1、整式的乘法單元教學研究課例（初稿）一、選題的背景以及意義從線性結構單元的角度來看，各個專題之間呈現一種知識或方法的遞進關系。從邏輯上看，各個專題之間具有比較明顯的先后次序，必須前后依次展開。這樣的單元結構主要由單元內的是數學核心知識之間所特有的邏輯關系決定的。因此，我便選擇了七年級整式的乘法作為單元教學研究，從內容上來看，整式的乘法共有4個小節的內容，而他們之間存在的邏 輯關系也是線性結構單元：同底數事的乘法窯的乘方整式的乘法從知識要點來看，哥的乘方公式的獲得離不開同底數哥的乘法法則。而積的乘方公式獲得又離不開哥的乘方法則，同樣的，整式的乘法則需要利用以上所有的三個法則。因此，鑒于以上的情況，

2、我選擇了同底數哥的乘法與哥的乘方兩個內容進行了單元設計， 設計的意義如下：a.哥的乘方法則是由同底數哥的乘法推導出來的，它們之間存在著線性的邏輯關系b.同底數哥的乘法與哥的乘方公式的獲得，都是從特殊到一般的歸納，它們獲得的方 法有一定的共性c.對線性結構的單元教學有一定的指導意義 二、第一次課堂實踐1、教案設計思考：同底數哥的乘法、哥的乘方是七年級上第9章第三節整式的乘法的一個內容，從教學目標來看，同底數哥的法則與哥的乘方都是對整式乘法計算的一種方法歸納， 而兩個法則的獲取在探究方法，體現數學思想方法（從特殊到一般）上都有共同之處。因此, 在設計的過程中我希望通過設置障礙讓學生遇到困難，然后引

3、導學生利用一定的方法解決此困難，并在解決困難的過程中，形成對定理的認識，從而進一步歸納總結。因此對兩個內容的設計圖如下：的冏相 進行情烹同底數緊 的乘法探 究過程儺更茴4的作法舞的垂打問題2、課堂實錄：（1）引入部分設置困難讓學生產生認知沖突我在引入環節設置了 4道整數的乘法運算，通過學生運算大數與大數乘積的困難，從而引入課題。在正式上課中，學生在完成(3) (4)兩題果然遇到了困難。圖1問題引入的4道練習圖2 2的乘方表引入：算一算(1) 4X8(2) 8X16(3) 1024 X4096(4) 2048 X 163842的乘*息T4114F£7*I*2*朝杼緘通I澗H ”31“口

4、IT 11T ® M M 一 214 I，V K 4W6 !1!1* 1f MWt 褂* jlHllMjt 事 iiI：n2l "41依 lOHSTlri 3P9TI52K- I !面丁上力“ H靜Z?HA1s3m3rasHM3F772IE_jaHrajs nwmii(2)探究同底數募運算的法則接著我便將2的乘方表引出，引導學生了解2的哥和它所對應數的關系，接著我便提出了以下問題師：觀察(1) (2)中被乘數、乘數與積分別對應2的乘方表中的哪些以底數為2的哥？生1: 4對應著22, 8對應著23, 32對應25生2: 8對應著23, 16對應著24, 128對應著27師：通

5、過這些數所對應的哥，你發現了什么？生3:我發現2+3等于5、3+4等于7生4:我發現乘數的指數之和等于積的指數之和師：通過之前的(1) (2)題，你能否用2的乘方表來求解1024X 4096呢？生5:我可以將1024看作2的10次方，4096看作2的12次方，因此它們相乘就是 2的22 次方，通過查表可得 4194304師：很好！你能說說為什么 2的10次方乘以2的12次方是2的22次方呢？該學生沉默了一會兒，接著又有學生舉手了。生6: 2的10次方是10個2相乘，2的12次方是12個2相乘，因此合起來有 22個2相乘。師：如果是37 X36或是62 64是不是依然有這樣的法則呢？生7:是的，

