17 一一，則點P到左焦2227.已知P是橢圓工 1上的一點，若 P到橢圓右準線的距離是 100 36點的距離是228 .橢圓工 1的點到左準線的距離為 5,則它到右焦點的距離為 259229 .橢圓二L 1的中心到準線的距離是1 一10 .中心在原點，準線方程為 x = ±4,離心率為一的橢圓

17、萬程是 2.211.點P在橢圓7x2 4y22 x 1被橢圓一4212.直線y x2 x 13.右橢圓3628上，則點 P到直線3x 2y 16 0的距離的最大值是2214.已知橢圓匕 1內有一點P(1, 1), F是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點M ,43使| MP | 2 | MF |之值為最小的 M的坐標是二、解答題115.已知橢圓的對稱軸為坐標軸，離心率短軸長為6,求橢圓的方程22 x16.已知A、B為橢圓 a+客=1上兩點, 9a2F2為橢圓的右焦點，若8AF2 BF2= a , AB5中點到橢圓左準線的距離為, x2 y217 . 一條變動的直線l與橢圓 +y-=1父于P、Q兩點，M是l上的動點，滿足關系MP MQ 2 .若直線l在變動過程中始終保持其斜率等于1.求動點M的軌跡方程，并說明曲線的形狀。、填空題1.22. (0,1)3.667.58. 612.(I.13.二、解答題15.由16.設一 X1122 cA(X1, y1),1 . x2 一a 即 2橢圓2參考答案2 x104. 55.6.4(2 、. 3)9. 310.2 y_ 324.1313x 2yB(X2, y2),14.,2 -、(、 6,- 1)3AB中點橫坐標為, 、出 225 2a=1, 橢圓萬程為x 一y917.設動點M (x, y),動直線l :y x22x 2y16m2也即x2