6、第一題是 3的13次方，第二題是 6的6次方師：還有沒有這樣的例子呢？學生紛紛舉例，表示有很多師：那么我們有沒有辦法將這么多種情況歸納總結一下呢？生8:我們可以利用字母表示數的方法來求解am ?an之后我與學生便完成了 am ?an原理探究，引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸 納總結了同底數哥乘法的法則。(3)同底數哥法則的應用以及其歷史價值通過同底數哥的乘法法則，師生共同完成(4)練習，學生感受用同底數哥解決大數與大數的乘積的簡便性。接著介紹同底數哥法則的發現者納皮爾與他的著作奇妙對數表說明以及其在天文學上的貢獻。圖3比較同底數哥的乘法與大數的乘法圖4介紹數學家納皮爾2048 x 16

7、384=33554432追根溯源211 X 214哪個更簡單一些呢？注意；在計算過程中可以保留幕 的形式場H的可祀寰注尊|卜口第卅 本裁掌上，找即便可以把斷率夏 染的電；加京后,電聘刺川前的性 機再用轉加舟加注、累隆H餐t阜首理在由一It的局眼性一只 祚離間富芭用用典的應聲，出當 費歸學習完點中的卻1人任邛立 的幾個的麻可以雨飽林的力法H 次（/敝方法】、（4）探究哥的乘方的法則利用數學家納皮爾對天文學的共享，通過問題求地球的體積從而引出哥的乘方法則的3 圖5哥的乘方的探究問題探究活動2已知地球的半插曲為31千米,而呼的體題式.；才/4詔呼塘所哈的案件.事出雄三曲陣朽嗎?（哥 但ttLK*形式

8、I* M 311tA.：產F H ±笨 K （3? f3 T怎么求？圖6哥的乘方概念梳理觀察(38 )3 38 T 第能的乘方:（3*）*可以看作38的3次方你能再舉一些厚的乘方 的代數式嗎？探究：根據球的體積公式引出（38）,從而引出哥的乘方的概念。師：當我們代入球的體積公式時，你是否遇到了困難?c 3生1: （38）我們不知道如何求解。師：3的8次方是什么呢？生2: 3的8次方是哥。師：那么括號的3次方是什么運算呢?生2:乘方運算。c 3師：因此，我們便可以將（38）看成哥的乘方運算，你能再舉一些哥的乘方的例子嗎?3生 3: (42)生 4:( 25) 799生 5:(a99)c

9、 3師：那么如何計算（42）呢?學生沉默c 3師：（42）利用乘方意義能轉化為什么？生6: 3個4的2次方相乘師：如何求解3個4的2次方相乘呢？生6:利用同底數哥的法則，可以得到是4的6次方師：很好！我們能否解一下（25） 7呢？有沒有同學能上黑板演示一下呢？一個學生上黑板演示，并與同學分享了自己的計算心得師：（a99）為如何求解呢？難道我們也寫99次加法嗎？你能根據之前的兩個結論猜想一下結果嗎？生7:是a的99乘以99次方師：為什么？生7:這個式子可以寫成 a的99個99相加的次方，一次可以看成a的99乘以99次方師：很好！那我們是否能再次歸納一下哥的乘方的法則呢？生 8: （ am ） n

10、 = amn接著我和學生一起完成了哥的乘方公式的形成的探究，引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸納總結了哥的乘方的法則。（5）課堂小結由于時間的關系，在教授完例題之后， 便開始進行了歸納總結， 我不僅對學生的知識與 技能進行了小結，并且對過程與方法也進行了小結。圖7課堂小結課堂小結如識與技掂過程與方海同成微舞相乘的法則an 口 巾=«1+1+11事的黍方的漢則 Cam> " = am+n f G*正時3、教學反思：通過第一堂課的試講，教研員鐘文麗老師對我進行了指導與研討，讓我知道了本節課有這樣的一些問題：a. 本節課如何體現線性結構單元的角度的遞進關系？而同底數哥

11、的法則與哥的乘方 的遞進關系在本節課中應該怎么體現？b. 本節課引入的目的是什么？引入的設計能否體現出單元教學研究？c. 同底數哥的乘法與哥的乘方在單個概念講授的時，學生并不容易混淆，而幾個內容融合一起之后，學生對法則的應用常常會混淆。如何在課堂中進行辨析？讓學生能夠準確判斷使用哪種法則呢？d. 是否需要例題講解與學生練習呢？如果要應該怎么設計，如何把控好時間？最后，鐘老師肯定了我數學史料在本節課的使用，并且能夠很好的進行一個承上啟下的作用，讓學生在數學家納皮爾的故事中，體會到數學化繁為簡的思想。三、第二次課堂實踐1、教案修改與思考：由于之前上課中存在的問題，我便去查閱了有關單元教學研究與整式

12、的乘法的書籍，我 發現同底數哥的乘法與哥的乘方的公式都是整式乘法的基礎知識。其實從學生的角度來看， 他們不免有這樣的疑惑，為何要學這些知識呢？為此不妨暴露學生的疑慮，揭示出系統建構的原因。因此在課堂的設計中讓學生了解整式的乘法的整體結構，從而得到同底數哥的乘法是所有整式乘法的基礎，而之后的內容與同底數塞的乘法存在著線性遞進的一種關系。介于這樣的情況，我對于課堂引入進行了修改，設計如下幾個主要的問題：1 .整式的乘法有哪幾種類型？你能否分分類？2 .(給出學生多個整式的乘法)你能將這些整式的乘法填入分好的表格中嗎？3 .你覺得應該先解決哪個整式的乘法問題？為什么？而對于處理學生容易混淆同底數哥的

13、乘法與哥的乘方運算法則的這樣一個問題，我覺得在探究概念的過程中，分別加入對同底數哥的乘法與哥的乘方的概念辨析，讓學生明白首先是需要先判斷什么運算，然后考慮用什么法則。而在練習部分，增加了2道例題以及配套練習，從而鞏固今天所學習的內容。2、課堂實錄：(1)引入部分：建立對整式的乘法這一節整體概念師：我們現在所學習第 9章是什么內容？生：整式。師：我們之前所學的是整式的什么運算？生：整式的加減師：學習完整式的加減運算之后，我們應該再學習整式的什么運算呢？生：整式的乘除師：很好！今天我們便學習整式的乘法這一單元的內容。通過第一部分的對話與問答，幫助同學初步整理了整式這一章內容的大致分布，學生能夠初步

14、了解整式的乘法作為整式的運算在整式這一章節的位置。師：整式的定義是什么？生：單項式與多項式統稱為整式。師：根據整式的定義，整式的乘法可以分為哪幾類呢？生：單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式。接著我便給予學生一些整式的乘法，讓他們填入適當的表格中去，學生完成的很快，我選了 3個同學回答問題，他們都完成的很正確。圖8整式的乘法分類現梨卜如用式的耍法,井將相應的類 型單人衣搭工1，(3) <0<37丁產了( 4 1 LE1 加士山 I S.i 好(0* -16色"耳)小 .26,電馥*的比改1a皿事璃工*里式儼MB 7嗎我便問道如果我們需要解決整式的乘法,圖9

15、單項式的乘法分類觀察下到整式的乘法(單項式X單項式)(1) a2 ' nt3 (2) («3)2(37/2Ct"在限上的四個同時中福襄解決算個何為什幺?最光而要睥決的是 “白£口，的運算間意你覺得最先解決的應該是哪種類型的問題？此時，我讓三個學生起來回答，他們都異口同聲的說先解決單項式乘以單項式的問題，當問其理由時，有2個同學說出了多項式由單項式組成，因此先要解決單項式的問題。而另一個同學說單項式乘以單項式相對比較簡單。從與學生的交流可以看出， 大多數同學基本都明白了多項式與單項式的關系，并且能發現單項式乘以單項式是三類乘法的基礎。接著為了后面學習哥的乘方

16、打下鋪墊，我又問學生為什么將3 2 ,a 歸在單項式乘以單項式這一塊中呢？大多數學生都能將其乘積的形式表達出來。（2）同底數哥法則的探究師：我們看一下單項式乘以單項式的4類情況，你們覺得應該先解決哪類問題呢？生：第一種？師：你能說說理由嗎？生：（2）是a的3次方乘以a的3次方，第（4）題可以用乘法的交換律變成 a的3次方 乘以a的2次方，第（3）題也一樣。23師：我們如何計算 a a呢？我們先討論一下吧！生1： a的5次方，因為同底數哥的數相乘，底數不變，指數相加。生2： a的6次方，因為指數相乘，底數不變生3:和生1 一樣是a的5次方師：我們不僅需要知道計算結果，我們還需要知道他們的計算原理

17、，因此我想問問學生2,你為什么覺得是 a的6次方呢？學生2沉默師：a的平方是什么呢？生2 ： a乘以a。師：a的3次方是什么呢？生2 ： 3個a相乘。師：那么一共有幾個 a相乘呢？生2: 5個a相乘。師：那5個a相乘是a的幾次方呢？生2 ： a的5次方看著學生2臉紅的低下頭，我馬上表揚了他， 猜想很好，猜錯也沒關系。但是我們需要 去進行說理，你今天的說理很精彩。表揚完他之后，他開心的坐了下去。接著我對同底數哥的乘法進行一個辨析，我并沒有告訴大家同底數哥相乘的規律，只是23讓大家觀察與a a運算類型相同的計算，結果同學的答案都不相同。因此，我又4道題目每一題進行了辨析，通過與同學的交流，最終確定

18、了同底數哥的乘法的兩個要點：（1）同底數哥（2）做乘法運算。 圖10辨析的4個問題圖11教師與學生交流辨析觀察F列各代數式，與M Y 同類型的運算有哪些？(a)(b)(c)(d)210 x 212 a 2 I) ?a3 + a3a + y»*(, + y)6與id）與 小疝的運律 相同師：我們還能舉出一些同底數哥的乘法呢？生：b的8次方乘以b的12次方？師：為什么是同底數哥的乘法？生：它們的底數都是 b,并且是做乘法運算的。接著又有3名同學舉了同底數哥的例子并一一說明了理由。師：我們能將同底數哥的例子都舉出來嗎？生：不能，例子舉不完。師：那么同學們能否概括歸納一下，將所有的情況都說明

19、呢？生：am ?an之后我與學生便完成了 am ?an原理探究，引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸納總結了同底數哥乘法的法則。之后，我引導學生完成了(a)與(d)的計算，并且引導學生發現同底數哥的乘法中的底數可以是數字、字母、單項式、多項式以及更為復雜的代數式，接著與第一堂課一樣， 給予學生觀察利用同底數塞的乘法與直接兩個大數相乘做比較，從而感受數學化繁為簡的思想，引出數學家納皮爾。(3)哥的乘方探究過程與第一節課的過程差不多， 首先由求地球的體積從而引出哥的乘方法則的探究：根據球一 3的體積公式引出(38),引出哥的乘方的概念。接著引導學生理解哥的乘方的定義，并于2之刖的a3進行類比，

20、知道什么是哥的乘方。通過舉例，師生一起探究如何解決哥的乘方這一問題，而與第一節課的區別最大是我請學生上黑板當小老師來進行講解，而我在邊上指導與補充。圖12小老師講解哥的乘方問題(4)例題與練習：對于例題與練習，我設計的例題相對比較簡單主要是讓學生明白看到題目如何規范解題。而在練習中，我設計了辨析題與計算題。在辨析題的交流中， 學生都能夠第一時間判斷出是什么樣的運算并且可以用什么樣的法則，但是在正負號的判斷上， 學生還是遇到了一定的困難。例題與練習中相對比較順利，但是同樣涉及到正負號的題目學生完成的不是太好， 由于時間關系，原本 4道題目，也只完成了 2題。圖13練習與例題用心練練下列計算正確嗎

21、？錯誤的請兇正x2 -x2 =(_0戶(_" = /*/(-3)*x(-3=3lD(一口)九(一口=(-fl)7 = -fl"= 口"用心練一練例題;(11+-«3-«3(蟲(X3)1練習遇士I WyV(2)( -x> 邛(5)歸納與總結并且將兩個知識點的關系進行了歸納，有的學我不僅和學生將兩個知識點進行了歸納,生得到了這兩種運算都與指數有關，有的同學得到兩種運算的底數都不變，有的同學得到哥的乘方是由同底數哥的乘法演變而來的。最后，教師展現了同底數哥的乘法與哥的乘方在此 單元中的結構與位置。圖14本節課的小結反思與小結法的法則事妁聚*it訴的 取*柴W對同 點強黑畤僥蚪系的柬方=«mT1>n,n 四m+n搞八的，*n*, « 他不安，理數相加格峙J*，苴*不文一3、教學反思與啟示通